Regelungstechnik · Zacher/Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, 17. Aufl. 2024, Abschn. 4.2 und 8.1

Sprungantwort des Regelkreises: Überschwingen, Anregelzeit, Ausregelzeit und bleibende Regelabweichung

Führungssprungantwort eines Regelkreises aus Strecke (PTn, I-Strecke, schwingfähig, mit Totzeit) und P-, PI-, PD- oder PID-Regler simulieren und die Gütekriterien Überschwingweite, Anregelzeit, Ausregelzeit und bleibende Regelabweichung ablesen.

G(s)Zacher/Reuter 2024

Strecke und Regler

StreckentypZeiteinheitStreckenbeiwert K_SI-AnteileT₁ [s]T₂ [s]T₃ [s]Tz [s]Totzeit Tt [s]ReglertypK_PRTn [s]

G₀(s) = [6.4·s + 0.8] / [240·s^3 + 88·s^2 + 8·s] · e^(−2 s · s)

Alle Ansichten aktualisieren sich sofort. Zeiten in der gewählten Einheit, Kreisfrequenzen in rad/s (= 1/s).

Kennwerte

Kreisverstärkung K_PR variieren

K_PR = 1

Stabilitätsgrenze bei K_PR,krit ≈ 4,936 · Bereich 0,0148 … 14,808

Geschlossener Kreis: stabil
ω_d: 0,0983 rad/s
φ_Rd: 60,2°
ω_π: 0,3273 rad/s · T_krit = 19,196 s
A_R: 4,936 = 13,9 dB
x_m: 7,1 %
T_an: 11,612 s
T_aus: 33,63 s (29,139 s)
e(∞): 0

Sprungantwort des geschlossenen Kreises x(t) für w₀ = 1

Zeiger über die Kurve bewegen, um Werte abzulesen.

Der offene Kreis enthält einen Integrator – seine Sprungantwort wächst unbegrenzt und wird nicht dargestellt.

Verknüpfte Ansichten – derselbe Regelkreis, dieselbe Verstärkung

Pole und Nullstellen

Bode-Diagramm

Nyquist-Ortskurve

Methode

Was wird berechnet?

Der geschlossene Kreis mit Einheitsrückführung hat die Führungsübertragungsfunktion G_w(s) = G₀(s)/(1 + G₀(s)) (Zacher/Reuter Gl. 6.22). Statt Partialbrüche zu bilden, integriert der Rechner die zugehörige Zustandsraumdarstellung numerisch (Runge-Kutta 4. Ordnung) und schließt die Totzeit über einen Verzögerungsspeicher in die Rückführung ein – so werden Totzeit, I-Anteile und instabile Fälle gleich behandelt. Aus x(t) folgen die Gütekriterien nach Abschn. 8.1: Überschwingweite x_m als prozentuale Abweichung des ersten Maximums vom Beharrungswert, Anregelzeit T_an als 10-%-bis-90-%-Zeit, Ausregelzeit T_aus als Zeitpunkt, ab dem x(t) im ±2-%-Band (bzw. ±5 %) bleibt, und bleibende Regelabweichung e(∞) = w₀ − x(∞) aus dem Endwertsatz: e(∞) = w₀/(1 + K₀) bei P-Verhalten des offenen Kreises, 0 bei I-Anteil (Abschn. 2.6.2).

Gleichungen

G_w(s) = G₀(s)/(1 + G₀(s)) (Gl. 6.22)

x(∞) = w₀·K₀/(1 + K₀) mit K₀ = G₀(0); bei I-Anteil x(∞) = w₀

x_m = (x_max − x(∞))/x(∞)·100 %

T_an: 10 % → 90 % von x(∞); T_aus: |x − x(∞)| ≤ 2 % bzw. 5 %

Polpaar: x_m = e^(−π·D/√(1−D²)) bei reinem PT2-Verhalten (Kap. 8)

Grenzen

Voraussetzungen und typische Fehler

Lineare Simulation ohne Stellgrößenbegrenzung, Anti-Windup, Messrauschen oder D-Filter; reale Regler verhalten sich bei Sättigung anders. Störsprünge werden nicht simuliert (nur Führungsverhalten). Das Simulationsfenster wird aus den Polen geschätzt; sehr langsame und sehr schnelle Pole zugleich (steife Systeme) verlängern die Rechenzeit.

Überschwingen auf den Sollwert statt auf den Beharrungswert beziehen (bei P-Regler ohne I-Anteil unterscheiden sich beide). Ausregelzeit mit Anregelzeit verwechseln. Stellgröße vergessen: Ein Kreis mit schöner Sprungantwort kann eine unrealistisch große Stellgröße verlangen.

Diagramme verstehen

Was die fünf Diagramme zeigen und wofür sie gebraucht werden

Alle Ansichten entstehen aus derselben Übertragungsfunktion G₀(s) und derselben Verstärkung. Sie zeigen dasselbe System aus verschiedenen Blickwinkeln – Zeitbereich, Frequenzbereich und s-Ebene – und führen zur selben Stabilitätsaussage. Das hier hervorgehobene Diagramm ist das Hauptdiagramm dieser Seite; die übrigen sind unten verlinkt.

Pol-Nullstellen-Plan (s-Ebene)

Was es zeigt: Die komplexe s-Ebene mit Realteil σ (waagerecht, in 1/s) und Imaginärteil jω (senkrecht). Kreuze sind die Pole des offenen Kreises G₀(s), Kreise seine Nullstellen, gefüllte Punkte die Pole des geschlossenen Kreises bei der aktuellen Verstärkung. Die linke Halbebene ist grün hinterlegt.

Wofür: Schnelle Beurteilung, wie ein System auf eine Anregung reagiert: Jeder Pol steht für einen Eigenbewegungsanteil e^(σt)·cos(ωt). Pole links der Achse klingen ab (stabil), Pole rechts wachsen auf (instabil), Pole auf der Achse schwingen dauerhaft. Der Abstand zur Achse bestimmt die Abklingzeit, der Winkel zur negativen reellen Achse die Dämpfung.

So liest du es: Je weiter links ein Pol, desto schneller klingt sein Anteil ab (T = 1/|σ|). Je größer der Imaginärteil, desto höher die Schwingfrequenz. Ein Polpaar auf einer Geraden durch den Ursprung hat konstanten Dämpfungsgrad D = cos des Winkels zur negativen reellen Achse – 45° entspricht D ≈ 0,7. Der geschlossene Kreis ist stabil, wenn alle gefüllten Punkte links liegen.

Zum Rechner mit diesem Hauptdiagramm

Bode-Diagramm

Was es zeigt: Zwei Kurven über logarithmisch geteilter Kreisfrequenz ω: oben der Betrag |G₀(jω)| in Dezibel (20·lg), unten der Phasenwinkel φ₀ in Grad. Beide beschreiben, wie stark und mit welcher Verzögerung der offene Kreis ein sinusförmiges Signal der Frequenz ω überträgt.

Wofür: Stabilitätsnachweis und Reglerentwurf im Frequenzbereich: Bei der Durchtrittsfrequenz ω_d (0 dB) liest man die Phasenreserve ab, beim Phasendurchtritt ω_π (−180°) die Amplitudenreserve. Weil sich in Reihe geschaltete Glieder in dB und Grad einfach addieren, sieht man sofort, welches Glied (Zeitkonstante, Integrator, Totzeit, D-Anteil) Reserve verbraucht oder liefert.

So liest du es: Knicke im Betragsgang liegen bei den Eckfrequenzen 1/T; jeder Pol senkt die Steigung um 20 dB/Dekade und die Phase um 90°, jede Nullstelle hebt beides an, die Totzeit dreht nur die Phase. Eine Verstärkungsänderung verschiebt den Betragsgang parallel – die Phase bleibt. Stabil (vereinfachtes Nyquist-Kriterium): Phase bei ω_d oberhalb −180°. Faustwerte: φ_R 40…70°, A_R ≈ 6…12 dB.

Zum Rechner mit diesem Hauptdiagramm

Nyquist-Ortskurve

Was es zeigt: Den Frequenzgang G₀(jω) als Kurve in der komplexen Ebene: Für jede Frequenz ω ein Punkt mit Realteil und Imaginärteil; ω läuft entlang der Kurve von 0 bis ∞. Eingezeichnet sind der kritische Punkt (−1, j0) und der Einheitskreis |G₀| = 1.

Wofür: Das allgemeinste Stabilitätskriterium – es gilt auch mit Totzeit und für instabile Strecken, wo Hurwitz versagt. Außerdem macht es anschaulich, warum Verstärkung (Kurve wird gestreckt) und Totzeit (Kurve rollt sich ein) den Kreis zum Kippen bringen.

So liest du es: Für stabile Strecken ohne mehr als einen Doppelpol im Ursprung gilt: Die Kurve muss den kritischen Punkt −1 links liegen lassen. Der Schnitt mit der negativ reellen Achse zeigt die Amplitudenreserve (Abstand zu −1), der Schnitt mit dem Einheitskreis die Phasenreserve (Winkel zur negativen reellen Achse). Bei Integratoren beginnt die Kurve im Unendlichen (−90° je I-Anteil); der Rechner blendet den Ausschnitt um −1 ein.

Zum Rechner mit diesem Hauptdiagramm

Wurzelortskurve

Was es zeigt: Die Bahnen, auf denen die Pole des geschlossenen Kreises in der s-Ebene wandern, wenn die Verstärkung K von 0 bis ∞ erhöht wird. Sie starten bei den Polen des offenen Kreises (×) und enden in dessen Nullstellen (○) oder laufen entlang der Asymptoten ins Unendliche. Verzweigungspunkte und Schnitte mit der imaginären Achse sind markiert.

Wofür: Reglerentwurf durch Polvorgabe: Man wählt K so, dass das dominante Polpaar die gewünschte Dämpfung und Schnelligkeit hat, und sieht sofort, ab welcher Verstärkung der Kreis instabil wird (K_krit). Sie zeigt auch, ob ein zusätzlicher D-Anteil (Nullstelle) die Äste nach links zieht.

So liest du es: Punkte nahe den Kreuzen gehören zu kleinem K, weit entfernte zu großem K; die Markierung zeigt die Lage bei der eingestellten Verstärkung. Treffen zwei Äste auf der reellen Achse zusammen (Verzweigungspunkt), beginnt das Schwingen. Wo ein Ast die imaginäre Achse kreuzt, liegt die Stabilitätsgrenze mit der Dauerschwingfrequenz ω_krit. Laufen n − m ≥ 3 Äste ins Unendliche, wird der Kreis bei großem K zwangsläufig instabil.

Zum Rechner mit diesem Hauptdiagramm

Sprungantwortdiese Seite

Was es zeigt: Den zeitlichen Verlauf der Regelgröße x(t), nachdem die Führungsgröße zum Zeitpunkt 0 sprunghaft von 0 auf 1 gesetzt wurde (geschlossener Kreis) – wahlweise die Antwort des offenen Kreises auf einen Stellgrößensprung. Gestrichelt: Beharrungswert, schraffiert: ±2-%-Toleranzband.

Wofür: Die anschaulichste Bewertung der Regelgüte und der Nachweis von Anforderungen: Überschwingweite, Anregelzeit, Ausregelzeit und bleibende Regelabweichung lassen sich direkt ablesen und mit Vorgaben vergleichen. Alle anderen Diagramme sind letztlich Werkzeuge, um diese Kurve zu formen.

So liest du es: Überschwingen: erstes Maximum über dem Beharrungswert (16 % bei D = 0,5, 4,3 % bei D = 0,707, 0 % aperiodisch). Anregelzeit: 10 % → 90 %. Ausregelzeit: ab wann die Kurve dauerhaft im Band bleibt. Endet die Kurve unterhalb des Sollwerts, fehlt ein I-Anteil (bleibende Regelabweichung). Aufklingende Schwingungen bedeuten Instabilität – dieselbe Aussage wie Pole rechts der Achse oder eine negative Phasenreserve.

Eingaben

Was du eingibst – und woher die Werte kommen

Streckentyp: Wählt die Form der Regelstrecke: „Verzögerungen“ für P-, I- oder PT-Strecken aus einzelnen Zeitkonstanten (der häufigste Fall in Zacher/Reuter Kap. 3), „schwingfähiges PT2“ für einen Nenner 1 + 2·D·T₀·s + T₀²·s² (Feder-Masse-Systeme, RLC-Kreise) und „Polynom“ für beliebige Zähler-/Nennerkoeffizienten, wenn die Übertragungsfunktion bereits ausmultipliziert vorliegt.
Streckenbeiwert K_S: Statische Verstärkung der Strecke: Änderung der Regelgröße je Einheit Stellgröße im Beharrungszustand (dimensionslos oder z. B. K/% bei Temperaturregelung). Bei I-Strecken ist K_S der Integrierbeiwert K_IS in 1/s. Aus Sprungversuch (Endwert ÷ Sprunghöhe) oder Modellbildung; typisch 0,1 bis 10, muss > 0 sein.
I-Anteile: Anzahl der freien Integratoren (Pole bei s = 0) der Strecke: 0 für Strecken mit Ausgleich (Temperatur, Druck), 1 für Strecken ohne Ausgleich (Füllstand, Position bei Geschwindigkeitsstellglied), 2 für doppelt integrierende Strecken (Position bei Kraftstellglied). Jeder Integrator dreht die Phase um −90°.
Zeitkonstanten T₁, T₂, T₃: Verzögerungszeitkonstanten der Faktoren (1 + s·T) im Nenner, in der gewählten Zeiteinheit. 0 bedeutet „nicht vorhanden“. Aus Sprungantwort (63 %-Zeit bei PT1, siehe PT1-Zeitkonstanten-Rechner) oder aus Bauteildaten (RC, Masse/Dämpfung). Reihenfolge ist egal; typische Werte reichen von Millisekunden (Elektronik) bis Minuten (Thermik).
Zählerzeitkonstante Tz: Optionaler Faktor (1 + s·Tz) im Zähler, also eine Nullstelle bei s = −1/Tz. Sie tritt bei Strecken mit Vorhalt auf (z. B. Messglieder mit Hochpassanteil). 0 = keine Nullstelle.
Eigenzeit T₀ und Dämpfungsgrad D: Parameter des schwingfähigen PT2-Glieds nach Zacher/Reuter Abschn. 3.5: T₀ = 1/ω₀ ist der Kehrwert der ungedämpften Eigenkreisfrequenz, D das dimensionslose Dämpfungsmaß. D < 1 ergibt konjugiert komplexe Pole (Schwingung), D ≥ 1 zwei reelle Pole. Aus Ausschwingversuch (siehe Rechner zum logarithmischen Dekrement) oder Bauteildaten.
Zähler-/Nennerpolynom: Koeffizienten in aufsteigender Potenz von s, durch Komma oder Leerzeichen getrennt: „1, 3, 2“ bedeutet 1 + 3·s + 2·s². Der Zählergrad darf den Nennergrad nicht übersteigen. Diese Form ist für bereits berechnete oder aus Simulationswerkzeugen exportierte Übertragungsfunktionen gedacht.
Totzeit Tt: Transportverzögerung e^(−s·Tt): Der Ausgang reagiert erst nach Tt auf eine Eingangsänderung (Förderband, Rohrleitung, Abtastung). Sie ändert den Betrag nicht, dreht die Phase aber um −ω·Tt (im Bogenmaß) und ist deshalb der wichtigste Stabilitätsfeind. 0 = keine Totzeit. Eine Wurzelortskurve ist nur ohne Totzeit möglich.
Reglertyp: „ohne Regler“ analysiert die Strecke allein (G₀ = G_S). P, PI, PD und PID folgen der additiven Form G_R(s) = K_PR·(1 + 1/(s·Tn) + s·Tv) aus Zacher/Reuter Abschn. 4.3 mit idealem D-Anteil. Ein I-Anteil beseitigt die bleibende Regelabweichung, ein D-Anteil hebt die Phase an.
Reglerverstärkung K_PR: Proportionalbeiwert des Reglers, dimensionslos oder in Stellgröße je Regelgrößeneinheit. Der Schieberegler unter den Ergebnissen variiert genau diesen Wert (ohne Regler: K_S), sodass Pole, Kurven und Sprungantwort live mitwandern. Muss > 0 sein.
Nachstellzeit Tn: Zeit, nach der der I-Anteil bei konstantem Fehler den P-Anteil eingeholt hat (Zacher/Reuter Abschn. 4.3.3). Kleine Tn = kräftige Integration, aber weniger Phasenreserve. Nur bei PI/PID.
Vorhaltzeit Tv: Gewichtung der Fehleränderung im D-Anteil (Zacher/Reuter Abschn. 4.3.5). Hebt die Phase in der Nähe von ω = 1/Tv an. Der Rechner nutzt einen idealen D-Anteil ohne Filter; reale Regler brauchen eine zusätzliche Filterzeitkonstante. Nur bei PD/PID, ≥ 0.
Zeiteinheit: Einheit aller Zeitkonstanten und der Totzeit (ms, s, min, h). Intern wird in Sekunden gerechnet; Kreisfrequenzen erscheinen in rad/s.

Ergebnisse

Was jeder Wert bedeutet

Sprungantwort x(t): Regelgröße nach einem Einheitssprung der Führungsgröße w₀ = 1 (bzw. Stellgröße im offenen Kreis). Mit Maus oder Finger über die Kurve fahren, um Zeit und Wert abzulesen.
Überschwingweite x_m: Prozentuale Überhöhung des ersten Maximums über den Beharrungswert. Zacher/Reuter: 4,3 % beim Betragsoptimum (D = 0,707), 43 % beim Symmetrischen Optimum mit k = 4, 20 % bei der CHR-Einstellung „20 % Überschwingen“. 0 % bedeutet aperiodisch.
Anregelzeit T_an: Zeit vom 10-%- bis zum 90-%-Wert. Sie wächst mit der Totzeit und sinkt mit der Verstärkung. Faustregel: T_an ≈ 1,5…2/ω_d (Durchtrittsfrequenz im Bode-Diagramm).
Ausregelzeit T_aus (2 % / 5 %): Zeit, ab der die Regelgröße dauerhaft im Toleranzband um x(∞) bleibt. Sie wird vom langsamsten Pol des geschlossenen Kreises bestimmt (≈ 4/|σ| für 2 %). „Nicht erreicht“ heißt: innerhalb des Simulationsfensters noch nicht ausgeregelt.
Bleibende Regelabweichung e(∞): Differenz zwischen Sollwert und Endwert. Bei P-Regler an einer P-Strecke bleibt e(∞) = w₀/(1 + K_PR·K_S) (Zacher/Reuter Abschn. 2.6.2), bei I-Anteil im Regler oder in der Strecke ist e(∞) = 0.

Beispiel

Praxisbeispiel aus der Literatur

Zacher/Reuter Beispiel 8.3: P-T2-Strecke mit Totzeit (K_S = 0,8, T₁ = 5 s, T₂ = 6 s, Tt = 2 s), PI-Regler nach Ziegler-Nichols mit K_PR = 3,55 und Tn = 12,45 s. Die Sprungantwort überschwingt um rund 50 % und ist nach etwa 60 s ausgeregelt (4-%-Band); mit den nachgebesserten Werten K_PR = 1, Tn = 8 s sinkt das Überschwingen auf etwa 10 % bei T_aus ≈ 35 s – wie in Bild 8.10.

Einordnung

Wofür der Rechner da ist

Beurteilung einer Reglereinstellung vor der Inbetriebnahme, Vergleich von Einstellregeln, Nachweis von Anforderungen wie „maximal 10 % Überschwingen“ oder „innerhalb von 30 s im Toleranzband“, Erklärung der Wirkung von P-, I- und D-Anteil im Unterricht.

So gehst du vor

Strecke und Regler eingeben und den Kurvenverlauf auf Überschwingen und Beruhigung prüfen.
Zwischen geschlossenem und offenem Kreis umschalten, um zu sehen, was der Regler bewirkt.
Verstärkung mit dem Schieberegler variieren: Höheres K macht schneller, aber schwingfreudiger; die Pole wandern in der s-Ebene mit.
Einstellwerte aus dem Einstellregel-Rechner übernehmen und die Antwort vergleichen.

Quelle

Fachliche Grundlage

Zacher/Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, 17. Aufl. 2024: Abschn. 2.6.2 bleibende Regelabweichung, Abschn. 4.2 Führungs- und Störverhalten (Gl. 4.13), Abschn. 8.1 Gütekriterien des Zeitverhaltens, Beispiel 8.3 und Bild 8.10. Dubbel, Kap. X, Abschn. 5.3 (Überschwingweite, Ausregelzeit, Anregelzeit).

Die Quellen belegen Gleichungen und Zahlenbeispiele; die Referenzbeispiele werden in den automatischen Tests des Rechners nachgerechnet. Der Rechner ersetzt keine Simulation mit dem vollständigen nichtlinearen Anlagenmodell.

Zuletzt aktualisiert: 2026-09-20

FAQ

Häufige Fragen

Was ist eine Übertragungsfunktion?

G(s) = Ausgang(s)/Eingang(s) beschreibt ein lineares zeitinvariantes Glied im Laplace-Bereich. Der Nenner enthält die Eigendynamik (Pole), der Zähler die Eingriffsdynamik (Nullstellen). Für s = jω wird daraus der Frequenzgang, aus dem Bode- und Nyquist-Diagramm folgen.

Warum wirkt der Schieberegler nur auf K_PR bzw. K_S?

Die Kreisverstärkung ist der Parameter, den Praktiker zuerst verstellen, und der einzige, der Betragsgang, Wurzelortskurve und Sprungantwort proportional verschiebt, ohne die Form des Phasengangs zu ändern. Alle übrigen Parameter ändern Sie in den Eingabefeldern; die Anzeige aktualisiert sich ebenfalls sofort.

Warum bleibt bei einem P-Regler ein Fehler?

Der P-Regler braucht eine Regeldifferenz, um überhaupt eine Stellgröße zu erzeugen. Im Beharrungszustand gilt e(∞) = w₀/(1 + K_PR·K_S); nur ein I-Anteil (im Regler oder in der Strecke) treibt e auf null (Zacher/Reuter Abschn. 2.6.2).

Wie hängt das Überschwingen mit der Dämpfung zusammen?

Bei einem dominanten Polpaar gilt x_m = e^(−π·D/√(1 − D²)): D = 0,5 ergibt 16 %, D = 0,707 ergibt 4,3 %, D ≥ 1 ergibt kein Überschwingen. Nullstellen und weitere Pole verändern diese Werte; der Rechner zeigt das simulierte, nicht das idealisierte Überschwingen.

Verwandte Rechner

Weiter im Cluster Regelungstechnik

Transfer-Function-Core

Derselbe Regelkreis in anderen Ansichten

Alle Regelungstechnik-Rechner