Rechenweg
tₐ = −(T₀/D)·ln[(p/100)·√(1−D²)]
Die exponentielle Hüllkurve der Schwingung wird mit dem erlaubten Abstand zum Endwert geschnitten; so entsteht eine nachvollziehbare obere Abschätzung der Ausregelzeit.
Zacher/Reuter 2024, Abschnitte 3.5 und 8.1: PT2-Hüllkurve und Ausregelzeit
PT2-Ausregelzeit für ein Toleranzband
Die exponentielle Hüllkurve der Schwingung wird mit dem erlaubten Abstand zum Endwert geschnitten; so entsteht eine nachvollziehbare obere Abschätzung der Ausregelzeit.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Eingaben verstehen
- Konservative Ausregelzeit tₐ — Zeit ab dem Eingangssprung, nach der die PT2-Hüllkurve innerhalb des gewählten Toleranzbands liegt. Verwenden Sie den Wert für Beobachtungsdauer, Prüfzeit oder als vorsichtige Wartezeit vor einer stationären Auswertung.
- Dämpfungsgrad D — Dimensionsloses Abklingmaß des PT2-Modells. Es stammt aus Modellparametern oder kann aus einer Ausschwingkurve bestimmt werden. Der Rechner gilt ausschließlich für den schwingfähigen Bereich 0<D<1.
- Eigenzeit T₀ — Kehrwert der ungedämpften Eigenkreisfrequenz: T₀=1/ω₀. Aus dem identifizierten PT2-Modell übernehmen; T₀ legt zusammen mit D die Abklinggeschwindigkeit fest.
- Relatives Toleranzband p [%] — Zulässiger Betrag der Abweichung vom Endwert in Prozent der gesamten Sprungänderung. Häufig werden 2 % oder 5 % verwendet; wählen Sie den Wert aus Ihrer Prüf- oder Prozessanforderung.
Beispiel
Für D=0,5, T₀=1 s und ein ±2-%-Band ergibt die Hüllkurve tₐ≈7,801 s. Ab dann ist der Betrag der modellierten Abweichung garantiert kleiner als 2 % der Sprungänderung.
Annahmen und Grenzen
Normiertes lineares zeitinvariantes PT2-System ohne Totzeit, Nullstellen oder weitere dominante Pole, unterdämpfter Fall 0<D<1. Das Ergebnis basiert auf der Hüllkurve und ist daher konservativ; die tatsächliche letzte Bandüberschreitung kann früher liegen.
PT2-Ausregelzeit für ein Toleranzband verstehen
Dieser Rechner beantwortet eine praktische Frage: Wie lange sollte man nach einem Sprung warten, bis eine schwingende PT2-Antwort sicher nahe genug an ihrem Endwert bleibt? Das Ergebnis ist eine konservative Abschätzung über die exponentielle Hüllkurve.
Was beschreibt diese Größe?
Die Ausregelzeit ist der Zeitpunkt, ab dem die Antwort dauerhaft innerhalb eines vorgegebenen Bands um den Endwert bleibt. PT2 bedeutet ein proportional wirkendes System mit zwei Energiespeichern. Für 0<D<1 schwingt es; D ist der Dämpfungsgrad und T₀ die Eigenzeit. Der Rechner setzt die maximale Hüllkurvenabweichung gleich dem Band p.
Formel und Variablen
tₐ = −(T₀/D)·ln[(p/100)·√(1−D²)]
Relative Hüllkurve: h(t)=exp(−D·t/T₀)/√(1−D²)Bedingung: h(tₐ)=p/100tₐ=−(T₀/D)·ln[(p/100)·√(1−D²)]
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Konservative Ausregelzeit tₐ | Zeit ab dem Eingangssprung, nach der die PT2-Hüllkurve innerhalb des gewählten Toleranzbands liegt. Verwenden Sie den Wert für Beobachtungsdauer, Prüfzeit oder als vorsichtige Wartezeit vor einer stationären Auswertung. |
| Dämpfungsgrad D | Dimensionsloses Abklingmaß des PT2-Modells. Es stammt aus Modellparametern oder kann aus einer Ausschwingkurve bestimmt werden. Der Rechner gilt ausschließlich für den schwingfähigen Bereich 0<D<1. |
| Eigenzeit T₀ | Kehrwert der ungedämpften Eigenkreisfrequenz: T₀=1/ω₀. Aus dem identifizierten PT2-Modell übernehmen; T₀ legt zusammen mit D die Abklinggeschwindigkeit fest. |
| Relatives Toleranzband p [%] | Zulässiger Betrag der Abweichung vom Endwert in Prozent der gesamten Sprungänderung. Häufig werden 2 % oder 5 % verwendet; wählen Sie den Wert aus Ihrer Prüf- oder Prozessanforderung. |
Eingaben richtig wählen
D kommt aus dem Streckenmodell oder aus einer gemessenen Ausschwingkurve. T₀=1/ω₀ ist der Kehrwert der ungedämpften Eigenkreisfrequenz und steht im PT2-Modell. p ist die zulässige Abweichung in Prozent der gesamten Sprungänderung – nicht Prozent des momentanen Messwerts. Die Vorgabe stammt aus Prüfplan, Prozessanforderung oder eigener Genauigkeitsentscheidung.
So benutzt du den Rechner
Zuerst ein PT2-Modell identifizieren und prüfen, dass 0<D<1 gilt. Dann das fachlich begründete Toleranzband wählen, typischerweise ±2 % für eine strenge und ±5 % für eine gröbere Bewertung. Das Ergebnis als Mindestdauer der Auswertung oder Simulation verwenden; eine vorhandene Totzeit separat addieren.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Mit D=0,5, T₀=1 s und p=2 % wird tₐ≈7,801 s. Für dasselbe System mit 5 % verkürzt sich die konservative Zeit auf etwa 5,966 s. Eine Verdopplung von T₀ verdoppelt beide Zeiten.
Ergebnis und Einheiten verstehen
Nach tₐ liegt selbst die obere mathematische Hüllkurve innerhalb ±p. Die reale Schwingung kann das Band früher zum letzten Mal schneiden; der Rechner wählt absichtlich die sichere Seite. Ein kleinerer erlaubter Fehler oder eine schwächere Dämpfung verlängert die Wartezeit.
T₀ und tₐ sind Zeiten; Sekunden, Minuten und Stunden werden intern über die SI-Basis Sekunde umgerechnet. D ist dimensionslos. p wird als Prozentwert eingegeben und intern durch 100 geteilt.
Typische Anwendungen
Nützlich für Versuchsdauer, Wartezeiten vor stationärer Messwertübernahme, Simulationshorizonte, Vergleich verschiedener Dämpfungen und die verständliche Bewertung einer Regelkreisantwort.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Das Ergebnis gilt für ein ideales unterdämpftes PT2-Modell ohne Totzeit, Nullstellen oder zusätzliche dominante Dynamik. Es ist keine exakte numerische Suche nach dem letzten Kurvenschnitt, sondern eine garantierende Hüllkurvenabschätzung. Messrauschen oder bleibende Regelabweichung benötigen ein zusätzliches Fehlerbudget.
Typischer Fehler: p=2 bedeutet 2 %, nicht 0,02 %. T₀ nicht mit der gedämpften Schwingungsdauer verwechseln. Eine Prozess-Totzeit verschwindet nicht: Sie muss zur berechneten dynamischen Ausregelzeit addiert werden.
Häufige Fragen
Wofür ist „PT2-Ausregelzeit mit frei wählbarem Toleranzband“ gedacht?
Nützlich für Versuchsdauer, Wartezeiten vor stationärer Messwertübernahme, Simulationshorizonte, Vergleich verschiedener Dämpfungen und die verständliche Bewertung einer Regelkreisantwort.
Woher kommen die Eingabewerte?
D kommt aus dem Streckenmodell oder aus einer gemessenen Ausschwingkurve. T₀=1/ω₀ ist der Kehrwert der ungedämpften Eigenkreisfrequenz und steht im PT2-Modell. p ist die zulässige Abweichung in Prozent der gesamten Sprungänderung – nicht Prozent des momentanen Messwerts. Die Vorgabe stammt aus Prüfplan, Prozessanforderung oder eigener Genauigkeitsentscheidung.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Das Ergebnis gilt für ein ideales unterdämpftes PT2-Modell ohne Totzeit, Nullstellen oder zusätzliche dominante Dynamik. Es ist keine exakte numerische Suche nach dem letzten Kurvenschnitt, sondern eine garantierende Hüllkurvenabschätzung. Messrauschen oder bleibende Regelabweichung benötigen ein zusätzliches Fehlerbudget.