Betragsoptimum und Symmetrisches Optimum: Reglereinstellung für PT1-, PT2- und I-T1-Strecken
Optimale P- und PI-Reglereinstellung nach dem Betragsoptimum (Grundtyp A und B) und dem Symmetrischen Optimum nach Kessler berechnen: K_PR, Tn, Dämpfung, Phasenreserve, Überschwingen, An- und Ausregelzeit.
G(s)Zacher/Reuter 2024
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Optimale Einstellung
K_PR,optOptimale Reglerverstärkung nach der gewählten Regel.
0,5
Tn
8 s
ω_dDurchtrittsfrequenz ω_d = 1/(√k·T₁), Gl. 8.35.
0,25 rad/s
φ_RPhasenreserve aus k = cot²((90° − φ_R)/2), Gl. 8.36.
36,9°
DDämpfungsgrad des dominanten Polpaars des geschlossenen Kreises.
Führungssprungantwort des optimal eingestellten Kreises
Simulation der Grundstruktur mit den berechneten Reglerwerten. Überschwingen 43,4 %, Anregelzeit 4,24 s, Ausregelzeit (2 %) 33,12 s – zum Vergleich mit den Tabellenwerten 4,3 % / 4,7·T₁ / 11·T₁ (Betragsoptimum) bzw. 43,4 % / 3,1·T₁ / 18·T₁ (Symmetrisches Optimum, k = 4).
Zeiger über die Kurve bewegen, um Werte abzulesen.
Methode
Was wird berechnet?
Das Betragsoptimum fordert, dass der Betrag der Führungsübertragungsfunktion |G_w(jω)| über einen möglichst großen Frequenzbereich nahe 1 bleibt, was auf eine waagerechte Tangente bei ω = 0 (Gl. 8.24) und bei Verzögerungsstrecken auf die optimale Dämpfung D = 1/√2 (Gl. 8.25) führt: 4,3 % Überschwingen, Anregelzeit ≈ 4,7·T₁, Ausregelzeit ≈ 11·T₁. Grundtyp A ist ein I-T1-Kreis G₀ = K_PR·K_S·K_IS/(s(1 + sT₁)) – etwa ein PI-Regler, dessen Tn die große Zeitkonstante kompensiert hat – mit K_PRopt = 1/(2·K_S·K_IS·T₁). Grundtyp B ist eine PT2-Strecke mit P-Regler, K_PRopt = (T₁ + T₂)²/(2·K_S·T₁·T₂) − 1/K_S, mit bleibender Regelabweichung 1/(1 + K_PR·K_S). Das Symmetrische Optimum gilt für Strecken mit I-Anteil und Verzögerung, geregelt mit PI (Gl. 8.26): Der Phasengang wird bei der Durchtrittsfrequenz maximal, wenn ω_d das geometrische Mittel der Eckfrequenzen 1/Tn und 1/T₁ ist. Mit dem Faktor k = Tn/T₁ folgen K_PRopt = 1/(√k·K_S·K_IS·T₁), ω_d = 1/(√k·T₁) und die Phasenreserve aus k = cot²((90° − φ_R)/2) (Gl. 8.36). Kessler empfiehlt k = 4: φ_R = 37°, D = 0,5, 43,4 % Überschwingen, T_an ≈ 3,1·T₁, T_aus ≈ 18·T₁ (Bild 8.19); k = 9 ergibt den aperiodischen Grenzfall mit dreifachem Pol.
Gleichungen
Betragsoptimum: d|G_w(jω)|/dω = 0 bei ω = 0 (Gl. 8.24) → D = 1/√2 (Gl. 8.25)
k = cot²((90° − φ_R)/2) (Gl. 8.36); D = (√k − 1)/2; k = 4: φ_R = 37°, x_m = 43,4 %
Grenzen
Voraussetzungen und typische Fehler
Die Formeln setzen die genannten Grundtypen voraus; zusätzliche Zeitkonstanten müssen kompensiert (Tn = T_groß, Tv = T₂) oder zu T_E zusammengefasst sein (T₁ ≥ 5·T₂). Die Gütewerte gelten für ideale Regler ohne Begrenzung und für Führungssprünge; Störverhalten weicht ab. Totzeit ist nicht enthalten.
K_IS als Zeitkonstante statt als Beiwert in 1/s eingeben. Die große Zeitkonstante als T₁ verwenden – T₁ ist die kleine, unkompensierte. Das Symmetrische Optimum auf eine PT1-Strecke ohne I-Anteil anwenden.
Welche Methode wann?
Betragsoptimum bei Strecken mit Ausgleich oder bei I-T1-Kreisen, in denen der Regler keine zweite Integration einbringt; Symmetrisches Optimum, sobald zwei Integratoren in Reihe stehen (I-Strecke + PI-Regler) – dort wäre das Betragsoptimum instabil. Bei PI an PT1 mit dominanter Zeitkonstante: Tn = T_groß setzen und Grundtyp A mit K_IS = 1/Tn verwenden (Zeile e der Tabelle).
Eingaben
Was du eingibst – und woher die Werte kommen
Verfahren
Betragsoptimum Grundtyp A (I-T1-Strecke bzw. kompensierter PI-Kreis), Grundtyp B (PT2-Strecke mit P-Regler) oder Symmetrisches Optimum (I-T1-Strecke mit PI-Regler). Die Auswahl richtet sich nach der Streckenstruktur, siehe Methodenhinweis.
Streckenbeiwert K_S
Proportionalbeiwert der Strecke (dimensionslos oder in Regelgröße je Stellgröße), > 0.
Integrierbeiwert K_IS
Beiwert des I-Anteils der Strecke in 1/s (Grundtyp A, Symmetrisches Optimum): Steigung der Rampe je Einheit Stellgröße. Für eine kompensierte PT1-Strecke mit PI-Regler ist K_IS = 1/Tn zu setzen. > 0.
Zeitkonstante T₁ (kleine Zeitkonstante)
Verbleibende, nicht kompensierte Verzögerung des Kreises (Stellglied, Messglied, Summe kleiner Zeitkonstanten T_E = T₁ + T₂ bei T₁ ≥ 5·T₂). Sie bestimmt Schnelligkeit und Ausregelzeit. > 0.
Zeitkonstante T₂ (Grundtyp B)
Zweite Zeitkonstante der PT2-Strecke. Für T₂ ≫ T₁ gilt die Näherung K_PRopt ≈ T₂/(2·K_S·T₁) (Zeile e der Tabelle).
Faktor k = Tn/T₁
Bandbreitenfaktor des Symmetrischen Optimums, > 1. k = 4 ist die Standardeinstellung nach Kessler; größere k geben mehr Phasenreserve und weniger Überschwingen, aber langsameres Störverhalten; k = 9 ist aperiodisch.
Ergebnisse
Was jeder Wert bedeutet
K_PRopt
Optimale Reglerverstärkung nach der gewählten Regel. In den Sprungantwort- oder Bode-Rechner übernehmen, um das Ergebnis zu prüfen.
Tn
Nachstellzeit des PI-Reglers (Symmetrisches Optimum: k·T₁; Grundtyp A: gleich der kompensierten großen Zeitkonstante).
Dämpfung D und Phasenreserve φ_R
Kennwerte des geschlossenen Kreises: D = 0,707 beim Betragsoptimum; beim Symmetrischen Optimum D = (√k − 1)/2 und φ_R aus Gl. 8.36 (37° bei k = 4, 45° entsprechen D = 0,707 bei k ≈ 5,8).
Überschwingen, T_an, T_aus
Erwartete Gütewerte nach Zacher/Reuter Bild 8.16/8.19: 4,3 %, 4,7·T₁ und 11·T₁ beim Betragsoptimum; 43,4 %, 3,1·T₁ und 18·T₁ beim Symmetrischen Optimum mit k = 4. Für andere k wird nur D und φ_R angegeben.
Bleibende Regelabweichung (Grundtyp B)
e(∞) = 1/(1 + K_PR·K_S) – der P-Regler ohne I-Anteil lässt einen Restfehler. Die anderen Verfahren enthalten einen Integrator und regeln vollständig aus.
Beispiel
Praxisbeispiel aus der Literatur
Symmetrisches Optimum mit K_S·K_IS = 0,5 s⁻¹, T₁ = 2 s und k = 4: Tn = 8 s, K_PRopt = 1/(2·0,5·2) = 0,5, ω_d = 0,25 s⁻¹, φ_R = 37°, D = 0,5. Der Sprungantwort-Rechner bestätigt mit denselben Werten 43 % Überschwingen. Betragsoptimum Grundtyp A mit K_S = 0,5, K_IS = 2 s⁻¹, T₁ = 3 s: K_PRopt = 1/(2·0,5·2·3) = 0,167, Überschwingen 4,3 %, T_an ≈ 14 s, T_aus ≈ 33 s.
Einordnung
Wofür der Rechner da ist
Standardverfahren der Antriebstechnik: Stromregler (Betragsoptimum) und Drehzahlregler (Symmetrisches Optimum) in Kaskadenstrukturen, Lageregelung mit I-Verhalten, schnelle elektrische und hydraulische Stellkreise mit bekannten kleinen Zeitkonstanten.
So gehst du vor
Streckenstruktur bestimmen: I-T1 (Grundtyp A oder SO), PT2 (Grundtyp B) oder PT1 mit kompensierendem PI-Regler (Tn = große Zeitkonstante, dann Grundtyp A mit K_IS = 1/Tn).
Beiwerte und Zeitkonstanten eintragen; beim SO den Faktor k wählen.
K_PRopt und Tn ablesen und im Sprungantwort-Rechner mit der vollständigen Strecke nachrechnen.
Bei zu großem Überschwingen (SO) Führungsgrößenfilter oder größeres k vorsehen.
Quelle
Fachliche Grundlage
Zacher/Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, 17. Aufl. 2024: Abschn. 8.4.1 Betragsoptimum (Gl. 8.24–8.25, Tabelle Grundtyp A/B, Bild 8.16), Abschn. 8.4.2 Symmetrisches Optimum (Gl. 8.26–8.39, Bild 8.17–8.19). Kessler, C.: Über die Vorausberechnung optimal abgestimmter Regelkreise, Regelungstechnik 1955 (zitiert nach Zacher/Reuter).
Die Quellen belegen Gleichungen und Zahlenbeispiele; die Referenzbeispiele werden in den automatischen Tests des Rechners nachgerechnet. Der Rechner ersetzt keine Simulation mit dem vollständigen nichtlinearen Anlagenmodell.
Zuletzt aktualisiert: 2026-09-20
FAQ
Häufige Fragen
Warum überschwingt das Symmetrische Optimum um 43 %?
Die Nullstelle des PI-Reglers bei −1/Tn liegt nahe am dominanten Polpaar und verstärkt dessen Überschwingen; das Verfahren optimiert Störverhalten, nicht Führungsverhalten. Ein Führungsgrößenfilter (1 + s·Tn)⁻¹ senkt das Überschwingen auf etwa 8 %.
Woher kommt D = 0,707 beim Betragsoptimum?
Die Forderung nach waagerechter Tangente des Betragsgangs bei ω = 0 (Gl. 8.24) führt für einen PT2-geschlossenen Kreis auf 1 − 2D² = 0 (Zacher/Reuter Abschn. 8.4.1).
Wie wähle ich k?
k = 4 (Kessler) für Standard-Antriebsregler; k ≈ 5,8 für φ_R = 45° und D = 0,707; k = 9 für aperiodisches Verhalten. Größeres k senkt die Bandbreite ω_d = 1/(√k·T₁).
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