Hurwitz-Kriterium: Stabilität aus den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung

Was wird berechnet?

Die charakteristische Gleichung ist das gleich null gesetzte Nennerpolynom der Führungsübertragungsfunktion, also 1 + G₀(s) = 0 auf einen Nenner gebracht (Zacher/Reuter Gl. 6.8 und 6.21). Ein Regelkreis ist stabil, wenn alle ihre Wurzeln negativen Realteil haben. Hurwitz hat gezeigt, dass man die Wurzeln dafür nicht kennen muss: Notwendig ist, dass alle Koeffizienten vorhanden sind und gleiches Vorzeichen haben (Bedingung a); hinreichend ist, dass alle Hauptabschnittsdeterminanten der Hurwitz-Matrix positiv sind (Bedingung b, Gl. 6.16). Für n = 3 reduziert sich das auf a₁a₂ − a₀a₃ > 0 (Gl. 6.17), für n = 4 auf a₁a₂a₃ − a₀a₃² − a₁²a₄ > 0 (Gl. 6.19). Ist die letzte Determinante genau null, liegt ein Polpaar auf der imaginären Achse: Der Kreis führt eine Dauerschwingung mit ω = √(a₀/a₂) (n = 3) aus – das ist die Stabilitätsgrenze, die für die Ziegler-Nichols-Regeln gebraucht wird. Zur Kontrolle berechnet der Rechner zusätzlich die Wurzeln numerisch.

Gleichungen

aₙsⁿ + aₙ₋₁sⁿ⁻¹ + … + a₁s + a₀ = 0 (Gl. 6.8)

a) alle aᵢ vorhanden und gleichen Vorzeichens

b) D₁ = a₁ > 0, D₂ = a₁a₂ − a₀a₃ > 0, …, Dₙ > 0 (Gl. 6.16)

n = 3: a₁a₂ − a₀a₃ > 0 (Gl. 6.17); n = 4: a₁a₂a₃ − a₀a₃² − a₁²a₄ > 0 (Gl. 6.19)

Stabilitätsgrenze: Dₙ₋₁ = 0, Dauerschwingung mit ω² = a₀/a₂ (n = 3)

Voraussetzungen und typische Fehler

Nur für gebrochen rationale Übertragungsfunktionen; eine Totzeit macht die charakteristische Gleichung transzendent (Zacher/Reuter Abschn. 6.2) – dann Nyquist verwenden. Das Kriterium sagt nur stabil/instabil, nichts über die Regelgüte: Ein Kreis knapp innerhalb der Grenze ist stabil, aber schlecht gedämpft.

Koeffizienten des offenen statt des geschlossenen Kreises einsetzen. Zeiteinheiten mischen (T₁ in s, T₂² in min²). Einen einzelnen negativen Koeffizienten übersehen – dann ist die Determinantenprüfung überflüssig, der Kreis ist bereits instabil.

Was du eingibst – und woher die Werte kommen

Koeffizienten a₀ … aₙ

Zahlenwerte des Nennerpolynoms von G_w(s) in aufsteigender Potenz, in konsistenten Zeiteinheiten (z. B. a₃ in s³, a₂ in s², a₁ in s, a₀ dimensionslos). Sie ergeben sich, wenn 1 + G_R(s)·G_S(s) = 0 auf einen gemeinsamen Nenner gebracht wird; Zacher/Reuter zeigt das in Gl. 6.5 für PID-Regler und Strecke m-ter Ordnung. Mit dem Button „aus Regelkreis übernehmen“ lassen sich die Koeffizienten aus Strecke und Regler bilden.

Grad n

Höchste Potenz von s. Der Rechner unterstützt n = 1 bis 10; führende Nullen werden entfernt.

Was jeder Wert bedeutet

Bedingung a: Koeffizienten

Erfüllt, wenn kein Koeffizient fehlt (= 0) und alle dasselbe Vorzeichen haben. Ein fehlender Koeffizient (z. B. zwei I-Glieder in Reihe, Zacher/Reuter Abschn. 4.3.2.2) bedeutet bereits Grenzstabilität oder Instabilität.

Hurwitz-Matrix und Determinanten D₁ … Dₙ

Matrix nach Gl. 6.16 (erste Zeile a₁, a₃, a₅ …, zweite Zeile a₀, a₂, a₄ …, dann spaltenweise verschoben) und die Hauptabschnittsdeterminanten. Alle müssen > 0 sein; die letzte ist stets aₙ·Dₙ₋₁, deshalb entscheidet praktisch Dₙ₋₁.

Urteil

stabil / Stabilitätsgrenze / instabil. An der Grenze wird die Kreisfrequenz der Dauerschwingung aus den Wurzeln auf der imaginären Achse angegeben.

Wurzeln (Kontrolle)

Numerisch bestimmte Nullstellen der charakteristischen Gleichung. Sie bestätigen das Urteil und zeigen, welches Polpaar am nächsten an der Grenze liegt.

Praxisbeispiel aus der Literatur

Zacher/Reuter Beispiel 6.1: P-T2-Strecke K_S = 0,5, T₁ = 30 s, T₂² = 200 s² mit PI-Regler K_PR = 10, Tn = 4 s. Charakteristische Gleichung: 800 s³·s³ + 120 s²·s² + 24 s·s + 5 = 0. Alle Koeffizienten sind positiv, aber a₁a₂ − a₀a₃ = 2880 − 4000 = −1120 s³ < 0 – instabil. Die Stabilitätsgrenze liegt bei Tn = 5,55 s; dort schwingt der Kreis mit ω = 0,173 s⁻¹. Alternativ erreicht ein D-Anteil mit Tv = 2,33 s die Grenze.

Wofür der Rechner da ist

Schneller Stabilitätsnachweis ohne Wurzelberechnung, Herleitung von Parametergrenzen (bis zu welchem K, welchem Tn bleibt der Kreis stabil), Kontrolle von Übungsaufgaben und Prüfungsrechnungen, Vorberechnung der Stabilitätsgrenze vor der Inbetriebnahme (Dubbel Abschn. 5.3).

So gehst du vor

1. Charakteristische Gleichung aufstellen: 1 + G_R·G_S = 0 auf einen Nenner bringen und nach Potenzen von s ordnen.
2. Koeffizienten a₀ … aₙ eintragen (oder aus dem Regelkreisformular übernehmen).
3. Bedingung a und die Determinanten prüfen; bei D = 0 die Schwingfrequenz ablesen.
4. Für Grenzwerte einzelner Parameter (Tn, Tv, K) die Gleichung D = 0 nach dem Parameter auflösen, wie in Beispiel 6.1.

Fachliche Grundlage

Zacher/Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, 17. Aufl. 2024: Abschn. 6.1 Stabilitätskriterium nach Hurwitz (Gl. 6.1–6.21), Beispiel 6.1, Aufgabe 6.1. Heinrich, Grundlagen Regelungstechnik, 6. Aufl., Abschn. 7.2. Dubbel, Kap. X, Abschn. 5.3.

Die Quellen belegen Gleichungen und Zahlenbeispiele; die Referenzbeispiele werden in den automatischen Tests des Rechners nachgerechnet. Der Rechner ersetzt keine Simulation mit dem vollständigen nichtlinearen Anlagenmodell.

Zuletzt aktualisiert: 2026-09-20

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