Rechenweg
V=Kp·Ks; Kcl=V/(1+V); Tcl=T/(1+V); x(t)=Δw·Kcl·[1−e^(−t/Tcl)]
Das Schließen des Regelkreises beschleunigt die PT1-Dynamik, lässt bei rein proportionaler Regelung aber eine bleibende Soll-Ist-Abweichung zurück.
Zacher/Reuter 2024, Abschnitte 2.2, 2.6.2 und 3.2: geschlossener Regelkreis mit P-Regler und PT1-Strecke
P-Regler mit PT1-Strecke: geschlossene Sprungantwort
Das Schließen des Regelkreises beschleunigt die PT1-Dynamik, lässt bei rein proportionaler Regelung aber eine bleibende Soll-Ist-Abweichung zurück.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Berechnete Sprungantwort
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Eingaben verstehen
- Änderung des Istwerts x(t) — Änderung der geregelten Prozessgröße gegenüber dem Betriebspunkt zum gewählten Zeitpunkt. Für den absoluten Messwert den Istwert vor dem Sollwertsprung addieren; die Kurve zeigt außerdem den bleibenden Endwert.
- Reglerverstärkung Kp — Änderung der Stellgröße je Einheit Regeldifferenz. Aus der aktiven Reglereinstellung übernehmen; sie muss zur Signalskalierung der Streckenverstärkung passen.
- Statische Streckenverstärkung Ks — Bleibende Änderung der Prozessausgabe geteilt durch eine kleine Stellgrößenänderung. Aus zwei stationären Betriebspunkten oder einem identifizierten PT1-Modell bestimmen.
- Offene Zeitkonstante T — PT1-Zeitkonstante der ungeregelten Strecke. Nach einem Stellgrößensprung sind nach T Sekunden 63,2 % der bleibenden Streckenänderung erreicht.
- Sollwertsprung Δw — Neuer minus alter Sollwert in derselben Skala wie der Istwert. Nur die Änderung eintragen, nicht den absoluten neuen Sollwert.
- Zeit seit dem Sollwertsprung t — Vergangene Zeit seit der Sollwertänderung. Der berechnete Punkt wird in der interaktiven Kurve markiert.
Beispiel
Kp=4, Ks=2, T=5 s und Δw=10 ergeben V=8, den Endwert 8,889 und die geschlossene Zeitkonstante 0,556 s. Bei t=5 s ist x(t)≈8,888 und damit praktisch eingeschwungen.
Annahmen und Grenzen
Lineare negative Einheitsrückführung, idealer P-Regler und stabile PT1-Strecke ohne Totzeit, zusätzliche Pole, Begrenzung oder Störung. Regler- und Streckenverstärkung sind positiv und konsistent skaliert.
P-Regler mit PT1-Strecke: geschlossene Sprungantwort verstehen
Dieser Rechner zeigt erstmals nicht nur Regler oder Strecke einzeln, sondern ihr Zusammenspiel im geschlossenen Regelkreis. Er berechnet, wie schnell der Istwert einem Sollwertsprung folgt und welcher stationäre Restfehler bei einem reinen Proportionalregler verbleibt.
Was beschreibt diese Größe?
PT1 bezeichnet eine proportional wirkende Strecke mit einer Verzögerung erster Ordnung. Kp ist die Verstärkung des Proportionalreglers, Ks die statische Streckenverstärkung. Bei negativer Einheitsrückführung bleibt der geschlossene Kreis ebenfalls ein PT1-System, jedoch mit der Verstärkung Kcl=Kp·Ks/(1+Kp·Ks) und der verkürzten Zeitkonstante Tcl=T/(1+Kp·Ks).
Formel und Variablen
V=Kp·Ks; Kcl=V/(1+V); Tcl=T/(1+V); x(t)=Δw·Kcl·[1−e^(−t/Tcl)]
Schleifenverstärkung: V=Kp·KsGeschlossene Verstärkung: Kcl=V/(1+V)Geschlossene Zeitkonstante: Tcl=T/(1+V)Antwort: x(t)=Δw·Kcl·[1−exp(−t/Tcl)]
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Änderung des Istwerts x(t) | Änderung der geregelten Prozessgröße gegenüber dem Betriebspunkt zum gewählten Zeitpunkt. Für den absoluten Messwert den Istwert vor dem Sollwertsprung addieren; die Kurve zeigt außerdem den bleibenden Endwert. |
| Reglerverstärkung Kp | Änderung der Stellgröße je Einheit Regeldifferenz. Aus der aktiven Reglereinstellung übernehmen; sie muss zur Signalskalierung der Streckenverstärkung passen. |
| Statische Streckenverstärkung Ks | Bleibende Änderung der Prozessausgabe geteilt durch eine kleine Stellgrößenänderung. Aus zwei stationären Betriebspunkten oder einem identifizierten PT1-Modell bestimmen. |
| Offene Zeitkonstante T | PT1-Zeitkonstante der ungeregelten Strecke. Nach einem Stellgrößensprung sind nach T Sekunden 63,2 % der bleibenden Streckenänderung erreicht. |
| Sollwertsprung Δw | Neuer minus alter Sollwert in derselben Skala wie der Istwert. Nur die Änderung eintragen, nicht den absoluten neuen Sollwert. |
| Zeit seit dem Sollwertsprung t | Vergangene Zeit seit der Sollwertänderung. Der berechnete Punkt wird in der interaktiven Kurve markiert. |
Eingaben richtig wählen
Kp kommt aus der Reglereinstellung. Ks und T werden aus einem kleinen Stellgrößensprung an der ungeregelten Strecke oder aus einem identifizierten Modell gewonnen. Δw ist neuer minus alter Sollwert, t die Zeit seit diesem Sprung. Alle Signalverstärkungen müssen dieselbe Skalierung verwenden – beispielsweise Prozent Stellgröße und Prozent Messbereich.
So benutzt du den Rechner
Strecke zunächst in einem sicheren Betriebspunkt identifizieren. Ks aus bleibender Ausgangsänderung durch Stellgrößenschritt und T aus der 63,2-%-Zeit bestimmen. Kp und den geplanten Sollwertsprung einsetzen. Endwert und Kurvenform mit Genauigkeits- und Geschwindigkeitsanforderung vergleichen; Stellbereich und reale Stabilität separat prüfen.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Kp=4 und Ks=2 ergeben die Schleifenverstärkung V=8. Bei T=5 s wird daraus Tcl=5/9=0,556 s. Ein Sollwertsprung um 10 führt stationär nur zu 80/9=8,889; nach einer geschlossenen Zeitkonstante sind davon 63,2 % erreicht.
Ergebnis und Einheiten verstehen
Größeres Kp verkürzt im idealen Modell die Antwort und bringt den Endwert näher an den Sollwert. Der Rest Δw/(1+Kp·Ks) bleibt jedoch bestehen. In einer realen Anlage begrenzen zusätzliche Verzögerungen und Totzeiten die gefahrlos mögliche Verstärkung.
T und t können in Sekunden, Minuten oder Stunden gewählt werden und werden intern auf Sekunden bezogen. Kp·Ks muss dimensionslos sein. Δw und x(t) verwenden dieselbe normierte Skala.
Typische Anwendungen
Geeignet für Lehre, Vorentwurf eines P-Regelkreises, Vergleich verschiedener Kp-Werte, Prüfung einer aufgezeichneten Führungsantwort und Abschätzung von Reaktionszeit und stationärer Genauigkeit.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Das Ergebnis gilt für lineare negative Einheitsrückführung mit idealem P-Regler und genau einer PT1-Zeitkonstante. Totzeit, zusätzliche Pole, Sensorfilter, Stellglieddynamik, Sättigung, Störungen und Messrauschen sind nicht enthalten. Deshalb ist die scheinbar beliebige Beschleunigung bei großem Kp kein Freigabenachweis.
Typischer Fehler: Nicht die offene Zeitkonstante T mit Tcl verwechseln. Keinen absoluten Sollwert statt Δw eingeben. Ks nicht aus Prozentwerten bestimmen und Kp anschließend auf einer anderen physikalischen Skala verwenden. Der stationäre Fehler darf nicht aus der Kurve bei einer zu kurzen Beobachtungszeit abgelesen werden.
Häufige Fragen
Wofür ist „Geschlossene Sprungantwort eines P-Reglers mit PT1-Strecke“ gedacht?
Geeignet für Lehre, Vorentwurf eines P-Regelkreises, Vergleich verschiedener Kp-Werte, Prüfung einer aufgezeichneten Führungsantwort und Abschätzung von Reaktionszeit und stationärer Genauigkeit.
Woher kommen die Eingabewerte?
Kp kommt aus der Reglereinstellung. Ks und T werden aus einem kleinen Stellgrößensprung an der ungeregelten Strecke oder aus einem identifizierten Modell gewonnen. Δw ist neuer minus alter Sollwert, t die Zeit seit diesem Sprung. Alle Signalverstärkungen müssen dieselbe Skalierung verwenden – beispielsweise Prozent Stellgröße und Prozent Messbereich.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Das Ergebnis gilt für lineare negative Einheitsrückführung mit idealem P-Regler und genau einer PT1-Zeitkonstante. Totzeit, zusätzliche Pole, Sensorfilter, Stellglieddynamik, Sättigung, Störungen und Messrauschen sind nicht enthalten. Deshalb ist die scheinbar beliebige Beschleunigung bei großem Kp kein Freigabenachweis.