Regelungstechnik · Zacher/Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, 17. Aufl. 2024, Abschn. 2.3, 3.5, 6.1

Übertragungsfunktion: Pole, Nullstellen und Stabilität berechnen

G(s) aus Zeitkonstanten, PT2-Parametern oder Polynomkoeffizienten aufstellen, Pole und Nullstellen in der s-Ebene sehen und Dämpfung, Eigenfrequenz sowie Stabilität von Strecke und Regelkreis ablesen.

G(s)Zacher/Reuter 2024

Strecke und Regler

StreckentypZeiteinheitStreckenbeiwert K_SI-AnteileT₁ [s]T₂ [s]T₃ [s]Tz [s]Totzeit Tt [s]ReglertypK_PRTn [s]

G₀(s) = [0.5·s + 0.5] / [2·s^2 + s]

Alle Ansichten aktualisieren sich sofort. Zeiten in der gewählten Einheit, Kreisfrequenzen in rad/s (= 1/s).

Kennwerte

Kreisverstärkung K_PR variieren

K_PR = 1

Geschlossener Kreis: stabil
x_m: 3,5 %
T_an: 3,96 s
T_aus: 10,64 s (4,96 s)
e(∞): 0
Dominanter Pol: -0,375 + j0,331 1/s
D / ω₀: 0,75 / 0,5 rad/s

Pol-Nullstellen-Plan der s-Ebene

Pole des offenen Kreises G₀(s)

s [1/s]	T = 1/\|σ\| [s]	D	ω₀ [rad/s]
-0,5	2	–	0,5
-0	∞	–	0

Nullstellen

s = -1 1/s

G₀(0) = ∞

Pole des geschlossenen Kreises bei K_PR = 1

s [1/s]	T = 1/\|σ\| [s]	D	ω₀ [rad/s]
-0,375 + j0,3307	2,667	0,75	0,5
-0,375 − j0,3307	2,667	0,75	0,5

Verknüpfte Ansichten – derselbe Regelkreis, dieselbe Verstärkung

Sprungantwort des Regelkreises

Zeiger über die Kurve bewegen, um Werte abzulesen.

Bode-Diagramm

Wurzelortskurve

Nyquist-Ortskurve

Methode

Was wird berechnet?

Der Rechner setzt Strecke und Regler zur Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises G₀(s) = G_R(s)·G_S(s) zusammen (Zacher/Reuter Gl. 6.24), multipliziert die Faktoren zu Zähler- und Nennerpolynom aus und bestimmt deren Wurzeln numerisch. Die Nullstellen des Nenners sind die Pole: Ein Pol bei s = σ + jω steht für einen Anteil e^(σt)·cos(ωt) der Eigenbewegung. Negativer Realteil heißt abklingend, positiver aufklingend. Aus einem konjugiert komplexen Polpaar folgen Dämpfungsgrad D = −σ/|s| und Eigenkreisfrequenz ω₀ = |s| (Abschn. 3.5). Zusätzlich löst der Rechner die charakteristische Gleichung des geschlossenen Kreises 1 + G₀(s) = 0 (Gl. 6.25) und zeigt die Pole des Regelkreises bei der eingestellten Verstärkung.

Gleichungen

G₀(s) = G_R(s)·G_S(s)·e^(−s·Tt) = K·Z(s)/N(s)

Pole: N(s) = 0, Nullstellen: Z(s) = 0

Polpaar s = σ ± jω: D = −σ/√(σ²+ω²), ω₀ = √(σ²+ω²), T = 1/|σ|

geschlossener Kreis: N(s) + K·Z(s) = 0 (Gl. 6.25)

Grenzen

Voraussetzungen und typische Fehler

Lineares, zeitinvariantes Modell mit konzentrierten Parametern. Die Totzeit wird in der Pol-/Nullstellendarstellung nicht abgebildet (sie hat unendlich viele Pole); Stabilitätsaussagen mit Totzeit liefert der Nyquist-Rechner. Die Wurzelbestimmung ist numerisch; bei mehrfachen Polen sind die letzten Stellen unsicher.

Zeitkonstanten in Minuten eingeben, aber die Zeiteinheit auf Sekunden lassen – die Pole erscheinen dann um den Faktor 60 falsch. Pole des offenen und des geschlossenen Kreises verwechseln: Nur die geschlossenen Pole entscheiden über die Stabilität der Regelung.

Markierte Punkte

Was die markierten Stellen im Diagramm bedeuten – und warum sie wichtig sind

Hintergrund für alle Punkte: Ein Signal läuft im Regelkreis durch Regler und Strecke und wird am Vergleicher mit umgekehrtem Vorzeichen zurückgeführt (Gegenkopplung). Kommt es nach einem Umlauf mit unverändertem Betrag (|G₀| = 1) und um −180° gedrehter Phase zurück, hebt die Gegenkopplung diese Drehung wieder auf – das Signal erhält sich selbst. Alle markierten Stellen messen den Abstand zu genau dieser Situation.

Imaginäre Achse: Trennlinie zwischen stabil (links) und instabil (rechts). Der Realteil σ eines Pols ist die Abklingrate e^(σt): negativ = abklingend, null = Dauerschwingung oder Integrator, positiv = aufklingend.
Pol im Ursprung (s = 0): Ein Integrator: Die Strecke hat keinen Ausgleich, ein konstanter Eingang lässt den Ausgang linear wachsen. Im Regelkreis sorgt er dafür, dass keine bleibende Regelabweichung übrig bleibt – kostet aber 90° Phase.
Abstand zur imaginären Achse: Je weiter links ein Pol, desto schneller klingt sein Anteil ab (T = 1/|σ|). Der Pol mit dem kleinsten Abstand dominiert die Sprungantwort und bestimmt die Ausregelzeit; alle anderen dürfen bei ≥ 5-fachem Abstand vernachlässigt werden.
Winkel eines Polpaares zur negativen reellen Achse: Sein Kosinus ist der Dämpfungsgrad D: Pole auf der reellen Achse (0°) sind aperiodisch, 45° entspricht D ≈ 0,7 (4,3 % Überschwingen), 60° D = 0,5 (16 %), Pole nahe der imaginären Achse (→ 90°) schwingen fast ungedämpft.
Nullstellen in der rechten Halbebene: Ein Allpass-Anteil: Die Sprungantwort läuft zunächst in die falsche Richtung, und die Phase sinkt statt zu steigen. Solche Strecken lassen sich nur mit begrenzter Verstärkung regeln.

Diagramme verstehen

Was die fünf Diagramme zeigen und wofür sie gebraucht werden

Alle Ansichten entstehen aus derselben Übertragungsfunktion G₀(s) und derselben Verstärkung. Sie zeigen dasselbe System aus verschiedenen Blickwinkeln – Zeitbereich, Frequenzbereich und s-Ebene – und führen zur selben Stabilitätsaussage. Das hier hervorgehobene Diagramm ist das Hauptdiagramm dieser Seite; die übrigen sind unten verlinkt.

Pol-Nullstellen-Plan (s-Ebene)diese Seite

Was es zeigt: Die komplexe s-Ebene mit Realteil σ (waagerecht, in 1/s) und Imaginärteil jω (senkrecht). Kreuze sind die Pole des offenen Kreises G₀(s), Kreise seine Nullstellen, gefüllte Punkte die Pole des geschlossenen Kreises bei der aktuellen Verstärkung. Die linke Halbebene ist grün hinterlegt.

Wofür: Schnelle Beurteilung, wie ein System auf eine Anregung reagiert: Jeder Pol steht für einen Eigenbewegungsanteil e^(σt)·cos(ωt). Pole links der Achse klingen ab (stabil), Pole rechts wachsen auf (instabil), Pole auf der Achse schwingen dauerhaft. Der Abstand zur Achse bestimmt die Abklingzeit, der Winkel zur negativen reellen Achse die Dämpfung.

So liest du es: Je weiter links ein Pol, desto schneller klingt sein Anteil ab (T = 1/|σ|). Je größer der Imaginärteil, desto höher die Schwingfrequenz. Ein Polpaar auf einer Geraden durch den Ursprung hat konstanten Dämpfungsgrad D = cos des Winkels zur negativen reellen Achse – 45° entspricht D ≈ 0,7. Der geschlossene Kreis ist stabil, wenn alle gefüllten Punkte links liegen.

Bode-Diagramm

Was es zeigt: Zwei Kurven über logarithmisch geteilter Kreisfrequenz ω: oben der Betrag |G₀(jω)| in Dezibel (20·lg), unten der Phasenwinkel φ₀ in Grad. Beide beschreiben, wie stark und mit welcher Verzögerung der offene Kreis ein sinusförmiges Signal der Frequenz ω überträgt.

Wofür: Stabilitätsnachweis und Reglerentwurf im Frequenzbereich: Bei der Durchtrittsfrequenz ω_d (0 dB) liest man die Phasenreserve ab, beim Phasendurchtritt ω_π (−180°) die Amplitudenreserve. Weil sich in Reihe geschaltete Glieder in dB und Grad einfach addieren, sieht man sofort, welches Glied (Zeitkonstante, Integrator, Totzeit, D-Anteil) Reserve verbraucht oder liefert.

So liest du es: Knicke im Betragsgang liegen bei den Eckfrequenzen 1/T; jeder Pol senkt die Steigung um 20 dB/Dekade und die Phase um 90°, jede Nullstelle hebt beides an, die Totzeit dreht nur die Phase. Eine Verstärkungsänderung verschiebt den Betragsgang parallel – die Phase bleibt. Stabil (vereinfachtes Nyquist-Kriterium): Phase bei ω_d oberhalb −180°. Faustwerte: φ_R 40…70°, A_R ≈ 6…12 dB.

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Nyquist-Ortskurve

Was es zeigt: Den Frequenzgang G₀(jω) als Kurve in der komplexen Ebene: Für jede Frequenz ω ein Punkt mit Realteil und Imaginärteil; ω läuft entlang der Kurve von 0 bis ∞. Eingezeichnet sind der kritische Punkt (−1, j0) und der Einheitskreis |G₀| = 1.

Wofür: Das allgemeinste Stabilitätskriterium – es gilt auch mit Totzeit und für instabile Strecken, wo Hurwitz versagt. Außerdem macht es anschaulich, warum Verstärkung (Kurve wird gestreckt) und Totzeit (Kurve rollt sich ein) den Kreis zum Kippen bringen.

So liest du es: Für stabile Strecken ohne mehr als einen Doppelpol im Ursprung gilt: Die Kurve muss den kritischen Punkt −1 links liegen lassen. Der Schnitt mit der negativ reellen Achse zeigt die Amplitudenreserve (Abstand zu −1), der Schnitt mit dem Einheitskreis die Phasenreserve (Winkel zur negativen reellen Achse). Bei Integratoren beginnt die Kurve im Unendlichen (−90° je I-Anteil); der Rechner blendet den Ausschnitt um −1 ein.

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Wurzelortskurve

Was es zeigt: Die Bahnen, auf denen die Pole des geschlossenen Kreises in der s-Ebene wandern, wenn die Verstärkung K von 0 bis ∞ erhöht wird. Sie starten bei den Polen des offenen Kreises (×) und enden in dessen Nullstellen (○) oder laufen entlang der Asymptoten ins Unendliche. Verzweigungspunkte und Schnitte mit der imaginären Achse sind markiert.

Wofür: Reglerentwurf durch Polvorgabe: Man wählt K so, dass das dominante Polpaar die gewünschte Dämpfung und Schnelligkeit hat, und sieht sofort, ab welcher Verstärkung der Kreis instabil wird (K_krit). Sie zeigt auch, ob ein zusätzlicher D-Anteil (Nullstelle) die Äste nach links zieht.

So liest du es: Punkte nahe den Kreuzen gehören zu kleinem K, weit entfernte zu großem K; die Markierung zeigt die Lage bei der eingestellten Verstärkung. Treffen zwei Äste auf der reellen Achse zusammen (Verzweigungspunkt), beginnt das Schwingen. Wo ein Ast die imaginäre Achse kreuzt, liegt die Stabilitätsgrenze mit der Dauerschwingfrequenz ω_krit. Laufen n − m ≥ 3 Äste ins Unendliche, wird der Kreis bei großem K zwangsläufig instabil.

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Sprungantwort

Was es zeigt: Den zeitlichen Verlauf der Regelgröße x(t), nachdem die Führungsgröße zum Zeitpunkt 0 sprunghaft von 0 auf 1 gesetzt wurde (geschlossener Kreis) – wahlweise die Antwort des offenen Kreises auf einen Stellgrößensprung. Gestrichelt: Beharrungswert, schraffiert: ±2-%-Toleranzband.

Wofür: Die anschaulichste Bewertung der Regelgüte und der Nachweis von Anforderungen: Überschwingweite, Anregelzeit, Ausregelzeit und bleibende Regelabweichung lassen sich direkt ablesen und mit Vorgaben vergleichen. Alle anderen Diagramme sind letztlich Werkzeuge, um diese Kurve zu formen.

So liest du es: Überschwingen: erstes Maximum über dem Beharrungswert (16 % bei D = 0,5, 4,3 % bei D = 0,707, 0 % aperiodisch). Anregelzeit: 10 % → 90 %. Ausregelzeit: ab wann die Kurve dauerhaft im Band bleibt. Endet die Kurve unterhalb des Sollwerts, fehlt ein I-Anteil (bleibende Regelabweichung). Aufklingende Schwingungen bedeuten Instabilität – dieselbe Aussage wie Pole rechts der Achse oder eine negative Phasenreserve.

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Eingaben

Was du eingibst – und woher die Werte kommen

Streckentyp: Wählt die Form der Regelstrecke: „Verzögerungen“ für P-, I- oder PT-Strecken aus einzelnen Zeitkonstanten (der häufigste Fall in Zacher/Reuter Kap. 3), „schwingfähiges PT2“ für einen Nenner 1 + 2·D·T₀·s + T₀²·s² (Feder-Masse-Systeme, RLC-Kreise) und „Polynom“ für beliebige Zähler-/Nennerkoeffizienten, wenn die Übertragungsfunktion bereits ausmultipliziert vorliegt.
Streckenbeiwert K_S: Statische Verstärkung der Strecke: Änderung der Regelgröße je Einheit Stellgröße im Beharrungszustand (dimensionslos oder z. B. K/% bei Temperaturregelung). Bei I-Strecken ist K_S der Integrierbeiwert K_IS in 1/s. Aus Sprungversuch (Endwert ÷ Sprunghöhe) oder Modellbildung; typisch 0,1 bis 10, muss > 0 sein.
I-Anteile: Anzahl der freien Integratoren (Pole bei s = 0) der Strecke: 0 für Strecken mit Ausgleich (Temperatur, Druck), 1 für Strecken ohne Ausgleich (Füllstand, Position bei Geschwindigkeitsstellglied), 2 für doppelt integrierende Strecken (Position bei Kraftstellglied). Jeder Integrator dreht die Phase um −90°.
Zeitkonstanten T₁, T₂, T₃: Verzögerungszeitkonstanten der Faktoren (1 + s·T) im Nenner, in der gewählten Zeiteinheit. 0 bedeutet „nicht vorhanden“. Aus Sprungantwort (63 %-Zeit bei PT1, siehe PT1-Zeitkonstanten-Rechner) oder aus Bauteildaten (RC, Masse/Dämpfung). Reihenfolge ist egal; typische Werte reichen von Millisekunden (Elektronik) bis Minuten (Thermik).
Zählerzeitkonstante Tz: Optionaler Faktor (1 + s·Tz) im Zähler, also eine Nullstelle bei s = −1/Tz. Sie tritt bei Strecken mit Vorhalt auf (z. B. Messglieder mit Hochpassanteil). 0 = keine Nullstelle.
Eigenzeit T₀ und Dämpfungsgrad D: Parameter des schwingfähigen PT2-Glieds nach Zacher/Reuter Abschn. 3.5: T₀ = 1/ω₀ ist der Kehrwert der ungedämpften Eigenkreisfrequenz, D das dimensionslose Dämpfungsmaß. D < 1 ergibt konjugiert komplexe Pole (Schwingung), D ≥ 1 zwei reelle Pole. Aus Ausschwingversuch (siehe Rechner zum logarithmischen Dekrement) oder Bauteildaten.
Zähler-/Nennerpolynom: Koeffizienten in aufsteigender Potenz von s, durch Komma oder Leerzeichen getrennt: „1, 3, 2“ bedeutet 1 + 3·s + 2·s². Der Zählergrad darf den Nennergrad nicht übersteigen. Diese Form ist für bereits berechnete oder aus Simulationswerkzeugen exportierte Übertragungsfunktionen gedacht.
Totzeit Tt: Transportverzögerung e^(−s·Tt): Der Ausgang reagiert erst nach Tt auf eine Eingangsänderung (Förderband, Rohrleitung, Abtastung). Sie ändert den Betrag nicht, dreht die Phase aber um −ω·Tt (im Bogenmaß) und ist deshalb der wichtigste Stabilitätsfeind. 0 = keine Totzeit. Eine Wurzelortskurve ist nur ohne Totzeit möglich.
Reglertyp: „ohne Regler“ analysiert die Strecke allein (G₀ = G_S). P, PI, PD und PID folgen der additiven Form G_R(s) = K_PR·(1 + 1/(s·Tn) + s·Tv) aus Zacher/Reuter Abschn. 4.3 mit idealem D-Anteil. Ein I-Anteil beseitigt die bleibende Regelabweichung, ein D-Anteil hebt die Phase an.
Reglerverstärkung K_PR: Proportionalbeiwert des Reglers, dimensionslos oder in Stellgröße je Regelgrößeneinheit. Der Schieberegler unter den Ergebnissen variiert genau diesen Wert (ohne Regler: K_S), sodass Pole, Kurven und Sprungantwort live mitwandern. Muss > 0 sein.
Nachstellzeit Tn: Zeit, nach der der I-Anteil bei konstantem Fehler den P-Anteil eingeholt hat (Zacher/Reuter Abschn. 4.3.3). Kleine Tn = kräftige Integration, aber weniger Phasenreserve. Nur bei PI/PID.
Vorhaltzeit Tv: Gewichtung der Fehleränderung im D-Anteil (Zacher/Reuter Abschn. 4.3.5). Hebt die Phase in der Nähe von ω = 1/Tv an. Der Rechner nutzt einen idealen D-Anteil ohne Filter; reale Regler brauchen eine zusätzliche Filterzeitkonstante. Nur bei PD/PID, ≥ 0.
Zeiteinheit: Einheit aller Zeitkonstanten und der Totzeit (ms, s, min, h). Intern wird in Sekunden gerechnet; Kreisfrequenzen erscheinen in rad/s.

Ergebnisse

Was jeder Wert bedeutet

Pole des offenen Kreises: Wurzeln des Nenners von G₀(s) in 1/s (rad/s). Realteil < 0: stabiler Anteil, Realteil = 0: Integrator oder Dauerschwingung, Realteil > 0: instabile Strecke. Für jeden Pol werden Zeitkonstante 1/|σ|, Dämpfungsgrad D und ω₀ ausgewiesen.
Nullstellen: Wurzeln des Zählers. Nullstellen in der linken Halbebene heben die Phase an (Vorhalt), Nullstellen in der rechten Halbebene (Allpass-Anteil) senken sie und begrenzen die erreichbare Regelgüte.
Pole des geschlossenen Kreises: Wurzeln von N(s) + K·Z(s) bei der aktuellen Verstärkung. Liegen alle links der imaginären Achse, ist der Regelkreis stabil (Hurwitz-Bedingung, Abschn. 6.1). Der am weitesten rechts liegende Pol bestimmt die Ausregelzeit.
Statische Verstärkung G₀(0): Wert der Übertragungsfunktion bei s = 0, also das Verhältnis der Beharrungswerte. Bei I-Anteil unendlich (Kennzeichen einer Strecke ohne Ausgleich).

Beispiel

Praxisbeispiel aus der Literatur

Zacher/Reuter Beispiel 7.1: P-T1-Strecke K_S = 0,5, T₁ = 2 s mit PI-Regler K_PR = 1, Tn = 1 s. G₀ hat Pole bei 0 und −0,5 s⁻¹ sowie eine Nullstelle bei −1 s⁻¹. Der geschlossene Kreis hat bei K_PR = 4 das Polpaar −0,75 ± j0,66 s⁻¹ auf einem Kreis um −1/Tn mit Radius 0,707 s⁻¹ (Gl. 7.16), also D = 0,75 und ω₀ = 1 s⁻¹.

Einordnung

Wofür der Rechner da ist

Erster Schritt jeder Regelkreisanalyse: Prüfen, ob ein Streckenmodell plausibel ist, welche Zeitkonstante dominiert, ob ein Reglerentwurf mit Polvorgabe möglich ist und ob der geschlossene Kreis bei einer gewählten Verstärkung stabil bleibt. Auch als Nachschlagewerkzeug für Übungsaufgaben, in denen Pole und Nullstellen aus Zeitkonstanten zu bestimmen sind.

So gehst du vor

Streckentyp wählen und Beiwert, Zeitkonstanten bzw. Polynom in der gewählten Zeiteinheit eintragen.
Optional Reglertyp und -parameter ergänzen; „ohne Regler“ zeigt die Strecke allein.
Pole und Nullstellen in Tabelle und s-Ebene prüfen: Realteil, Dämpfung, Eigenfrequenz.
Mit dem Schieberegler die Verstärkung ändern und beobachten, wie die Pole des geschlossenen Kreises wandern.

Quelle

Fachliche Grundlage

Zacher/Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, 17. Aufl. 2024 (Springer Vieweg, DOI 10.1007/978-3-658-45897-3): Abschn. 2.3 Übertragungsfunktion, Abschn. 3.5 P-T2-Glied (D, T₀), Gl. 6.24–6.25 aufgeschnittener und geschlossener Kreis, Beispiel 7.1.

Die Quellen belegen Gleichungen und Zahlenbeispiele; die Referenzbeispiele werden in den automatischen Tests des Rechners nachgerechnet. Der Rechner ersetzt keine Simulation mit dem vollständigen nichtlinearen Anlagenmodell.

Zuletzt aktualisiert: 2026-09-20

FAQ

Häufige Fragen

Was ist eine Übertragungsfunktion?

G(s) = Ausgang(s)/Eingang(s) beschreibt ein lineares zeitinvariantes Glied im Laplace-Bereich. Der Nenner enthält die Eigendynamik (Pole), der Zähler die Eingriffsdynamik (Nullstellen). Für s = jω wird daraus der Frequenzgang, aus dem Bode- und Nyquist-Diagramm folgen.

Warum wirkt der Schieberegler nur auf K_PR bzw. K_S?

Die Kreisverstärkung ist der Parameter, den Praktiker zuerst verstellen, und der einzige, der Betragsgang, Wurzelortskurve und Sprungantwort proportional verschiebt, ohne die Form des Phasengangs zu ändern. Alle übrigen Parameter ändern Sie in den Eingabefeldern; die Anzeige aktualisiert sich ebenfalls sofort.

Wie erkenne ich, welcher Pol dominiert?

Der Pol mit dem kleinsten Betrag des Realteils klingt am langsamsten ab und prägt die Sprungantwort. Liegen andere Pole mindestens fünfmal weiter links, dürfen sie in einer Näherung vernachlässigt werden.

Was bedeutet ein Pol auf der imaginären Achse?

Bei s = 0 ist es ein Integrator; bei s = ±jω eine ungedämpfte Dauerschwingung mit ω. Beides ist der Grenzfall zwischen stabil und instabil (Zacher/Reuter Abschn. 6.1, σ = 0).

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