Wird eine laufende Drehmasse mit einer stillstehenden oder langsamer laufenden zusammengekuppelt, stellt sich eine gemeinsame Drehzahl ein, die aus der Drehimpulserhaltung folgt: ω = (J₁ω₁ + J₂ω₂)/(J₁+J₂). Das ist das Drehpendant zum vollkommen plastischen Stoß – der Drehimpuls bleibt erhalten, ein Teil der Rotationsenergie geht als Reibwärme in der Kupplung verloren.
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Wird eine laufende Drehmasse mit einer stillstehenden oder langsamer laufenden zusammengekuppelt, stellt sich eine gemeinsame Drehzahl ein, die aus der Drehimpulserhaltung folgt: ω = (J₁ω₁ + J₂ω₂)/(J₁+J₂). Das ist das Drehpendant zum vollkommen plastischen Stoß – der Drehimpuls bleibt erhalten, ein Teil der Rotationsenergie geht als Reibwärme in der Kupplung verloren.
Ein Motorläufer mit J₁ = 0,08 kg·m² dreht mit n₁ = 1.500 min⁻¹ und wird auf eine stillstehende Last mit J₂ = 0,12 kg·m² aufgekuppelt, also n₂ = 0. Die gemeinsame Drehzahl ist n = (0,08·1.500 + 0,12·0)/(0,08 + 0,12) = 120/0,20 = 600 min⁻¹. Die Drehzahl fällt also auf 40 Prozent, weil die zugeschaltete Drehmasse anderthalbmal so groß ist wie die antreibende. Die Energiebilanz zeigt den Preis: Vor dem Kuppeln stecken in der Motorseite ½·0,08·157,08² = 987 J Rotationsenergie, danach in beiden Massen zusammen nur noch ½·0,20·62,83² = 395 J. Die Differenz von 592 J – etwa 60 Prozent – wird in der Kupplung als Reibarbeit in Wärme umgesetzt und muss abgeführt werden.
Vorausgesetzt wird ein schlupffreier Endzustand: Beide Massen laufen nach dem Kuppeln mit derselben Drehzahl. Während des Kuppelvorgangs wirken keine äußeren Momente von Antrieb oder Last – nur dann bleibt der Drehimpuls erhalten. Diese Annahme ist gut erfüllt, wenn der Kuppelvorgang deutlich kürzer ist als die Zeitkonstanten von Antrieb und Last; bei langsamem Einkuppeln unter Last verschiebt das Antriebsmoment das Ergebnis. Beide Trägheitsmomente müssen auf dieselbe Drehachse bezogen sein; ein zwischenliegendes Getriebe ist vorher über das Quadrat der Übersetzung zu reduzieren. Nicht enthalten sind der zeitliche Verlauf des Kuppelvorgangs, die Kupplungsmomente und -kräfte, die Rutschzeit, die Erwärmung der Reibflächen, die Torsionsnachgiebigkeit der Wellen und daraus entstehende Drehschwingungen sowie Lager- und Dichtungsverluste.
Schaltet man eine laufende Drehmasse auf eine stillstehende, stellt sich eine gemeinsame Drehzahl ein – und die liegt oft überraschend weit unter der Ausgangsdrehzahl. Der Rechner bestimmt diese Synchrondrehzahl aus der Drehimpulserhaltung und macht damit auch sichtbar, wie viel Energie die Kupplung als Wärme aufnehmen muss.
Für die Drehbewegung gibt es zum Impuls m·v der geradlinigen Bewegung ein Gegenstück: den Drehimpuls, auch Drall genannt, L = J·ω mit dem Massenträgheitsmoment J und der Winkelgeschwindigkeit ω. Der Drallsatz besagt, dass sich der Drehimpuls nur durch ein äußeres Moment ändert – wirkt während des Kuppelns keines, bleibt er erhalten. Aus J₁ω₁ + J₂ω₂ = (J₁+J₂)·ω folgt dann unmittelbar die gemeinsame Drehzahl. Die Rotationsenergie ½·J·ω² bleibt dagegen nicht erhalten: Sie ist nach dem Kuppeln kleiner, und die Differenz wird in der Kupplung als Reibarbeit in Wärme umgesetzt.
Ein Karussell, auf das jemand aufspringt, wird langsamer – ohne dass jemand gebremst hätte. Es teilt seinen Drehimpuls nun auf eine größere Drehmasse auf. Genauso verhält sich eine Kupplung, und genau wie beim Aufsprung entsteht dabei Reibung, die Energie in Wärme verwandelt.
ω = (J₁·ω₁ + J₂·ω₂) / (J₁ + J₂)
Drehimpuls (Drall) einer Drehmasse: L = J·ωErhaltung beim Kuppeln: J₁ω₁ + J₂ω₂ = (J₁+J₂)·ωGemeinsame Drehzahl: ω = (J₁ω₁ + J₂ω₂)/(J₁+J₂)Stillstehende Last (ω₂ = 0): ω = ω₁·J₁/(J₁+J₂)Rotationsenergie: Trot = ½·J·ω²Reibarbeit der Kupplung: W = ½J₁ω₁² + ½J₂ω₂² − ½(J₁+J₂)ω²Drehzahl in Radiant je Sekunde: ω = 2π·n/60| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Gemeinsame Drehzahl n nach dem Kuppeln | Die Drehzahl, mit der beide Massen nach dem Schließen der Kupplung gemeinsam umlaufen. Sie liegt immer zwischen den beiden Ausgangsdrehzahlen und näher an der Drehzahl der größeren Drehmasse. Der Wert gilt für den Zustand unmittelbar nach dem Synchronisieren, also bevor Antriebs- oder Lastmomente die Drehzahl weiter verändern. |
| Massenträgheitsmoment J₁ der ersten Drehmasse | Das Massenträgheitsmoment der ersten Drehmasse um die gemeinsame Drehachse – zum Beispiel des Motorläufers mit Kupplungsscheibe. Das Massenträgheitsmoment beschreibt, wie stark sich ein Körper einer Drehbeschleunigung widersetzt. Woher: aus dem Motordatenblatt, aus einer CAD-Massenberechnung oder aus einer Formelsammlung, etwa J = ½·m·r² für eine Scheibe. Beide Trägheitsmomente müssen auf dieselbe Drehachse bezogen sein; bei einem Getriebe dazwischen ist vorher auf eine gemeinsame Welle zu reduzieren. |
| Drehzahl n₁ der ersten Drehmasse vor dem Kuppeln | Die Drehzahl der ersten Drehmasse unmittelbar vor dem Schließen der Kupplung, üblicherweise in Umdrehungen je Minute. Laufen beide Massen in entgegengesetzter Richtung, ist eine der beiden Drehzahlen negativ einzugeben – dann kann die gemeinsame Drehzahl auch null werden oder das Vorzeichen wechseln. |
| Massenträgheitsmoment J₂ der zweiten Drehmasse | Das Massenträgheitsmoment der zweiten Drehmasse um dieselbe Drehachse, etwa der Lastseite mit Getriebe und Arbeitsmaschine. Je größer J₂ gegenüber J₁ ist, desto stärker zieht die Lastseite die gemeinsame Drehzahl zu ihrem Ausgangswert und desto mehr Energie wird in der Kupplung in Wärme umgesetzt. |
| Drehzahl n₂ der zweiten Drehmasse vor dem Kuppeln | Die Drehzahl der zweiten Drehmasse unmittelbar vor dem Kuppeln, in derselben Zählrichtung wie n₁. Für den häufigsten Fall – Zuschalten einer stillstehenden Last – wird hier null eingegeben. Ein negativer Wert bedeutet Gegenlauf. |
J₁ und J₂ sind die Massenträgheitsmomente der beiden Drehmassen, bezogen auf dieselbe Drehachse – etwa Motorläufer mit Kupplungsscheibe einerseits und Lastseite andererseits. Sie stammen aus Datenblättern, einer CAD-Massenberechnung oder einer Formelsammlung. n₁ und n₂ sind die Drehzahlen unmittelbar vor dem Kuppeln, meist in Umdrehungen je Minute; für eine stillstehende Last ist n₂ = 0. Gegenläufige Drehung wird durch ein negatives Vorzeichen ausgedrückt.
Zuerst prüfen, ob beide Trägheitsmomente wirklich auf dieselbe Welle bezogen sind – liegt ein Getriebe dazwischen, muss die Lastseite vorher mit dem Quadrat der Übersetzung auf die Motorwelle reduziert werden. Dann beide Trägheitsmomente und Ausgangsdrehzahlen eintragen. Das Ergebnis ist die Drehzahl unmittelbar nach dem Synchronisieren, noch ohne Einfluss von Antriebs- und Lastmoment. Interessant ist danach die Energiebilanz: Die Rotationsenergie vor dem Kuppeln, ½·J₁·ω₁² + ½·J₂·ω₂², minus die danach, ½·(J₁+J₂)·ω², ergibt die Reibarbeit, die die Kupplung aufnehmen und abführen muss.
Ein Motorläufer mit J₁ = 0,08 kg·m² läuft mit 1.500 min⁻¹ und wird auf eine stillstehende Last mit J₂ = 0,12 kg·m² gekuppelt. Dann ist n = (0,08·1.500 + 0,12·0)/0,20 = 120/0,20 = 600 min⁻¹. Die Drehzahl sinkt auf 40 Prozent, weil die zugeschaltete Drehmasse anderthalbmal so groß ist wie die antreibende. Die Energiebilanz: 1.500 min⁻¹ entsprechen 157,08 rad/s, also ½·0,08·157,08² = 987 J vor dem Kuppeln. Nach dem Kuppeln laufen beide mit 600 min⁻¹ = 62,83 rad/s, also ½·0,20·62,83² = 395 J. Die Differenz von 592 J, etwa 60 Prozent der Ausgangsenergie, wird in der Kupplung in Wärme umgesetzt. Bei gleichen Trägheitsmomenten wäre es genau die Hälfte.
Die gemeinsame Drehzahl ist das mit den Trägheitsmomenten gewichtete Mittel der Ausgangsdrehzahlen – sie liegt immer zwischen ihnen und näher an der Drehzahl der größeren Drehmasse. Aufschlussreich ist der Energieanteil, der verloren geht: Er hängt allein vom Verhältnis der Trägheitsmomente ab, nicht von der absoluten Drehzahl. Bei gleich großen Drehmassen und einer stillstehenden Last geht genau die Hälfte der Rotationsenergie in Wärme – unabhängig davon, ob mit 100 oder 10.000 Umdrehungen je Minute gekuppelt wird. Deshalb ist das Zuschalten großer Drehmassen thermisch immer kritisch, und deshalb arbeiten Anlagen mit großen Schwungmassen mit Anlaufkupplungen, Drehzahlanpassung oder Synchronisiereinrichtungen.
Intern wird in Kilogramm, Metern und Radiant je Sekunde gerechnet. Die Trägheitsmomente dürfen in kg·m² oder kg·cm² eingegeben werden, die Drehzahlen unabhängig voneinander in min⁻¹ oder rad/s. Da die Drehzahlen linear eingehen und nur ihr Verhältnis zu den Trägheitsmomenten zählt, ist das Ergebnis in derselben Einheit wie die Eingaben – eine Umrechnung ist für die Drehzahlrechnung selbst nicht nötig. Für die Energiebilanz dagegen schon: Dort muss ω in Radiant je Sekunde eingesetzt werden.
Reibkupplungen und Anfahrkupplungen im Antriebsstrang; Zuschalten von Schwungmassen, Pressen und Zentrifugen; Synchronisierung in Schaltgetrieben; Abschätzung der Reibarbeit und damit der thermischen Belastung von Kupplungsbelägen; Auslegung von Anlaufhilfen bei großen Trägheitsmomenten; Drehzahleinbruch beim Lastzuschalten in Prüfständen.
Vorausgesetzt wird ein schlupffreier Endzustand, in dem beide Massen mit derselben Drehzahl laufen, und dass während des Kuppelvorgangs keine äußeren Momente von Antrieb oder Last wirken – nur dann bleibt der Drehimpuls erhalten. Das ist gut erfüllt, solange der Kuppelvorgang deutlich kürzer ist als die Zeitkonstanten von Antrieb und Last; bei langsamem Einkuppeln unter Last verschiebt das Antriebsmoment das Ergebnis. Beide Trägheitsmomente müssen auf dieselbe Drehachse bezogen sein. Nicht abgebildet sind der zeitliche Verlauf des Kuppelns, die Kupplungsmomente und -kräfte, die Rutschzeit, die Erwärmung der Reibflächen, die Torsionsnachgiebigkeit der Wellen und daraus entstehende Drehschwingungen sowie Lager- und Dichtungsverluste.
Typischer Fehler: Der folgenschwerste Fehler ist, Trägheitsmomente von beiden Seiten eines Getriebes ohne Reduktion zu addieren – die Lastseite muss mit dem Quadrat der Übersetzung auf die betrachtete Welle umgerechnet werden. Zweitens wird häufig erwartet, die Rotationsenergie bleibe erhalten; erhalten bleibt nur der Drehimpuls, und der Energieverlust ist gerade die thermische Belastung der Kupplung. Drittens wird das Ergebnis als Betriebsdrehzahl gelesen, obwohl es nur den Zustand unmittelbar nach dem Synchronisieren beschreibt – danach beschleunigt der Antrieb die nun größere Drehmasse wieder. Und viertens wird bei Gegenlauf das Vorzeichen vergessen, wodurch der Drehzahleinbruch stark unterschätzt wird.
Reibkupplungen und Anfahrkupplungen im Antriebsstrang; Zuschalten von Schwungmassen, Pressen und Zentrifugen; Synchronisierung in Schaltgetrieben; Abschätzung der Reibarbeit und damit der thermischen Belastung von Kupplungsbelägen; Auslegung von Anlaufhilfen bei großen Trägheitsmomenten; Drehzahleinbruch beim Lastzuschalten in Prüfständen.
J₁ und J₂ sind die Massenträgheitsmomente der beiden Drehmassen, bezogen auf dieselbe Drehachse – etwa Motorläufer mit Kupplungsscheibe einerseits und Lastseite andererseits. Sie stammen aus Datenblättern, einer CAD-Massenberechnung oder einer Formelsammlung. n₁ und n₂ sind die Drehzahlen unmittelbar vor dem Kuppeln, meist in Umdrehungen je Minute; für eine stillstehende Last ist n₂ = 0. Gegenläufige Drehung wird durch ein negatives Vorzeichen ausgedrückt.
Vorausgesetzt wird ein schlupffreier Endzustand, in dem beide Massen mit derselben Drehzahl laufen, und dass während des Kuppelvorgangs keine äußeren Momente von Antrieb oder Last wirken – nur dann bleibt der Drehimpuls erhalten. Das ist gut erfüllt, solange der Kuppelvorgang deutlich kürzer ist als die Zeitkonstanten von Antrieb und Last; bei langsamem Einkuppeln unter Last verschiebt das Antriebsmoment das Ergebnis. Beide Trägheitsmomente müssen auf dieselbe Drehachse bezogen sein. Nicht abgebildet sind der zeitliche Verlauf des Kuppelns, die Kupplungsmomente und -kräfte, die Rutschzeit, die Erwärmung der Reibflächen, die Torsionsnachgiebigkeit der Wellen und daraus entstehende Drehschwingungen sowie Lager- und Dichtungsverluste.