Tabellen geben Massenträgheitsmomente fast immer für eine Achse durch den Schwerpunkt an. Dreht ein Körper aber um eine andere, dazu parallele Achse, liefert der Satz von Steiner den richtigen Wert: JA = JS + m·rS². Der Zusatzterm m·rS² ist stets positiv, weshalb das Trägheitsmoment um die Schwerpunktachse immer das kleinste aller parallelen Achsen ist.
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Tabellen geben Massenträgheitsmomente fast immer für eine Achse durch den Schwerpunkt an. Dreht ein Körper aber um eine andere, dazu parallele Achse, liefert der Satz von Steiner den richtigen Wert: JA = JS + m·rS². Der Zusatzterm m·rS² ist stets positiv, weshalb das Trägheitsmoment um die Schwerpunktachse immer das kleinste aller parallelen Achsen ist.
Eine Scheibe mit der Masse m = 12 kg hat um ihre Schwerpunktachse JS = 0,08 kg·m². Wird sie stattdessen um eine dazu parallele Achse im Abstand rS = 150 mm = 0,15 m gedreht, ergibt der Satz von Steiner JA = 0,08 kg·m² + 12 kg · (0,15 m)² = 0,08 + 0,27 = 0,35 kg·m². Der Zusatzterm ist hier also mehr als dreimal so groß wie das Schwerpunktträgheitsmoment selbst. Ein zweites, gut nachprüfbares Beispiel ist der dünne Stab: Um seine Mitte hat er JS = (1/12)·m·l², um sein Ende im Abstand l/2 folgt JA = (1/12)·m·l² + m·(l/2)² = (1/3)·m·l² – genau der bekannte Tabellenwert für die Drehung um das Stabende.
Gilt für einen starren Körper und ausschließlich zwischen zwei parallelen Achsen, von denen eine zwingend durch den Schwerpunkt gehen muss. Zwischen zwei beliebigen parallelen Achsen, die beide nicht durch den Schwerpunkt gehen, ist die Formel nicht anwendbar – dann ist zuerst auf die Schwerpunktachse zurückzurechnen und von dort weiter. Nicht enthalten sind nicht parallele oder geneigte Achsen, Deviationsmomente und Hauptachsen bei räumlicher Drehung, elastische Verformung des Körpers unter Fliehkraft sowie zusammengesetzte Körper, deren Einzelteile jeweils getrennt mit ihren eigenen Abständen zu behandeln sind.
Formelsammlungen geben Massenträgheitsmomente fast immer für eine Achse durch den Schwerpunkt an. In der Praxis dreht ein Bauteil aber oft um eine andere Achse – ein Hebel um sein Lager, eine Klappe um ihr Scharnier. Der Satz von Steiner rechnet den Tabellenwert auf diese tatsächliche Achse um.
Das Massenträgheitsmoment J beschreibt, wie stark sich ein Körper einer Drehbeschleunigung widersetzt; für die Drehbewegung ist es das, was die Masse für die geradlinige Bewegung ist. Im Maschinenbau wird es üblicherweise mit J bezeichnet, in der Physik häufig mit I. Der Satz von Steiner – auch Parallelachsensatz genannt – verknüpft den Wert JS um eine Achse durch den Schwerpunkt S mit dem Wert JA um eine dazu parallele Achse durch einen beliebigen Punkt A: JA = JS + m·rS², wobei m die Gesamtmasse und rS der senkrechte Abstand der beiden Achsen ist. Der Zusatzterm m·rS² entspricht dem Trägheitsmoment, das die gesamte Masse hätte, wenn sie im Schwerpunkt konzentriert im Abstand rS um A kreiste.
Ein Hammer, den man am Kopf festhält und dreht, lässt sich leicht bewegen. Hält man ihn am Ende des Stiels, ist deutlich mehr Kraft nötig, obwohl es derselbe Hammer mit derselben Masse ist. Genau diesen Unterschied liefert der Steiner-Term – und weil der Abstand quadratisch eingeht, wächst er sehr schnell.
JA = JS + m · rS²
Satz von Steiner: JA = JS + m·rS²Rückrechnung auf den Schwerpunkt: JS = JA − m·rS²Achsabstand aus zwei Trägheitsmomenten: rS = √((JA − JS)/m)Dünner Stab um die Mitte: JS = (1/12)·m·l², um das Ende: JA = (1/3)·m·l²Vollzylinder um die eigene Achse: JS = ½·m·r²Kugel um eine Schwerpunktachse: JS = (2/5)·m·r²Folgerung: JA ≥ JS für jede parallele Achse| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Trägheitsmoment JA um die gesuchte Achse | Das Massenträgheitsmoment (auch Massenmoment 2. Ordnung) um die tatsächliche Drehachse durch den Punkt A. Das Massenträgheitsmoment beschreibt, wie stark sich ein Körper einer Drehbeschleunigung widersetzt – es ist für die Drehbewegung das, was die Masse für die geradlinige Bewegung ist. Der Buchstabe J ist im Maschinenbau üblich; in der Physik findet man oft I für dieselbe Größe. |
| Trägheitsmoment JS um die Schwerpunktachse | Das Massenträgheitsmoment um die parallele Achse durch den Schwerpunkt S des Körpers. Woher: aus einer Formelsammlung für den betreffenden Grundkörper, etwa JS = ½·m·r² für einen Vollzylinder um seine Achse oder JS = (1/12)·m·l² für einen dünnen Stab um seine Mitte. Wichtig: Der Bezugspunkt S muss zwingend der Schwerpunkt sein – zwischen zwei beliebigen parallelen Achsen darf die Formel nicht angewendet werden. |
| Masse m | Die Gesamtmasse des Körpers. Woher: Wiegen, oder aus Volumen und Dichte berechnet. Es ist stets die gesamte Masse einzusetzen, auch wenn nur ein Teil des Körpers weit von der Drehachse entfernt liegt. |
| Achsabstand rS | Der senkrechte Abstand zwischen der Schwerpunktachse und der tatsächlichen Drehachse. Beide Achsen müssen parallel sein – bei nicht parallelen Achsen gilt der Satz von Steiner nicht. Da rS quadratisch eingeht, wächst der Zusatzterm sehr schnell: schon ein Abstand von einem Zylinderradius verdreifacht das Trägheitsmoment eines Vollzylinders. |
JS ist das Massenträgheitsmoment um die parallele Achse durch den Schwerpunkt, meist aus einer Formelsammlung: für einen Vollzylinder um seine Achse JS = ½·m·r², für einen dünnen Stab um seine Mitte JS = (1/12)·m·l², für eine Kugel JS = (2/5)·m·r². m ist die Gesamtmasse des Körpers. rS ist der senkrechte Abstand zwischen Schwerpunktachse und tatsächlicher Drehachse.
Zuerst den Schwerpunkt des Körpers bestimmen und prüfen, dass die tatsächliche Drehachse wirklich parallel zur Schwerpunktachse liegt. Dann JS aus der Formelsammlung für den passenden Grundkörper übernehmen, die Gesamtmasse eintragen und den Achsabstand messen oder aus der Zeichnung nehmen. Bei zusammengesetzten Bauteilen wird jedes Teil einzeln mit seinem eigenen Abstand zur gemeinsamen Drehachse behandelt und die Einzelwerte werden anschließend addiert. Liegt umgekehrt ein gemessener Wert JA vor – etwa aus einem Pendelversuch – kann auf JS zurückgerechnet werden, indem JS als Zielgröße gewählt wird.
Eine Scheibe mit m = 12 kg hat um ihre Schwerpunktachse JS = 0,08 kg·m². Um eine parallele Achse im Abstand rS = 150 mm ergibt sich JA = 0,08 + 12·0,15² = 0,08 + 0,27 = 0,35 kg·m². Der Steiner-Anteil ist hier also mehr als das Dreifache des Schwerpunktwerts. Ein Beispiel, das man vollständig gegen die Tabelle prüfen kann, ist der dünne Stab: Um seine Mitte gilt JS = (1/12)·m·l². Verlegt man die Achse um l/2 an das Stabende, folgt JA = (1/12)·m·l² + m·(l/2)² = (1/12 + 1/4)·m·l² = (1/3)·m·l² – genau der Tabellenwert für die Drehung um das Stabende. Für m = 6 kg und l = 2 m heißt das JS = 2 kg·m² und JA = 8 kg·m².
Weil m·rS² immer positiv ist, ist das Trägheitsmoment um die Schwerpunktachse stets das kleinste aller parallelen Achsen – das ist die wichtigste qualitative Aussage des Satzes. Der quadratische Einfluss des Abstands hat handfeste Folgen: Bei einem Vollzylinder mit JS = ½mr² verdreifacht ein Achsabstand von nur einem Radius das Trägheitsmoment schon auf 1,5mr². Antriebe für außermittig gelagerte Massen brauchen deshalb erheblich mehr Beschleunigungsmoment als eine überschlägige Rechnung mit dem Tabellenwert vermuten lässt. Umgekehrt ist es fast immer wirksamer, eine Drehmasse näher an die Achse zu rücken, als sie leichter zu machen.
Intern wird in Kilogramm, Metern und damit kg·m² gerechnet. Die Trägheitsmomente dürfen in kg·m² oder kg·cm² eingegeben werden, die Masse in mg, g, kg, t, oz oder lb und der Achsabstand in mm, cm, m oder Zoll. Achtung bei Handrechnungen: Der Abstand muss in Metern eingesetzt werden, wenn das Ergebnis in kg·m² herauskommen soll – ein in Millimetern eingesetzter Abstand liegt um den Faktor eine Million falsch.
Beschleunigungsmoment für außermittig gelagerte Hebel, Klappen, Schwenkarme und Nocken; Pendel und Schwingtüren; Trägheitsmoment zusammengesetzter Rotoren aus Scheiben, Naben und Wellen; Auswertung von Pendelversuchen zur Bestimmung eines unbekannten Trägheitsmoments; Umrechnung von Herstellerangaben auf die tatsächliche Einbaulage; Abschätzung der Drehmassen von Roboterachsen und Werkzeugrevolvern.
Gilt für einen starren Körper und ausschließlich zwischen zwei parallelen Achsen, von denen eine durch den Schwerpunkt gehen muss. Zwischen zwei beliebigen parallelen Achsen, die beide nicht durch den Schwerpunkt verlaufen, darf die Formel nicht direkt angewendet werden: Dann rechnet man zuerst auf die Schwerpunktachse zurück und von dort auf die zweite Achse weiter. Nicht abgebildet sind geneigte oder sich schneidende Achsen, Deviationsmomente und Hauptachsen bei räumlicher Drehung, die elastische Verformung des Körpers unter Fliehkraft sowie zusammengesetzte Körper als Ganzes – deren Teile sind einzeln zu behandeln und zu addieren.
Typischer Fehler: Der schwerwiegendste Fehler ist, die Formel zwischen zwei Achsen anzuwenden, von denen keine durch den Schwerpunkt geht – das Ergebnis ist dann schlicht falsch. Fast ebenso häufig ist ein Einheitenfehler beim Abstand: Millimeter statt Meter verfehlt das Ergebnis um den Faktor 10⁶. Ein dritter Fehler ist, den Steiner-Anteil bei kleinen Abständen zu vernachlässigen – wegen des Quadrats ist er schon bei einem Abstand in der Größenordnung der Bauteilabmessung dominant. Und schließlich darf der Satz nicht auf geneigte Achsen übertragen werden; dafür sind Deviationsmomente und eine Hauptachsentransformation erforderlich.
Beschleunigungsmoment für außermittig gelagerte Hebel, Klappen, Schwenkarme und Nocken; Pendel und Schwingtüren; Trägheitsmoment zusammengesetzter Rotoren aus Scheiben, Naben und Wellen; Auswertung von Pendelversuchen zur Bestimmung eines unbekannten Trägheitsmoments; Umrechnung von Herstellerangaben auf die tatsächliche Einbaulage; Abschätzung der Drehmassen von Roboterachsen und Werkzeugrevolvern.
JS ist das Massenträgheitsmoment um die parallele Achse durch den Schwerpunkt, meist aus einer Formelsammlung: für einen Vollzylinder um seine Achse JS = ½·m·r², für einen dünnen Stab um seine Mitte JS = (1/12)·m·l², für eine Kugel JS = (2/5)·m·r². m ist die Gesamtmasse des Körpers. rS ist der senkrechte Abstand zwischen Schwerpunktachse und tatsächlicher Drehachse.
Gilt für einen starren Körper und ausschließlich zwischen zwei parallelen Achsen, von denen eine durch den Schwerpunkt gehen muss. Zwischen zwei beliebigen parallelen Achsen, die beide nicht durch den Schwerpunkt verlaufen, darf die Formel nicht direkt angewendet werden: Dann rechnet man zuerst auf die Schwerpunktachse zurück und von dort auf die zweite Achse weiter. Nicht abgebildet sind geneigte oder sich schneidende Achsen, Deviationsmomente und Hauptachsen bei räumlicher Drehung, die elastische Verformung des Körpers unter Fliehkraft sowie zusammengesetzte Körper als Ganzes – deren Teile sind einzeln zu behandeln und zu addieren.