Berechne die Geschwindigkeit v₁' des ersten Körpers nach einem geraden zentrischen Stoß aus beiden Massen, beiden Anfangsgeschwindigkeiten und der Stoßzahl k. Der Impulserhaltungssatz und die Definition der Stoßzahl liefern gemeinsam beide Endgeschwindigkeiten; die des zweiten Körpers folgt durch Vertauschen der beiden Massen- und Geschwindigkeitspaare.
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Berechne die Geschwindigkeit v₁' des ersten Körpers nach einem geraden zentrischen Stoß aus beiden Massen, beiden Anfangsgeschwindigkeiten und der Stoßzahl k. Der Impulserhaltungssatz und die Definition der Stoßzahl liefern gemeinsam beide Endgeschwindigkeiten; die des zweiten Körpers folgt durch Vertauschen der beiden Massen- und Geschwindigkeitspaare.
Ein Körper mit m₁ = 2 kg und v₁ = 5 m/s trifft auf einen entgegenkommenden Körper mit m₂ = 3 kg und v₂ = −1 m/s; die Stoßzahl ist k = 0,6. Damit wird v₁' = [2·5 + 3·(−1) + 0,6·3·(−1−5)]/5 = (10 − 3 − 10,8)/5 = −0,76 m/s – der erste Körper prallt also zurück. Durch Vertauschen der Paare folgt v₂' = +2,84 m/s. Kontrolle des Impulses: 2·(−0,76) + 3·2,84 = −1,52 + 8,52 = 7,0 kg·m/s, genau wie vorher 2·5 + 3·(−1) = 7,0 kg·m/s. Die Grenzfälle mit denselben Massen: bei k = 0 bewegen sich beide mit 1,4 m/s weiter, bei k = 1 gilt v₁' = −2,2 m/s und v₂' = +3,8 m/s.
Gerader zentrischer Stoß: Die Schwerpunkte beider Körper bewegen sich auf einer gemeinsamen Geraden, die senkrecht auf der Berührungsebene steht, sodass die Bewegung eindimensional bleibt. Äußere Kräfte werden während der kurzen Stoßdauer vernachlässigt, weshalb der Gesamtimpuls erhalten bleibt; die Stoßkräfte sind für das Massensystem innere Kräfte. Nicht enthalten sind der schiefe und der exzentrische Stoß (bei dem zusätzlich Drehimpuls übertragen wird), Rotation und Drehimpuls der Körper, Reibung in der Berührfläche, die Verformung und die zeitliche Verteilung der Stoßkraft sowie Spannungswellen im Werkstoff. Die Stoßzahl wird als bekannte, konstante Größe vorausgesetzt – sie ist keine Werkstoffkonstante und muss für den betrachteten Geschwindigkeitsbereich und die Geometrie bestimmt werden. Außer beim vollkommen elastischen Stoß tritt stets ein Verlust an kinetischer Energie auf, der als Verformungs-, Wärme- und Schallenergie abgeht.
Beim Zusammenstoß zweier Körper bleibt der Impuls erhalten, die kinetische Energie dagegen meist nicht. Die Stoßzahl k schließt diese Lücke: Mit ihr deckt eine Formel den vollkommen plastischen, den vollkommen elastischen und jeden realen Stoß dazwischen ab.
Ein gerader zentrischer Stoß liegt vor, wenn sich die Schwerpunkte beider Körper auf einer gemeinsamen Geraden bewegen, die senkrecht auf der Berührungsebene steht – die Bewegung bleibt damit eindimensional. Weil die Stoßkräfte für das Zweikörpersystem innere Kräfte sind und äußere Kräfte während der kurzen Stoßdauer vernachlässigt werden dürfen, gilt immer der Impulserhaltungssatz m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'. Das ist eine Gleichung für zwei Unbekannte. Die zweite liefert die Stoßzahl k = (v₂'−v₁')/(v₁−v₂): das Verhältnis von Trennungs- zu Annäherungsgeschwindigkeit. Zusammen ergeben sie beide Endgeschwindigkeiten eindeutig.
Billardkugeln prallen fast unverändert auseinander – sie sind nahezu elastisch, k liegt nahe 1. Zwei Knetkugeln bleiben aneinander kleben und bewegen sich gemeinsam weiter – vollkommen plastisch, k = 0. Fast alle wirklichen Stöße liegen dazwischen: ein Teil der Bewegungsenergie kommt zurück, der Rest bleibt als Verformung und Wärme im Material.
v₁' = [m₁v₁ + m₂v₂ + k·m₂·(v₂ − v₁)] / (m₁ + m₂)
Impulserhaltung: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'Stoßzahl: k = (v₂' − v₁')/(v₁ − v₂), 0 ≤ k ≤ 1Erster Körper: v₁' = [m₁v₁ + m₂v₂ + k·m₂·(v₂ − v₁)]/(m₁ + m₂)Zweiter Körper: v₂' = [m₁v₁ + m₂v₂ + k·m₁·(v₁ − v₂)]/(m₁ + m₂)Vollkommen plastisch (k = 0): v₁' = v₂' = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)Energieverlust: ΔT = ½·(1−k²)·m₁m₂/(m₁+m₂)·(v₁−v₂)²Stoßzahl aus Rücksprungversuch: k = √(h/H)| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Geschwindigkeit v₁' nach dem Stoß | Die Geschwindigkeit des ersten Körpers unmittelbar nach dem Stoß, mit Vorzeichen bezogen auf dieselbe positive Richtung wie alle anderen Geschwindigkeiten. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Körper zurückprallt, also seine Bewegungsrichtung umgekehrt hat. Die Geschwindigkeit des zweiten Körpers erhältst du, indem du m₁ mit m₂ und v₁ mit v₂ vertauschst und erneut rechnest. |
| Masse m₁ | Die Masse des ersten Körpers. Nur das Massenverhältnis beeinflusst das Ergebnis, nicht die absolute Größe. Wichtig bei einem Stoß gegen eine Wand, ein Fundament oder den Boden: dort ist m₂ sehr viel größer als m₁, und man rechnet praktisch mit m₂ → ∞, also einer sehr großen Zahl. |
| Masse m₂ | Die Masse des zweiten Körpers, im gleichen Maßsystem wie m₁. Bei gleichen Massen ergeben sich zwei markante Sonderfälle: beim vollkommen elastischen Stoß tauschen die Körper ihre Geschwindigkeiten, beim vollkommen plastischen Stoß bewegen sie sich mit dem arithmetischen Mittel weiter. |
| Geschwindigkeit v₁ vor dem Stoß | Die Geschwindigkeit des ersten Körpers unmittelbar vor dem Stoß, mit Vorzeichen. Zuerst eine positive Richtung festlegen und diese für alle vier Geschwindigkeiten beibehalten – das ist die wichtigste Regel der ganzen Rechnung. Damit die Körper überhaupt zusammenstoßen, muss v₁ größer als v₂ sein. |
| Geschwindigkeit v₂ vor dem Stoß | Die Geschwindigkeit des zweiten Körpers unmittelbar vor dem Stoß, mit Vorzeichen in derselben positiven Richtung. Ein ruhender Körper hat v₂ = 0, ein entgegenkommender ein negatives Vorzeichen. Die Differenz v₁ − v₂ ist die Annäherungsgeschwindigkeit und muss positiv sein. |
| Stoßzahl k | Die Stoßzahl (Stoßziffer) beschreibt, welcher Anteil der Annäherungsgeschwindigkeit als Trennungsgeschwindigkeit zurückkommt: k = (v₂'−v₁')/(v₁−v₂), mit 0 ≤ k ≤ 1. k = 0 bedeutet vollkommen plastisch (die Körper bleiben zusammen), k = 1 vollkommen elastisch (kein Verlust an kinetischer Energie). Woher: aus einem Rücksprungversuch, k = √(h/H) mit Fallhöhe H und Rücksprunghöhe h. Richtwerte: Stahl auf Stahl ≈ 0,6…0,8, Holz ≈ 0,5, Blei oder Knetmasse nahe 0. Wichtig: k ist keine Werkstoffkonstante, sondern hängt von beiden Stoßpartnern, der Geschwindigkeit und der Geometrie ab. |
m₁ und m₂ sind die beiden Massen; nur ihr Verhältnis beeinflusst das Ergebnis. v₁ und v₂ sind die Geschwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß, jeweils mit Vorzeichen bezogen auf eine zuvor festgelegte positive Richtung. k ist die Stoßzahl zwischen 0 und 1, ermittelt aus einem Rücksprungversuch über k = √(h/H) mit Fallhöhe H und Rücksprunghöhe h. Richtwerte: Stahl auf Stahl etwa 0,6 bis 0,8, Holz etwa 0,5, Blei oder Knetmasse nahe 0.
Zuerst eine positive Richtung festlegen und alle vier Geschwindigkeiten konsequent darauf beziehen – ein entgegenkommender Körper erhält ein negatives Vorzeichen. Dann Massen, Anfangsgeschwindigkeiten und die Stoßzahl eintragen; das Ergebnis ist v₁'. Für die Geschwindigkeit des zweiten Körpers m₁ mit m₂ und v₁ mit v₂ vertauschen und erneut rechnen. Anschließend zur Kontrolle den Impuls vor und nach dem Stoß vergleichen: m₁v₁ + m₂v₂ muss gleich m₁v₁' + m₂v₂' sein. Ist umgekehrt eine Endgeschwindigkeit gemessen und k unbekannt, k als Zielgröße wählen.
Ein Körper mit m₁ = 2 kg und v₁ = 5 m/s trifft auf einen entgegenkommenden mit m₂ = 3 kg und v₂ = −1 m/s, die Stoßzahl ist k = 0,6. Dann ist v₁' = [2·5 + 3·(−1) + 0,6·3·(−1−5)]/5 = (10 − 3 − 10,8)/5 = −0,76 m/s: der leichtere Körper prallt zurück. Vertauscht man die Paare, folgt v₂' = +2,84 m/s. Impulskontrolle: 2·(−0,76) + 3·2,84 = 7,0 kg·m/s, genau wie vorher. Die Grenzfälle mit denselben Daten: bei k = 0 bewegen sich beide mit 1,4 m/s gemeinsam weiter, bei k = 1 ist v₁' = −2,2 m/s und v₂' = +3,8 m/s. Der Energieverlust folgt aus ΔT = ½(1−k²)·m₁m₂/(m₁+m₂)·(v₁−v₂)² und beträgt bei k = 0,6 rund 13,8 J, bei k = 0 volle 21,6 J und bei k = 1 genau null.
Die Stoßzahl steuert allein den Energieverlust, nicht den Impuls: der Impuls bleibt für jedes k exakt erhalten. Der Verlust geht mit (1−k²), sodass schon k = 0,7 rund die Hälfte der verfügbaren Stoßenergie vernichtet. Zwei Sonderfälle sind besonders anschaulich: bei gleichen Massen tauschen die Körper im elastischen Stoß ihre Geschwindigkeiten vollständig, im plastischen Stoß bewegen sie sich mit dem arithmetischen Mittel weiter. Und trifft ein Körper auf eine sehr viel größere ruhende Masse – eine Wand, ein Fundament, den Boden – prallt er mit −k·v₁ zurück, während die große Masse praktisch in Ruhe bleibt.
Intern wird in Kilogramm, Metern und Sekunden gerechnet. Die Geschwindigkeiten dürfen in m/s, km/h, ft/s, mph, m/min oder mm/min eingegeben werden, die Massen in mg, g, kg, t, oz oder lb. Da nur das Massenverhältnis eingeht, ist das Ergebnis vom Masseneinheitensystem unabhängig – beide Massen müssen aber in derselben Einheit stehen. Die Stoßzahl ist dimensionslos und wird als Dezimalzahl eingegeben.
Hammer- und Schlagwerkzeuge, bei denen ein möglichst plastischer Stoß die Umformarbeit maximiert; Rammen und Schlagbohrhämmer; Puffer, Anschläge und Endlagendämpfer im Maschinenbau; Auslegung von Fangvorrichtungen und Prallschutz; Abschätzung von Fahrzeug- und Transportkollisionen; Rücksprungversuche zur Bestimmung der Stoßzahl; Sport- und Spieltechnik; Beurteilung von Bauteilschäden durch Stoßbelastung.
Gilt für den geraden zentrischen Stoß, also für eine eindimensionale Bewegung entlang der gemeinsamen Schwerpunktlinie senkrecht zur Berührungsebene. Nicht erfasst sind der schiefe Stoß (Geschwindigkeiten nicht auf dieser Geraden) und der exzentrische Stoß, bei dem zusätzlich Drehimpuls übertragen wird und die Körper zu rotieren beginnen. Ebenfalls außerhalb des Modells liegen Reibung in der Berührfläche, Rotation und Drehimpuls, der zeitliche Verlauf und die Höhe der Stoßkraft, die Verformung selbst sowie Spannungswellen im Werkstoff. Die Stoßzahl wird als bekannt und konstant vorausgesetzt; in Wirklichkeit sinkt sie mit steigender Stoßgeschwindigkeit.
Typischer Fehler: Der mit Abstand häufigste Fehler sind inkonsistente Vorzeichen: Alle vier Geschwindigkeiten müssen sich auf dieselbe positive Richtung beziehen, ein entgegenkommender Körper hat ein negatives Vorzeichen. Zweitens wird k gern als Werkstoffkonstante behandelt – sie hängt aber von beiden Stoßpartnern, der Geschwindigkeit und der Geometrie ab und ist deshalb nur für vergleichbare Bedingungen übertragbar. Drittens wird beim plastischen Stoß erwartet, die kinetische Energie bleibe erhalten; erhalten bleibt nur der Impuls, und der Energieverlust ist hier maximal. Und viertens ist ein hoher Wert von k nicht automatisch „besser“: beim Hammerschlag oder Rammen will man gerade einen kleinen k-Wert, weil nur die verlorene Energie in Umformarbeit übergeht.
Hammer- und Schlagwerkzeuge, bei denen ein möglichst plastischer Stoß die Umformarbeit maximiert; Rammen und Schlagbohrhämmer; Puffer, Anschläge und Endlagendämpfer im Maschinenbau; Auslegung von Fangvorrichtungen und Prallschutz; Abschätzung von Fahrzeug- und Transportkollisionen; Rücksprungversuche zur Bestimmung der Stoßzahl; Sport- und Spieltechnik; Beurteilung von Bauteilschäden durch Stoßbelastung.
m₁ und m₂ sind die beiden Massen; nur ihr Verhältnis beeinflusst das Ergebnis. v₁ und v₂ sind die Geschwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß, jeweils mit Vorzeichen bezogen auf eine zuvor festgelegte positive Richtung. k ist die Stoßzahl zwischen 0 und 1, ermittelt aus einem Rücksprungversuch über k = √(h/H) mit Fallhöhe H und Rücksprunghöhe h. Richtwerte: Stahl auf Stahl etwa 0,6 bis 0,8, Holz etwa 0,5, Blei oder Knetmasse nahe 0.
Gilt für den geraden zentrischen Stoß, also für eine eindimensionale Bewegung entlang der gemeinsamen Schwerpunktlinie senkrecht zur Berührungsebene. Nicht erfasst sind der schiefe Stoß (Geschwindigkeiten nicht auf dieser Geraden) und der exzentrische Stoß, bei dem zusätzlich Drehimpuls übertragen wird und die Körper zu rotieren beginnen. Ebenfalls außerhalb des Modells liegen Reibung in der Berührfläche, Rotation und Drehimpuls, der zeitliche Verlauf und die Höhe der Stoßkraft, die Verformung selbst sowie Spannungswellen im Werkstoff. Die Stoßzahl wird als bekannt und konstant vorausgesetzt; in Wirklichkeit sinkt sie mit steigender Stoßgeschwindigkeit.