Auf einer geneigten Rutsche wird Lageenergie in Bewegungsenergie umgewandelt, wobei die Reibung einen Teil davon in Wärme umsetzt. Berechne die Endgeschwindigkeit am Ende der Rutschstrecke aus Länge, Neigungswinkel und Gleitreibwert. Bemerkenswert: Die Masse des Körpers kürzt sich vollständig heraus – ein schweres und ein leichtes Paket kommen gleich schnell unten an.
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Auf einer geneigten Rutsche wird Lageenergie in Bewegungsenergie umgewandelt, wobei die Reibung einen Teil davon in Wärme umsetzt. Berechne die Endgeschwindigkeit am Ende der Rutschstrecke aus Länge, Neigungswinkel und Gleitreibwert. Bemerkenswert: Die Masse des Körpers kürzt sich vollständig heraus – ein schweres und ein leichtes Paket kommen gleich schnell unten an.
Ein Paket rutscht aus dem Stillstand L = 5 m über eine Rutsche mit α = 30° Neigung, die Gleitreibungszahl beträgt μ = 0,2. Zuerst die Gleitbedingung prüfen: tan 30° = 0,577 ist deutlich größer als μ = 0,2, der Körper gleitet also. Die wirksame Beschleunigung ist a = g·(sin 30° − 0,2·cos 30°) = 9,80665·(0,5 − 0,1732) = 3,205 m/s², und damit v = √(2·5·3,205) = √32,05 = 5,66 m/s. Zum Vergleich: Ohne Reibung wären es √(2·5·9,80665·0,5) = 7,00 m/s – die Reibung kostet also gut 19 Prozent der Endgeschwindigkeit. Und bei μ = 0,577 = tan 30° würde der Körper gar nicht anlaufen.
Der Körper startet aus dem Stillstand und gleitet, ohne zu rollen oder zu kippen, auf einer geraden Rutsche mit über die ganze Länge konstantem Neigungswinkel und konstanter Gleitreibungszahl. Vorausgesetzt ist, dass die Gleitbedingung tan α > μ erfüllt ist; andernfalls bleibt der Körper liegen und das Ergebnis wäre bedeutungslos – der Rechner weist diesen Fall zurück. Die Masse kürzt sich heraus, weil Hangabtriebskraft und Reibkraft beide proportional zur Gewichtskraft sind. Nicht enthalten sind eine Anfangsgeschwindigkeit, Luftwiderstand, das Rollen des Körpers, Kippen oder Taumeln, Übergangsradien und Krümmungen der Rutsche, eine geschwindigkeitsabhängige oder über die Länge veränderliche Reibungszahl, Erwärmung der Gleitfläche sowie die Verformung von Körper und Rutschfläche.
Wie schnell kommt ein Paket am Ende einer Schwerkraftrutsche an? Der Energiesatz beantwortet das in einem Schritt, ohne dass man die Bewegung über die Zeit verfolgen muss – und liefert dabei ein überraschendes Ergebnis: Die Masse spielt keine Rolle.
Der Energiesatz verlangt, dass die freigesetzte Lageenergie vollständig aufgeht: Ein Teil wird Bewegungsenergie, der Rest verschwindet als Reibarbeit in Wärme. Auf einer Rutsche der Länge L mit dem Neigungswinkel α sinkt der Körper um die Höhe h = L·sin α und gewinnt damit die Lageenergie m·g·L·sin α. Die Reibkraft ist μ·FN mit der Normalkraft FN = m·g·cos α, und über die Strecke L verrichtet sie die Reibarbeit μ·m·g·cos α·L. Gleichsetzen mit der Bewegungsenergie ½·m·v² liefert v = √(2·L·g·(sin α − μ·cos α)) – die Masse m kürzt sich heraus, weil sie in allen drei Energieanteilen gleich vorkommt.
Zwei gleich große Kisten, eine leer und eine voll, rutschen dieselbe Laderampe hinunter und kommen gleich schnell unten an. Die schwere Kiste wird stärker hinabgezogen, aber genauso stärker gebremst – beide Effekte wachsen mit der Masse und heben sich in der Rechnung auf. Nur das Verhältnis von Neigung zu Reibung entscheidet.
v = √(2 · L · g · (sin α − μ · cos α))
Endgeschwindigkeit aus dem Stillstand: v = √(2·L·g·(sin α − μ·cos α))Mit Anfangsgeschwindigkeit: v = √(v₀² + 2·L·g·(sin α − μ·cos α))Wirksame Beschleunigung: a = g·(sin α − μ·cos α)Gleitbedingung: tan α > μReibungsfreie Rutsche (μ = 0): v = √(2·L·g·sin α) = √(2·g·h)Höhenunterschied: h = L·sin αReibwert aus gemessener Geschwindigkeit: μ = (sin α − v²/(2·L·g))/cos α| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Endgeschwindigkeit v | Die Geschwindigkeit des Körpers am Ende der Rutschstrecke, wenn er aus dem Stillstand losgelassen wurde. Sie wächst mit der Wurzel aus der Länge: die vierfache Rutschlänge ergibt die doppelte Geschwindigkeit. Wird der Körper nicht aus dem Stillstand, sondern mit einer Anfangsgeschwindigkeit v₀ losgelassen, ist stattdessen v = √(v₀² + 2·L·g·(sin α − μ·cos α)) zu rechnen – dieser Zusatz ist hier nicht enthalten. |
| Rutschlänge L | Die entlang der schiefen Ebene zurückgelegte Strecke – nicht der Höhenunterschied und nicht die waagerechte Projektion. Der Höhenunterschied ergibt sich daraus als h = L·sin α. Woher: aus der Zeichnung oder durch Messung entlang der Rutschfläche. |
| Neigungswinkel α | Der Winkel der Rutsche gegen die Waagerechte. Er muss groß genug sein, damit der Körper überhaupt gleitet: Erst wenn tan α größer als der Reibwert μ ist, überwiegt die Hangabtriebskraft die Reibkraft. Bei tan α = μ ist der Körper im Grenzgleichgewicht und bleibt bei Selbsthemmung liegen. Woher: aus der Zeichnung, über α = arctan(Höhe/waagerechte Länge) oder mit einer Neigungsmessung. |
| Gleitreibungszahl μ | Die Gleitreibungszahl zwischen Körper und Rutschfläche, also der Reibwert während der Bewegung – nicht die meist etwas größere Haftreibungszahl, die nur für das Losbrechen gilt. Als Dezimalzahl eingeben, nicht in Prozent. Richtwerte: Stahl auf Stahl trocken etwa 0,1 bis 0,15, Holz auf Holz 0,2 bis 0,4, Karton auf Stahlblech 0,2 bis 0,4, Kunststoff auf Stahl 0,2 bis 0,4. Ein Wert μ = 0 beschreibt die reibungsfreie Idealrutsche. |
| Erdbeschleunigung g | Die örtliche Fallbeschleunigung; auf der Erde praktisch überall nahezu gleich. Richtwert 9,81 m/s², Normwert 9,80665 m/s². Nur für sehr genaue Rechnungen oder andere Himmelskörper anzupassen. |
L ist die Strecke entlang der Rutschfläche, nicht der Höhenunterschied. α ist der Neigungswinkel gegen die Waagerechte. μ ist die Gleitreibungszahl zwischen Körper und Rutschfläche – der Reibwert während der Bewegung, nicht die meist größere Haftreibungszahl, die nur das Losbrechen beschreibt. g ist die Erdbeschleunigung mit dem Richtwert 9,81 m/s².
Zuerst die Gleitbedingung prüfen: Nur wenn tan α größer als μ ist, gleitet der Körper überhaupt; andernfalls hält ihn die Reibung fest und die Rechnung ist bedeutungslos – der Rechner weist diesen Fall ausdrücklich zurück. Dann Rutschlänge, Neigungswinkel und Gleitreibungszahl eintragen. Das Ergebnis gilt für einen Start aus dem Stillstand. Hat der Körper eine Anfangsgeschwindigkeit v₀, rechnet man v = √(v₀² + 2·L·g·(sin α − μ·cos α)). Nützlich ist die Umkehrung: Mit der Zielgröße μ lässt sich aus einer gemessenen Endgeschwindigkeit die tatsächliche Gleitreibungszahl der Anlage bestimmen – oft genauer als ein Tabellenwert.
Ein Paket rutscht aus dem Stillstand L = 5 m über eine Rutsche mit α = 30° bei μ = 0,2. Die Gleitbedingung ist erfüllt, denn tan 30° = 0,577 ist deutlich größer als 0,2. Die wirksame Beschleunigung ist a = g·(sin 30° − 0,2·cos 30°) = 9,80665·(0,5 − 0,1732) = 3,205 m/s², also v = √(2·5·3,205) = 5,66 m/s. Ohne Reibung wären es 7,00 m/s – die Reibung kostet gut 19 Prozent. Wird die Rutsche auf 20 m verlängert, also vervierfacht, steigt die Endgeschwindigkeit nur auf das Doppelte, nämlich 11,32 m/s, weil die Wurzel eingeht. Und bei μ = 0,577 = tan 30° liefe das Paket gar nicht an.
Drei Punkte sind praktisch wichtig. Erstens kürzt sich die Masse heraus: Eine schwere und eine leichte Kiste kommen gleich schnell an, solange ihr Reibwert gleich ist – das widerspricht der Intuition, ist aber leicht nachprüfbar. Zweitens wächst die Geschwindigkeit nur mit der Wurzel der Länge, sodass eine doppelt so lange Rutsche lediglich das 1,41-Fache der Geschwindigkeit bringt. Drittens ist der Reibungsterm der eigentliche Hebel bei flachen Rutschen: Bei 30° reduziert μ = 0,2 die Geschwindigkeit um 19 Prozent, bei 15° dagegen schon um 50 Prozent, weil sin α kleiner und cos α größer wird. Flache Rutschen reagieren daher sehr empfindlich auf verschmutzte oder feuchte Oberflächen.
Intern wird in Metern, Sekunden und Radiant gerechnet. Die Geschwindigkeit darf in m/s, km/h, ft/s, mph, m/min oder mm/min eingegeben werden, die Rutschlänge in mm, cm, m, km oder Zoll, der Winkel in Grad oder Radiant und die Erdbeschleunigung in m/s² oder ft/s². Die Gleitreibungszahl ist dimensionslos und wird als Dezimalzahl eingegeben – 0,2 und nicht 20 %.
Schwerkraftrutschen und Packrutschen in der Fördertechnik; Auslegung von Anschlägen, Puffern und Endbegrenzungen für rutschende Güter; Schüttrutschen und Abwurfschurren; Prüfung, ob ein Gut am Rutschenende zu schnell ankommt und beschädigt wird; Bestimmung der tatsächlichen Gleitreibungszahl einer Anlage aus einer gemessenen Endgeschwindigkeit; Abschätzung von Notrutschen und Evakuierungsrutschen.
Der Körper startet aus dem Stillstand und gleitet, ohne zu rollen oder zu kippen, auf einer geraden Rutsche mit über die ganze Länge konstantem Neigungswinkel und konstanter Gleitreibungszahl. Die Gleitbedingung tan α > μ muss erfüllt sein. Die Masse kürzt sich heraus, weil Hangabtriebs- und Reibkraft beide proportional zur Gewichtskraft sind – das gilt aber nur bei trockener Festkörperreibung; bei Schmierfilmen oder Haftklebeeffekten trifft es nicht mehr zu. Nicht enthalten sind eine Anfangsgeschwindigkeit, Luftwiderstand, Rollen statt Gleiten, Kippen und Taumeln, Übergangsradien und Krümmungen der Rutsche, eine geschwindigkeitsabhängige oder über die Länge veränderliche Reibungszahl, Erwärmung der Gleitfläche sowie die Verformung von Körper und Rutschfläche.
Typischer Fehler: Der häufigste Fehler ist, den Höhenunterschied statt der Rutschlänge einzusetzen – bei 30° Neigung ergibt das einen Faktor zwei. Zweitens wird die Haftreibungszahl verwendet, obwohl während der Bewegung die kleinere Gleitreibungszahl gilt; die Haftreibung entscheidet nur, ob der Körper überhaupt losbricht. Drittens wird die Gleitbedingung nicht geprüft: Bei tan α ≤ μ rutscht nichts, und eine Formel, die trotzdem eine Zahl liefert, wäre irreführend. Und viertens wird ein rollender Körper wie ein gleitender behandelt – ein Fass oder Rohr rollt und erreicht wegen der Drehenergie eine deutlich andere Geschwindigkeit.
Schwerkraftrutschen und Packrutschen in der Fördertechnik; Auslegung von Anschlägen, Puffern und Endbegrenzungen für rutschende Güter; Schüttrutschen und Abwurfschurren; Prüfung, ob ein Gut am Rutschenende zu schnell ankommt und beschädigt wird; Bestimmung der tatsächlichen Gleitreibungszahl einer Anlage aus einer gemessenen Endgeschwindigkeit; Abschätzung von Notrutschen und Evakuierungsrutschen.
L ist die Strecke entlang der Rutschfläche, nicht der Höhenunterschied. α ist der Neigungswinkel gegen die Waagerechte. μ ist die Gleitreibungszahl zwischen Körper und Rutschfläche – der Reibwert während der Bewegung, nicht die meist größere Haftreibungszahl, die nur das Losbrechen beschreibt. g ist die Erdbeschleunigung mit dem Richtwert 9,81 m/s².
Der Körper startet aus dem Stillstand und gleitet, ohne zu rollen oder zu kippen, auf einer geraden Rutsche mit über die ganze Länge konstantem Neigungswinkel und konstanter Gleitreibungszahl. Die Gleitbedingung tan α > μ muss erfüllt sein. Die Masse kürzt sich heraus, weil Hangabtriebs- und Reibkraft beide proportional zur Gewichtskraft sind – das gilt aber nur bei trockener Festkörperreibung; bei Schmierfilmen oder Haftklebeeffekten trifft es nicht mehr zu. Nicht enthalten sind eine Anfangsgeschwindigkeit, Luftwiderstand, Rollen statt Gleiten, Kippen und Taumeln, Übergangsradien und Krümmungen der Rutsche, eine geschwindigkeitsabhängige oder über die Länge veränderliche Reibungszahl, Erwärmung der Gleitfläche sowie die Verformung von Körper und Rutschfläche.