Berechne die Knickspannung σkrit = π²E/λ², also die Druckspannung, die im Stab herrscht, wenn er die Euler-Knicklast erreicht. Sie ist der schnellste Gültigkeitstest der Euler-Theorie: liegt σkrit über der Proportionalitätsgrenze des Werkstoffs, knickt der Stab nicht mehr elastisch und die Euler-Formel liefert zu hohe Werte.
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Berechne die Knickspannung σkrit = π²E/λ², also die Druckspannung, die im Stab herrscht, wenn er die Euler-Knicklast erreicht. Sie ist der schnellste Gültigkeitstest der Euler-Theorie: liegt σkrit über der Proportionalitätsgrenze des Werkstoffs, knickt der Stab nicht mehr elastisch und die Euler-Formel liefert zu hohe Werte.
Ein Stahlstab mit E = 210 GPa und λ = 89,44 hat σkrit = π²·210.000 N/mm²/89,44² ≈ 259 N/mm². Zur Kontrolle: derselbe Stab mit A = 20 cm² und Fkrit = 518 kN ergibt Fkrit/A = 518.154 N/2.000 mm² = 259 N/mm² – identisch. Da die Proportionalitätsgrenze von S235 bei etwa 190 N/mm² liegt, ist σkrit hier größer als zulässig: der Stab ist zu gedrungen für die Euler-Formel.
Linear-elastischer, homogener Werkstoff und idealer, gerader, mittig belasteter Stab mit konstantem Querschnitt. Das Ergebnis ist nur verwertbar, solange σkrit unter der Proportionalitätsgrenze |σP| des Werkstoffs im Druckbereich bleibt, also für λ > λ₀ = π√(E/|σP|); darunter ist die Euler-Formel unzulässig und liefert unsichere, zu hohe Werte. Nicht enthalten sind Vorkrümmung, Lastexzentrizität, Eigenspannungen, plastisches Knicken, Drillknicken, lokales Beulen dünnwandiger Profile und die in Vorschriften geforderten Sicherheitsbeiwerte.
Die Knickspannung σkrit ist die Druckspannung, die im Stab genau dann herrscht, wenn er die Euler-Knicklast erreicht. Sie ersetzt die Knicklastrechnung durch eine Spannung, die man direkt mit Werkstoffkennwerten vergleichen kann – und beantwortet damit in einem Schritt, ob die Euler-Theorie für den Stab überhaupt gilt.
Teilt man die Euler-Knicklast Fkrit = π²EI/lk² durch die Querschnittsfläche A und ersetzt I/A durch den quadrierten Trägheitsradius i², erhält man σkrit = π²E/λ² mit dem Schlankheitsgrad λ = lk/i. Die Geometrie steckt damit vollständig in einer dimensionslosen Zahl, und übrig bleibt nur noch der Elastizitätsmodul. Grafisch ist σkrit(λ) die Euler-Hyperbel: der rechte, elastische Ast jeder Knickspannungslinie.
Wie beim Reifendruck: Die Kraft allein sagt wenig, erst der Druck – also Kraft pro Fläche – lässt sich mit einer Belastungsgrenze vergleichen. σkrit macht aus der Knicklast genau so eine vergleichbare Größe, die man neben die Streck- oder Proportionalitätsgrenze des Werkstoffs legen kann.
σkrit = π² · E / λ²
Knickspannung: σkrit = π²·E/λ²Herleitung: σkrit = Fkrit/A = π²EI/(lk²A) = π²E/λ²Schlankheitsgrad: λ = lk/i mit i = √(I/A)Gültigkeitsgrenze: σkrit ≤ |σP| bzw. λ ≥ λ₀ = π·√(E/|σP|)| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Knickspannung σkrit | Die Druckspannung im Stab beim Erreichen der Knicklast, also σkrit = Fkrit/A. Sie ist eine rechnerische Vergleichsgröße, keine Werkstofffestigkeit: Ein Stab mit σkrit oberhalb der Proportionalitätsgrenze erreicht diesen Wert nie, weil der Werkstoff vorher plastifiziert. |
| Elastizitätsmodul E | Elastizitätsmodul des Stabwerkstoffs aus der Werkstofftabelle: Baustahl ≈ 210 GPa, Aluminiumlegierungen ≈ 70 GPa, Grauguss ≈ 100 GPa. Die Knickspannung hängt allein von E und der Schlankheit ab – nicht von der Streckgrenze. |
| Schlankheitsgrad λ | Der dimensionslose Schlankheitsgrad λ = lk/i mit der Knicklänge lk = β·l und dem Trägheitsradius i = √(I/A). Woher: aus dem Rechner für den Schlankheitsgrad eines Druckstabs oder direkt aus Profiltabelle und Lagerung. Da λ quadratisch im Nenner steht, halbiert eine Verdopplung der Schlankheit die Knickspannung auf ein Viertel. |
E ist der Elastizitätsmodul des Werkstoffs aus der Werkstofftabelle (Baustahl ≈ 210 GPa, Aluminium ≈ 70 GPa). λ ist der Schlankheitsgrad λ = lk/i, berechnet aus der reduzierten Knicklänge lk = β·l und dem Trägheitsradius i = √(I/A). Beide Werte müssen zum gleichen Stab gehören, also zur gleichen Lagerung und zum gleichen Querschnitt.
Zuerst λ aus Knicklänge und Querschnittswerten bestimmen, dann mit dem Elastizitätsmodul σkrit berechnen. Anschließend die entscheidende Prüfung: σkrit mit der Proportionalitätsgrenze |σP| des Werkstoffs im Druckbereich vergleichen. Liegt σkrit darunter, ist die Euler-Rechnung zulässig und man dividiert sie durch die geforderte Knicksicherheit. Liegt σkrit darüber, ist das Ergebnis nicht verwertbar – der Stab ist zu gedrungen und muss nach einem Verfahren für den nicht-elastischen Bereich oder nach der zuständigen Vorschrift nachgewiesen werden.
Ein Stahlstab mit E = 210 GPa und λ = 89,44 ergibt σkrit = π²·210.000 N/mm²/89,44² = 259,1 N/mm². Gegenprobe über die Knicklast: derselbe Stab (I = 100 cm⁴, A = 20 cm², lk = 2.000 mm) hat Fkrit = 518.154 N, und 518.154 N/2.000 mm² = 259,1 N/mm² – beide Wege führen exakt auf denselben Wert. Für S235 mit |σP| ≈ 190 N/mm² ist σkrit größer als die Proportionalitätsgrenze, die Euler-Formel also unzulässig. Verlängert man denselben Stab auf λ = 130, sinkt σkrit auf 122,6 N/mm² und liegt damit sicher im elastischen Bereich.
σkrit fällt quadratisch mit der Schlankheit: doppelte Schlankheit bedeutet ein Viertel der Knickspannung. Dargestellt über λ ergibt sich eine Hyperbel, die für kleine λ ins Unendliche läuft – genau dort ist sie physikalisch falsch, weil kein Werkstoff beliebig hohe Spannungen erträgt. Deshalb wird die Euler-Hyperbel in allen Knickspannungslinien bei der Grenzschlankheit λ₀ abgeschnitten und im gedrungenen Bereich durch eine Gerade oder Kurve aus Versuchen ersetzt.
Intern wird in Pascal gerechnet. E darf in GPa oder MPa eingegeben werden, σkrit in MPa (= N/mm²), kPa, GPa oder psi. λ ist dimensionslos und wird als Dezimalzahl eingegeben, nicht in Prozent. Bei Handrechnungen mit E in N/mm² ergibt sich σkrit unmittelbar in N/mm².
Schneller Gültigkeitstest der Euler-Theorie vor jedem Knicknachweis; Vergleich von Werkstoffen und Profilen auf gleicher Spannungsbasis; Einordnung eines Stabes in den elastischen oder nicht-elastischen Bereich einer Knickspannungslinie; Plausibilitätskontrolle einer Knicklastrechnung über σkrit = Fkrit/A.
Gilt nur im linear-elastischen Bereich, also für λ > λ₀ = π√(E/|σP|). Unterhalb der Grenzschlankheit liefert die Formel Spannungen, die der Werkstoff nie erreicht, und damit unsichere Ergebnisse. Voraussetzung sind außerdem ein idealer, gerader, mittig belasteter Stab mit konstantem Querschnitt und homogenem Werkstoff. Nicht abgebildet sind Vorkrümmung und Lastexzentrizität, Eigenspannungen aus Walzen oder Schweißen, plastisches Knicken, Drillknicken, lokales Beulen dünnwandiger Profile sowie die normativ geforderten Sicherheitsbeiwerte.
Typischer Fehler: Der gravierendste Fehler ist, σkrit ohne den Vergleich mit der Proportionalitätsgrenze zu verwenden – bei gedrungenen Stäben ist das Ergebnis dann gefährlich zu hoch. σkrit darf außerdem nicht als Werkstofffestigkeit oder als zulässige Spannung gelesen werden; es ist eine Stabilitätsgrenze des idealen Stabes und noch durch die geforderte Knicksicherheit zu teilen. Und wie bei der Knicklast gilt: eine höhere Streckgrenze verschiebt σkrit nicht, weil nur E eingeht.
Schneller Gültigkeitstest der Euler-Theorie vor jedem Knicknachweis; Vergleich von Werkstoffen und Profilen auf gleicher Spannungsbasis; Einordnung eines Stabes in den elastischen oder nicht-elastischen Bereich einer Knickspannungslinie; Plausibilitätskontrolle einer Knicklastrechnung über σkrit = Fkrit/A.
E ist der Elastizitätsmodul des Werkstoffs aus der Werkstofftabelle (Baustahl ≈ 210 GPa, Aluminium ≈ 70 GPa). λ ist der Schlankheitsgrad λ = lk/i, berechnet aus der reduzierten Knicklänge lk = β·l und dem Trägheitsradius i = √(I/A). Beide Werte müssen zum gleichen Stab gehören, also zur gleichen Lagerung und zum gleichen Querschnitt.
Gilt nur im linear-elastischen Bereich, also für λ > λ₀ = π√(E/|σP|). Unterhalb der Grenzschlankheit liefert die Formel Spannungen, die der Werkstoff nie erreicht, und damit unsichere Ergebnisse. Voraussetzung sind außerdem ein idealer, gerader, mittig belasteter Stab mit konstantem Querschnitt und homogenem Werkstoff. Nicht abgebildet sind Vorkrümmung und Lastexzentrizität, Eigenspannungen aus Walzen oder Schweißen, plastisches Knicken, Drillknicken, lokales Beulen dünnwandiger Profile sowie die normativ geforderten Sicherheitsbeiwerte.