Zusammengesetzte Querschnitte rechnet man nicht neu durch, sondern setzt sie aus bekannten Grundformen zusammen: Der Gesamtschwerpunkt ist das mit den Teilflächen gewichtete Mittel der Einzelschwerpunkte. Aussparungen zählen dabei als negative Fläche. Dasselbe Verfahren gilt unverändert für Massen, Längen und Volumina.
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Zusammengesetzte Querschnitte rechnet man nicht neu durch, sondern setzt sie aus bekannten Grundformen zusammen: Der Gesamtschwerpunkt ist das mit den Teilflächen gewichtete Mittel der Einzelschwerpunkte. Aussparungen zählen dabei als negative Fläche. Dasselbe Verfahren gilt unverändert für Massen, Längen und Volumina.
Ein Winkelprofil wird aus zwei Rechtecken zusammengesetzt: A₁ = 2.000 mm² mit dem Schwerpunkt bei x₁ = 10 mm und A₂ = 1.000 mm² mit dem Schwerpunkt bei x₂ = 50 mm, beide von derselben Kante gemessen. Der Gesamtschwerpunkt liegt bei xs = (2.000·10 + 1.000·50)/(2.000 + 1.000) = (20.000 + 50.000)/3.000 = 23,33 mm. Er liegt damit zwischen 10 und 50 mm und näher an der doppelt so großen Fläche A₁ – genau wie erwartet. Zweites Beispiel mit Aussparung: Eine Platte mit A₁ = 2.000 mm² und x₁ = 10 mm erhält eine Bohrung von A₂ = −500 mm² mit dem Mittelpunkt bei x₂ = 30 mm. Dann ist xs = (20.000 − 15.000)/1.500 = 3,33 mm. Die Bohrung verschiebt den Schwerpunkt also von 10 mm nach 3,33 mm, weil sie Material auf der Seite mit dem größeren Abstand entfernt.
Das Teilflächenverfahren ist exakt und keine Näherung, solange sich die Fläche vollständig und ohne Überlappung in die eingegebenen Teile zerlegen lässt. Alle Abstände müssen von derselben Bezugsachse aus und mit demselben Vorzeichensinn gezählt werden, und alle Flächen müssen in derselben Einheit stehen. Für den Schwerpunkt in der zweiten Richtung ist die Rechnung mit den y-Abständen zu wiederholen. Der Rechner behandelt genau zwei Teile; bei mehr Teilen wird schrittweise zusammengefasst, indem man zuerst zwei Teile zu einer Ersatzfläche vereinigt und diese dann mit dem nächsten Teil kombiniert. Werden statt Flächen Massen eingesetzt, ergibt sich der Massenschwerpunkt – bei Flächenangabe gilt das Ergebnis nur bei über alle Teile gleicher Dicke und Dichte. Nicht enthalten sind Flächenträgheitsmomente, für die zusätzlich der Satz von Steiner nötig ist, und die Schwerpunktlage von Linien oder gekrümmten Flächen.
Kaum ein Querschnitt ist ein reines Rechteck. Praktisch alle bestehen aus mehreren Grundformen, oft mit Bohrungen oder Nuten. Das Teilflächenverfahren setzt den Gesamtschwerpunkt aus den bekannten Schwerpunkten dieser Teile zusammen – und behandelt Aussparungen einfach als negative Fläche.
Der Schwerpunkt einer Fläche ist der Punkt, in dem man sie unterstützen müsste, damit sie im Gleichgewicht bleibt. Er ist das mit der Fläche gewichtete Mittel aller Punkte. Zerlegt man eine Fläche in Teile mit bekannten Einzelschwerpunkten, wird aus dem Integral eine Summe: xs = (A₁x₁ + A₂x₂)/(A₁+A₂). Jede Teilfläche zieht den Gesamtschwerpunkt zu sich, und zwar im Verhältnis ihrer Größe. Der entscheidende Trick für Bohrungen und Nuten: Man rechnet nicht mit der Restfläche, sondern subtrahiert das fehlende Material als negative Teilfläche – die Formel bleibt unverändert.
Eine Wippe mit zwei Kindern von unterschiedlichem Gewicht: Der Drehpunkt muss näher am schwereren Kind liegen. Genau dasselbe Verhältnis bestimmt die Lage des Flächenschwerpunkts – die größere Teilfläche zieht ihn zu sich. Und eine Bohrung wirkt wie ein Kind, das nach oben zieht statt nach unten.
xs = (A₁·x₁ + A₂·x₂) / (A₁ + A₂)
Zwei Teilflächen: xs = (A₁x₁ + A₂x₂)/(A₁ + A₂)Allgemein für mehrere Teile: xs = Σ(Aᵢxᵢ)/ΣAᵢAussparung: A₂ negativ einsetzen, Formel unverändertZweite Richtung: ys = (A₁y₁ + A₂y₂)/(A₁ + A₂)Für Massen statt Flächen: xs = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂)Rechteck b×h: A = b·h, Schwerpunkt in der MitteDreieck: Schwerpunkt bei h/3 über der BasisHalbkreis: Schwerpunkt bei 4r/(3π) vom Durchmesser| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Schwerpunktabstand xs | Der Abstand des Gesamtschwerpunkts von der gewählten Bezugsachse. Das Ergebnis liegt bei zwei positiven Teilflächen immer zwischen x₁ und x₂ und näher an der größeren Fläche. Bei einer Aussparung kann es dagegen auch außerhalb dieses Bereichs liegen, weil die negative Fläche den Schwerpunkt von sich wegschiebt. Die Bezugsachse ist frei wählbar – ihre Lage muss nur für alle drei Abstände dieselbe sein. |
| Teilfläche A₁ | Die Fläche des ersten Teils, also der Grundform, aus der sich der Querschnitt zusammensetzt – etwa eines Rechtecks mit A = b·h oder eines Kreises mit A = π·d²/4. Werden statt Flächen Massen eingegeben, liefert dieselbe Formel den Massenschwerpunkt; Voraussetzung dafür ist bei Flächenangabe eine über alle Teile gleiche Dicke und Dichte. |
| Schwerpunktabstand x₁ der Teilfläche A₁ | Der Abstand des Schwerpunkts der ersten Teilfläche von der Bezugsachse – nicht der Abstand einer Kante. Für ein Rechteck liegt der Schwerpunkt in der Mitte, für ein Dreieck bei einem Drittel der Höhe über der Basis, für einen Halbkreis bei 4r/(3π) vom Durchmesser. Alle Abstände müssen von derselben Bezugsachse aus und in derselben Richtung positiv gezählt werden. |
| Teilfläche A₂ | Die Fläche des zweiten Teils, in derselben Einheit wie A₁. Für eine Aussparung, Bohrung oder Nut wird hier ein negativer Wert eingegeben – man rechnet also nicht mit der Restfläche, sondern zieht das fehlende Material als negative Teilfläche ab. Der Betrag der negativen Fläche muss kleiner sein als A₁, sonst bliebe keine Fläche übrig. |
| Schwerpunktabstand x₂ der Teilfläche A₂ | Der Abstand des Schwerpunkts der zweiten Teilfläche von derselben Bezugsachse, ebenfalls mit Vorzeichen. Bei einer Aussparung ist dies der Schwerpunkt des fehlenden Materials, also etwa der Bohrungsmittelpunkt – nicht der Schwerpunkt des verbleibenden Materials. |
A₁ und A₂ sind die Flächen der beiden Teile in derselben Einheit; für eine Aussparung wird A₂ negativ eingegeben. x₁ und x₂ sind die Abstände der jeweiligen Teilschwerpunkte von einer frei gewählten Bezugsachse – nicht die Abstände von Kanten. Für ein Rechteck liegt der Schwerpunkt in der Mitte, für ein Dreieck bei einem Drittel der Höhe über der Basis, für einen Halbkreis bei 4r/(3π) vom Durchmesser.
Zuerst eine Bezugsachse festlegen – meist eine Außenkante, weil dann alle Abstände positiv sind – und diese für alle Angaben beibehalten. Dann die Fläche in Grundformen zerlegen, deren Schwerpunkte bekannt sind, und darauf achten, dass die Teile sich vollständig ergänzen und nicht überlappen. Bohrungen und Nuten als negative Fläche mit dem Schwerpunkt des fehlenden Materials eingeben. Nach der Rechnung in der ersten Richtung dasselbe mit den Abständen in der zweiten Richtung wiederholen, um den Schwerpunkt vollständig zu bestimmen. Bei mehr als zwei Teilen fasst man schrittweise zusammen: zwei Teile zu einer Ersatzfläche vereinigen und diese mit dem nächsten Teil kombinieren.
Ein Winkelprofil besteht aus zwei Rechtecken: A₁ = 2.000 mm² mit Schwerpunkt bei x₁ = 10 mm und A₂ = 1.000 mm² mit Schwerpunkt bei x₂ = 50 mm, beide von derselben Kante gemessen. Dann ist xs = (2.000·10 + 1.000·50)/3.000 = 70.000/3.000 = 23,33 mm. Das Ergebnis liegt zwischen den beiden Einzelwerten und näher an der doppelt so großen Fläche – eine gute Plausibilitätskontrolle. Mit Aussparung: Eine Platte mit A₁ = 2.000 mm² bei x₁ = 10 mm bekommt eine Bohrung von A₂ = −500 mm² bei x₂ = 30 mm. Dann ist xs = (20.000 − 15.000)/1.500 = 3,33 mm. Der Schwerpunkt wandert von 10 mm auf 3,33 mm, weil die Bohrung Material auf der entfernteren Seite entfernt – und er liegt damit außerhalb des Bereichs zwischen x₁ und x₂, was bei negativen Flächen normal ist.
Bei zwei positiven Teilflächen liegt das Ergebnis immer zwischen x₁ und x₂, und zwar im umgekehrten Verhältnis der Flächen: Ist A₁ doppelt so groß wie A₂, liegt der Schwerpunkt doppelt so nah an x₁. Sobald eine Aussparung ins Spiel kommt, gilt diese Eingrenzung nicht mehr – die negative Fläche schiebt den Schwerpunkt von sich weg, auch über die Einzelwerte hinaus. Der Gesamtschwerpunkt ist die Grundlage aller weiteren Querschnittsrechnungen: Biegespannungen beziehen sich auf die Schwerachse, und Flächenträgheitsmomente werden mit dem Satz von Steiner auf sie umgerechnet. Ein Fehler hier pflanzt sich also in jede folgende Rechnung fort.
Intern wird in Quadratmetern und Metern gerechnet. Die Flächen dürfen in mm², cm², m², in² oder ft² eingegeben werden, die Abstände in mm, cm, m oder Zoll – beide Flächen müssen jedoch in derselben Einheit stehen und beide Abstände ebenfalls. Da nur das Verhältnis der Flächen eingeht, hat das Ergebnis immer die Einheit der Abstände. Werden statt Flächen Massen eingegeben, gilt dieselbe Formel unverändert.
Schwerachse zusammengesetzter Profile aus Blechen, Winkeln und Rohren; Querschnitte mit Bohrungen, Nuten, Aussparungen und Ausklinkungen; geschweißte Träger aus Stegblech und Flanschen; Lage der Nulllinie für die Biegespannungsberechnung; Kippsicherheit und Standfläche von Maschinen und Behältern; Massenschwerpunkt von Baugruppen, wenn statt Flächen die Massen eingesetzt werden.
Das Verfahren ist exakt und keine Näherung, solange sich die Fläche vollständig und ohne Überlappung in die eingegebenen Teile zerlegen lässt. Alle Abstände müssen von derselben Bezugsachse und mit demselben Vorzeichensinn gezählt werden. Der Rechner behandelt genau zwei Teile; mehr Teile werden schrittweise zusammengefasst. Bei Flächenangabe gilt das Ergebnis als Massenschwerpunkt nur, wenn Dicke und Dichte über alle Teile gleich sind – bei einem Verbundquerschnitt aus verschiedenen Werkstoffen ist stattdessen mit den Massen oder mit modulgewichteten Flächen zu rechnen. Nicht enthalten sind Flächenträgheitsmomente, für die zusätzlich der Satz von Steiner nötig ist, sowie Schwerpunkte von Linien und gekrümmten Flächen.
Typischer Fehler: Der häufigste Fehler ist, Kantenabstände statt Schwerpunktabstände der Teilflächen einzusetzen – beim Rechteck ist das die halbe Höhe Unterschied. Zweitens werden die Abstände von unterschiedlichen Bezugsachsen gemessen; die Achse ist frei wählbar, muss aber für alle Angaben dieselbe sein. Drittens wird bei einer Bohrung mit der Restfläche gerechnet, obwohl deren Schwerpunkt gerade erst gesucht wird – richtig ist die negative Teilfläche mit dem Schwerpunkt des fehlenden Materials. Und viertens wird vergessen, die Rechnung für die zweite Richtung zu wiederholen: Ein Schwerpunkt hat zwei Koordinaten.
Schwerachse zusammengesetzter Profile aus Blechen, Winkeln und Rohren; Querschnitte mit Bohrungen, Nuten, Aussparungen und Ausklinkungen; geschweißte Träger aus Stegblech und Flanschen; Lage der Nulllinie für die Biegespannungsberechnung; Kippsicherheit und Standfläche von Maschinen und Behältern; Massenschwerpunkt von Baugruppen, wenn statt Flächen die Massen eingesetzt werden.
A₁ und A₂ sind die Flächen der beiden Teile in derselben Einheit; für eine Aussparung wird A₂ negativ eingegeben. x₁ und x₂ sind die Abstände der jeweiligen Teilschwerpunkte von einer frei gewählten Bezugsachse – nicht die Abstände von Kanten. Für ein Rechteck liegt der Schwerpunkt in der Mitte, für ein Dreieck bei einem Drittel der Höhe über der Basis, für einen Halbkreis bei 4r/(3π) vom Durchmesser.
Das Verfahren ist exakt und keine Näherung, solange sich die Fläche vollständig und ohne Überlappung in die eingegebenen Teile zerlegen lässt. Alle Abstände müssen von derselben Bezugsachse und mit demselben Vorzeichensinn gezählt werden. Der Rechner behandelt genau zwei Teile; mehr Teile werden schrittweise zusammengefasst. Bei Flächenangabe gilt das Ergebnis als Massenschwerpunkt nur, wenn Dicke und Dichte über alle Teile gleich sind – bei einem Verbundquerschnitt aus verschiedenen Werkstoffen ist stattdessen mit den Massen oder mit modulgewichteten Flächen zu rechnen. Nicht enthalten sind Flächenträgheitsmomente, für die zusätzlich der Satz von Steiner nötig ist, sowie Schwerpunkte von Linien und gekrümmten Flächen.