Was berechnet der Rechner?
Der Rechner bestimmt die Hauptträgheitsmomente I1 und I2 sowie den zugehörigen Hauptachsenwinkel φ einer beliebigen polygonalen Querschnittskontur. Schwerpunkt sowie Ix, Iy und Ixy werden dabei intern mit derselben Polygon-Engine bestimmt wie beim Flächenträgheitsmoment- und Schwerpunktrechner.
Von Ix, Iy, Ixy zu den Hauptwerten
Die Hauptträgheitsmomente ergeben sich aus:
I1,2 = (Ix+Iy)/2 ± √(((Ix−Iy)/2)² + Ixy²)Der zugehörige Hauptachsenwinkel folgt aus tan(2φ) = −2Ixy/(Ix−Iy). Da diese Gleichung zwei um 90° versetzte Lösungen besitzt, wird zusätzlich geprüft, welche der beiden Achsen tatsächlich zu I1 gehört, statt eine bestimmte Vorzeichenkonvention einfach zu unterstellen.
Kontrollwert I1 + I2
Die Summe der Hauptträgheitsmomente ist unabhängig von der Achsdrehung und muss stets gleich Ix + Iy sein (polares Trägheitsmoment bezüglich des Schwerpunkts). Diese Invariante wird auf der Ergebnisseite mit ausgegeben und eignet sich als Plausibilitätskontrolle.
Symmetrische Querschnitte
Besitzt der Querschnitt eine Symmetrieachse, die mit der x- oder y-Achse zusammenfällt, ist Ixy = 0 und die dargestellten Achsen xS/yS sind bereits die Hauptachsen. Bei einem unsymmetrischen Profil sind die Hauptachsen dagegen um den Winkel φ gegenüber xS/yS gedreht.
Beispiel: um 25° gedrehtes Rechteck 100 × 50 mm
Ein achsparalleles Rechteck 100 × 50 mm hat Ix = 1.041.666,667 mm⁴, Iy = 4.166.666,667 mm⁴ und Ixy = 0 – die Hauptachsen fallen bereits mit x/y zusammen (I1 = Iy, φ = 90°, da I1 stets die Achse mit dem größeren Wert kennzeichnet). Wird dieselbe Kontur um 25° um ihren Schwerpunkt gedreht, bleiben I1 = 4.166.666,667 mm⁴ und I2 = 1.041.666,667 mm⁴ unverändert, während sich der Hauptachsenwinkel um denselben Betrag auf φ = 115° verschiebt – die Hauptachsen sind eine Eigenschaft der Form und drehen sich mit ihr.
Gültigkeitsbereich
Unterstützt werden eine geschlossene, nicht selbstschneidende Außenkontur und eine vollständig darin liegende polygonale Innenkontur. Getrennte Teilflächen, Kreisbögen und DXF sind derzeit nicht enthalten.