Die Resultierende einer Streckenlast greift im Schwerpunkt der Lastfläche an. Berechne ihren Abstand xs vom Anfang des belasteten Bereichs aus den beiden Randordinaten und der Lastlänge. Erst mit dieser Wirkungslinie lässt sich das Momentengleichgewicht aufstellen und die Last korrekt auf die Auflager verteilen.
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Die Resultierende einer Streckenlast greift im Schwerpunkt der Lastfläche an. Berechne ihren Abstand xs vom Anfang des belasteten Bereichs aus den beiden Randordinaten und der Lastlänge. Erst mit dieser Wirkungslinie lässt sich das Momentengleichgewicht aufstellen und die Last korrekt auf die Auflager verteilen.
Eine Trapezlast steigt über l = 4 m von q₁ = 5 kN/m auf q₂ = 15 kN/m. Damit ist xs = 4 m/3 · (5 + 2·15)/(5 + 15) = 1,3333 m · 35/20 = 1,3333 m · 1,75 = 2,333 m vom Anfang aus. Die Resultierende von 40 kN greift also 2,33 m hinter dem Lastanfang an und damit deutlich hinter der Mitte bei 2,0 m – so wie es der zum Ende hin größeren Last entspricht. Kontrolle an den Grenzfällen: Für eine Dreieckslast mit q₁ = 0 und q₂ = 10 kN/m über l = 6 m ergibt sich xs = 6/3 · 20/10 = 4,0 m, also genau 2l/3. Für eine Gleichlast mit q₁ = q₂ ergibt sich stets l/2, hier also 2,0 m.
Vorausgesetzt wird ein geradliniger Lastverlauf zwischen den beiden Randordinaten und eine über die Länge gleichgerichtete Last. Die Wirkungslinie gilt zusammen mit der Resultierenden nur in der Starrkörperstatik, also für das Gleichgewicht am Gesamtsystem und für Schnittgrößen außerhalb des belasteten Bereichs; innerhalb des belasteten Bereichs ist mit der tatsächlichen Verteilung zu rechnen. Beide Randordinaten müssen dasselbe Vorzeichen haben – bei einem Vorzeichenwechsel innerhalb der Länge ist die Last in Abschnitte zu unterteilen, weil der Schwerpunkt der Lastfläche dann außerhalb des belasteten Bereichs liegen kann. Nicht abgedeckt sind nichtlineare Verläufe wie parabolische oder abgetreppte Lasten sowie Flächen- und Volumenlasten, die zuvor auf eine Linienlast umzurechnen sind.
Die Gesamtkraft einer Streckenlast allein genügt nicht, um Auflagerkräfte zu bestimmen – man muss auch wissen, wo sie angreift. Der Rechner bestimmt diese Wirkungslinie für einen geradlinigen Lastverlauf und zeigt, dass sie nur bei der Gleichlast in der Mitte liegt.
Eine Streckenlast darf in der Starrkörperstatik durch eine einzige Ersatzkraft ersetzt werden, ihre Resultierende. Diese greift im Schwerpunkt der Lastfläche an – dort, wo die Fläche unter dem Lastbild ihr Gleichgewicht hätte, wenn man sie als Pappscheibe ausschneiden würde. Formal folgt die Lage aus xs = ∫x·q(x)dx / ∫q(x)dx, also dem mit der Lastordinate gewichteten Mittel der Koordinate. Für einen geradlinigen Verlauf zwischen den Randwerten q₁ und q₂ ergibt das den Schwerpunkt eines Trapezes: xs = l/3 · (q₁+2q₂)/(q₁+q₂), gemessen vom Ende mit q₁.
Ein Tablett, auf dem die Teller nach hinten immer dichter stehen, muss man weiter hinten anfassen, damit es nicht kippt – nicht in der Mitte. Der Griffpunkt ist genau der Schwerpunkt der Beladung, und exakt diesen Punkt berechnet die Formel für die Streckenlast.
xs = l/3 · (q₁ + 2·q₂)/(q₁ + q₂)
Allgemein: xs = ∫x·q(x)dx / ∫q(x)dxLinearer Verlauf, vom Ende mit q₁ gemessen: xs = l/3 · (q₁+2q₂)/(q₁+q₂)Gleichlast (q₁ = q₂): xs = l/2Dreieckslast ansteigend (q₁ = 0): xs = 2l/3Dreieckslast abfallend (q₂ = 0): xs = l/3Vom anderen Ende gemessen: l − xsGültigkeitsband: l/3 ≤ xs ≤ 2l/3| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Abstand xs der Resultierenden | Der Abstand der Wirkungslinie der Resultierenden vom Anfang des belasteten Bereichs, also von der Stelle, an der q₁ wirkt. Er liegt immer zwischen l/3 und 2l/3: bei l/3, wenn die Last zur Spitze hin auf null abfällt, bei l/2 bei Gleichlast und bei 2l/3, wenn sie von null ansteigt. Dieser Abstand ist zugleich der Schwerpunkt der Lastfläche – die Resultierende greift stets dort an. |
| Randordinate q₁ am Anfang | Die Streckenlast am Anfang des belasteten Bereichs, angegeben als Kraft je Länge, zum Beispiel in kN/m. Der Abstand xs wird von genau dieser Seite aus gemessen – vertauscht man q₁ und q₂, misst man vom anderen Ende, und es gilt xs(vertauscht) = l − xs. |
| Randordinate q₂ am Ende | Die Streckenlast am Ende des belasteten Bereichs, in derselben Einheit wie q₁, mit geradlinigem Verlauf dazwischen. Je größer q₂ gegenüber q₁, desto weiter wandert die Resultierende zum Ende hin – der Faktor 2 vor q₂ in der Formel bewirkt genau diese Gewichtung. |
| Lastlänge l | Die Länge des belasteten Bereichs, nicht die Trägerlänge. Der berechnete Abstand bezieht sich auf den Anfang dieses Bereichs; liegt er nicht am Trägeranfang, ist der Abstand des Lastanfangs vom Auflager anschließend noch zu addieren. |
q₁ ist die Streckenlast am Anfang, q₂ die am Ende des belasteten Bereichs, beide als Kraft je Länge in derselben Einheit. l ist die Länge des belasteten Bereichs. Entscheidend ist die Zählrichtung: xs wird von jenem Ende aus gemessen, an dem q₁ wirkt. Vertauscht man q₁ und q₂, erhält man den Abstand vom anderen Ende, und die beiden Werte ergänzen sich zu l.
Randordinaten und belastete Länge aus dem Lastbild ablesen und darauf achten, von welchem Ende aus gezählt werden soll – dieses Ende ist q₁. Den berechneten Abstand anschließend auf das Bezugssystem des Trägers umrechnen: Beginnt die Last nicht am Auflager, ist der Abstand zwischen Auflager und Lastanfang zu addieren. Mit der Resultierenden und diesem Abstand lässt sich das Momentengleichgewicht um ein Auflager aufstellen und die Auflagerkraft am anderen Auflager bestimmen. Als Plausibilitätskontrolle: Das Ergebnis muss immer zwischen l/3 und 2l/3 liegen.
Eine Trapezlast steigt über l = 4 m von q₁ = 5 kN/m auf q₂ = 15 kN/m. Dann ist xs = 4/3 · (5 + 2·15)/(5 + 15) = 1,3333 · 1,75 = 2,333 m vom Lastanfang. Die Resultierende von 40 kN greift also hinter der Mitte an, was zur nach rechts wachsenden Last passt. Vom anderen Ende gemessen wären es 4 − 2,333 = 1,667 m, was man auch durch Vertauschen von q₁ und q₂ erhält. Die Grenzfälle bestätigen die Formel: Eine Dreieckslast mit q₁ = 0, q₂ = 10 kN/m über l = 6 m ergibt xs = 6/3 · 20/10 = 4,0 m, genau 2l/3; eine Gleichlast ergibt stets l/2; und eine von q₁ auf null abfallende Dreieckslast ergibt l/3.
Die Wirkungslinie liegt immer zwischen einem Drittel und zwei Dritteln der Lastlänge – enger kann sie bei geradlinigem Verlauf nicht eingegrenzt werden, aber auch nicht weiter. Der Faktor 2 vor q₂ in der Formel zeigt die Gewichtung: Die Seite mit der größeren Last zieht den Angriffspunkt zu sich. Praktisch folgt daraus, dass eine Dreieckslast die beiden Auflager im Verhältnis 1:2 belastet, eine Gleichlast dagegen gleichmäßig. Wer bei einer Dreieckslast mit der Mitte rechnet, unterschätzt daher die Kraft am stärker belasteten Auflager um ein Drittel.
Intern wird in Newton je Meter und Metern gerechnet. Die Streckenlasten dürfen in N/mm, N/m, kN/m oder lbf/ft eingegeben werden, Länge und Abstand in mm, cm, m, km oder Zoll. Da nur das Verhältnis der beiden Randordinaten eingeht, ist das Ergebnis von deren Einheit unabhängig – sie müssen aber beide in derselben Einheit stehen. Der berechnete Abstand hat dieselbe Dimension wie die Lastlänge.
Auflagerkräfte von Trägern unter dreieck- oder trapezförmiger Last; Wasser- und Erddruck auf Wände, wo die Last linear mit der Tiefe zunimmt und die Resultierende bei einem Drittel der Höhe über dem Fuß angreift; Kippmoment von Stützwänden und Fundamenten; Winddruck mit Höhenprofil; Lastannahmen für Konsolen und Kragarme; Kontrolle grafischer Lösungen.
Vorausgesetzt wird ein geradliniger Lastverlauf zwischen den Randordinaten. Zusammen mit der Resultierenden gilt die Wirkungslinie nur in der Starrkörperstatik – für das Gleichgewicht des Gesamtsystems und für Schnittgrößen außerhalb des belasteten Bereichs; innerhalb des belasteten Bereichs ist die tatsächliche Verteilung einzusetzen. Beide Randordinaten müssen dasselbe Vorzeichen haben: Wechselt die Last innerhalb der Länge ihr Vorzeichen, kann der Schwerpunkt der Lastfläche außerhalb des belasteten Bereichs liegen, und die Last ist in Abschnitte zu unterteilen. Nicht abgedeckt sind nichtlineare Verläufe wie parabolische oder abgetreppte Lasten sowie Flächen- und Volumenlasten, die zuvor auf eine Linienlast umgerechnet werden müssen.
Typischer Fehler: Der häufigste Fehler ist, bei einer Dreiecks- oder Trapezlast mit der Mitte zu rechnen – bei der Dreieckslast liegt der Angriffspunkt um ein Sechstel der Länge daneben. Zweitens wird oft vergessen, von welchem Ende aus gezählt wird: l/3 und 2l/3 liegen für dieselbe Dreieckslast je nach Bezugsende an verschiedenen Stellen. Drittens wird der berechnete Abstand direkt als Abstand vom Auflager verwendet, obwohl er sich auf den Lastanfang bezieht. Und viertens wird die Formel bei Lasten mit Vorzeichenwechsel angewendet, für die sie nicht gilt.
Auflagerkräfte von Trägern unter dreieck- oder trapezförmiger Last; Wasser- und Erddruck auf Wände, wo die Last linear mit der Tiefe zunimmt und die Resultierende bei einem Drittel der Höhe über dem Fuß angreift; Kippmoment von Stützwänden und Fundamenten; Winddruck mit Höhenprofil; Lastannahmen für Konsolen und Kragarme; Kontrolle grafischer Lösungen.
q₁ ist die Streckenlast am Anfang, q₂ die am Ende des belasteten Bereichs, beide als Kraft je Länge in derselben Einheit. l ist die Länge des belasteten Bereichs. Entscheidend ist die Zählrichtung: xs wird von jenem Ende aus gemessen, an dem q₁ wirkt. Vertauscht man q₁ und q₂, erhält man den Abstand vom anderen Ende, und die beiden Werte ergänzen sich zu l.
Vorausgesetzt wird ein geradliniger Lastverlauf zwischen den Randordinaten. Zusammen mit der Resultierenden gilt die Wirkungslinie nur in der Starrkörperstatik – für das Gleichgewicht des Gesamtsystems und für Schnittgrößen außerhalb des belasteten Bereichs; innerhalb des belasteten Bereichs ist die tatsächliche Verteilung einzusetzen. Beide Randordinaten müssen dasselbe Vorzeichen haben: Wechselt die Last innerhalb der Länge ihr Vorzeichen, kann der Schwerpunkt der Lastfläche außerhalb des belasteten Bereichs liegen, und die Last ist in Abschnitte zu unterteilen. Nicht abgedeckt sind nichtlineare Verläufe wie parabolische oder abgetreppte Lasten sowie Flächen- und Volumenlasten, die zuvor auf eine Linienlast umgerechnet werden müssen.