Was berechnet der Schwerpunktrechner?
Der Rechner bestimmt den geometrischen Flächenschwerpunkt einer beliebigen polygonalen Querschnittskontur. Die Geometrie wird entweder grafisch im Editor oder über die Eckpunktkoordinaten definiert. Der Schwerpunkt beschreibt die mittlere Lage der Fläche im gewählten Koordinatensystem – bei einem Balkenquerschnitt zum Beispiel den Punkt, durch den die neutrale Faser bei reiner Biegung verläuft.
Was ist der Flächenschwerpunkt?
Allgemein ist der Flächenschwerpunkt über die Flächenintegrale definiert:
x̄ = (1/A) ∫A x dAȳ = (1/A) ∫A y dADer Schwerpunkt hängt ausschließlich von der Geometrie der Fläche ab. Keine Werkstoffeigenschaft geht in die Berechnung ein – Elastizitätsmodul, Dichte oder Festigkeit spielen für x̄ und ȳ keine Rolle.
Schwerpunkt eines Polygons aus Koordinaten
Statt die Fläche in Rechtecke oder Dreiecke zu zerlegen, kann eine geradlinig begrenzte Kontur direkt aus der geordneten Folge ihrer Eckpunkte ausgewertet werden. Für jede Kante von Pi nach Pi+1 wird ci = xi·yi+1 − xi+1·yi gebildet.
A = ½ Σ cix̄ = (1/6A) Σ (xi+xi+1)ciȳ = (1/6A) Σ (yi+yi+1)ciDie Punkte müssen entlang des Randes in fortlaufender Reihenfolge definiert werden. Der letzte Punkt wird automatisch mit dem ersten verbunden.
Schwerpunkt bei symmetrischen Querschnitten
Symmetrie kann eine Schwerpunktkoordinate sofort festlegen, aber nicht zwingend beide:
- Rechteck → Schnittpunkt der beiden Symmetrieachsen.
- Kreis → Mittelpunkt.
- Profil mit einer Symmetrieachse (z. B. ein T-Profil) → der Schwerpunkt liegt auf dieser Achse, die zweite Koordinate muss weiterhin berechnet werden.
- Unsymmetrischer Querschnitt → keine einfache geometrische Ablesung möglich, beide Koordinaten müssen berechnet werden.
Kann der Schwerpunkt außerhalb der Fläche liegen?
Bei konvexen Polygonen liegt der Schwerpunkt immer innerhalb des Polygons. Bei konkaven Querschnitten – etwa einer L- oder U-artigen Kontur – kann der Schwerpunkt jedoch in einem Bereich liegen, in dem sich kein Material befindet. Das ist geometrisch korrekt und kein Rechenfehler: Die mittlere Lage der Fläche muss nicht mit einem Punkt der Fläche selbst zusammenfallen, sobald die Kontur einspringende Ecken hat.
Flächenschwerpunkt vs. Massenschwerpunkt
Der Flächenschwerpunkt ist eine rein geometrische Eigenschaft einer Fläche. Der Massenschwerpunkt berücksichtigt zusätzlich, wie die Masse im Bauteil verteilt ist. Bei einem prismatischen Körper mit homogener Dichte stimmen die Lage des Flächenschwerpunkts im Querschnitt und die Projektion des Massenschwerpunkts auf diesen Querschnitt überein. Bei räumlich variierender Dichte oder mehreren Werkstoffen – etwa einem Verbundquerschnitt aus Stahl und Beton – gilt das nicht mehr; dann muss die Massenverteilung gesondert gewichtet werden.
Bezug zum Flächenträgheitsmoment
Der Schwerpunkt ist außerdem wichtig, weil Flächenträgheitsmomente in der Balkenbiegung üblicherweise bezüglich der durch ihn verlaufenden Achsen angegeben werden. Ix, Iy und Ixy dieser Kontur berechnet der eigenständige Flächenträgheitsmoment-Rechner für beliebige Querschnitte.
Beispielrechnung: Rechteck 100 × 50 mm
Kontur P1 = (0, 0), P2 = (100, 0), P3 = (100, 50), P4 = (0, 50):
A = 100 · 50 = 5.000 mm²x̄ = 50 mmȳ = 25 mmDaraus folgen die statischen Flächenmomente bezüglich der dargestellten globalen Achsen:
Qx = A·ȳ = 5.000 · 25 = 125.000 mm³Qy = A·x̄ = 5.000 · 50 = 250.000 mm³Diese Werte werden auch als automatisierter Referenztest verwendet.
Gültigkeitsbereich
Unterstützt wird genau eine geschlossene, nicht selbstschneidende Außenkontur aus geraden Kanten. Löcher, getrennte Teilflächen, Kreisbögen und DXF sind derzeit nicht enthalten. Der Flächenschwerpunkt allein ist keine Aussage über Festigkeit, Steifigkeit oder Massenverteilung – dafür sind die Flächenträgheitsmomente beziehungsweise eine gesonderte Massenschwerpunktberechnung heranzuziehen.