Eine Streckenlast ist eine über eine Länge verteilte Kraft, angegeben als Kraft je Länge. Für die Berechnung von Auflagerkräften darf sie durch eine einzige Ersatzkraft ersetzt werden – ihre Resultierende. Bei linearem Verlauf ist das einfach die Fläche unter der Lastordinate: R = (q₁+q₂)/2 · l. Dieselbe Formel gilt für Rechteck-, Dreiecks- und Trapezlast.
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Eine Streckenlast ist eine über eine Länge verteilte Kraft, angegeben als Kraft je Länge. Für die Berechnung von Auflagerkräften darf sie durch eine einzige Ersatzkraft ersetzt werden – ihre Resultierende. Bei linearem Verlauf ist das einfach die Fläche unter der Lastordinate: R = (q₁+q₂)/2 · l. Dieselbe Formel gilt für Rechteck-, Dreiecks- und Trapezlast.
Eine Trapezlast steigt über l = 4 m von q₁ = 5 kN/m auf q₂ = 15 kN/m. Die Resultierende ist R = (5 + 15)/2 kN/m · 4 m = 10 kN/m · 4 m = 40 kN. Der Mittelwert der beiden Randordinaten ist also 10 kN/m, und damit verhält sich die Trapezlast in der Summe wie eine Gleichlast von 10 kN/m. Grenzfälle: Eine Dreieckslast mit q₁ = 0 und q₂ = 10 kN/m über l = 6 m ergibt R = 5 kN/m · 6 m = 30 kN, also genau die Hälfte der Rechtecklast gleicher Höhe. Eine Gleichlast von 8 kN/m über 3 m ergibt R = 24 kN.
Vorausgesetzt wird ein geradliniger Verlauf der Streckenlast zwischen den beiden Randordinaten sowie eine über die Länge gleichgerichtete Belastung. Die Resultierende ersetzt die verteilte Last nur in der Starrkörperstatik, also für Gleichgewichtsbetrachtungen am Gesamtsystem und für Schnittgrößen außerhalb des belasteten Bereichs. Innerhalb des belasteten Bereichs darf nicht mit der Resultierenden gerechnet werden, weil Querkraft- und Momentenverlauf dort von der tatsächlichen Verteilung abhängen; ebenso ist für Verformungen und Durchbiegungen die echte Lastverteilung erforderlich. Nicht abgedeckt sind nichtlineare Lastverläufe wie parabolische oder abgetreppte Lasten, Lasten mit wechselndem Vorzeichen innerhalb der Länge sowie Flächen- und Volumenlasten, die zuvor auf eine Linienlast umzurechnen sind.
Eine über eine Länge verteilte Last lässt sich für Gleichgewichtsrechnungen durch eine einzige Ersatzkraft ersetzen. Der Rechner bestimmt diese Resultierende für den häufigsten Fall – einen geradlinigen Lastverlauf – und deckt damit Rechteck-, Dreiecks- und Trapezlast in einer Formel ab.
Eine Streckenlast, auch Linienlast genannt, ist eine über eine Länge verteilte Kraft. Sie wird nicht als Kraft, sondern als Kraft je Länge angegeben, üblicherweise in kN/m. Um Auflagerkräfte zu bestimmen, ersetzt man sie durch ihre Resultierende R – die Gesamtkraft, die dieselbe statische Wirkung hat. Mathematisch ist R das Integral der Lastordinate über die Länge, anschaulich also die Fläche unter dem Lastbild. Verläuft die Last geradlinig zwischen den Randwerten q₁ und q₂, ist diese Fläche ein Trapez, und die Formel reduziert sich auf R = (q₁+q₂)/2 · l: mittlere Lastordinate mal Länge.
Eine Schneedecke auf einem Flachdach drückt über die ganze Fläche. Für die Frage, wie stark die beiden Auflager belastet sind, genügt es aber, das Gesamtgewicht des Schnees und seinen Schwerpunkt zu kennen – so wie man einen Sack Zement als eine Kraft behandelt und nicht als Millionen Körner. Genau diese Vereinfachung leistet die Resultierende.
R = (q₁ + q₂)/2 · l
Allgemein: R = ∫q(x)·dx, also die Fläche unter dem LastbildLinearer Verlauf (Trapez): R = (q₁+q₂)/2 · lGleichlast (q₁ = q₂ = q₀): R = q₀·lDreieckslast (q₁ = 0): R = q₂·l/2Erforderliche Spitzenordinate einer Dreieckslast: q₂ = 2R/l| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Resultierende R | Die Gesamtkraft, die der verteilten Belastung entspricht. In der Starrkörperstatik – also bei der Berechnung von Auflagerkräften und Schnittmomenten außerhalb des belasteten Bereichs – darf die Streckenlast vollständig durch diese eine Kraft ersetzt werden. Innerhalb des belasteten Bereichs ist das nicht zulässig: Dort brauchen Querkraft- und Momentenverlauf die tatsächliche Verteilung. |
| Randordinate q₁ am Anfang | Die Streckenlast am linken Rand des belasteten Bereichs, also die Kraft je Länge dort. Einheit ist Kraft durch Länge, zum Beispiel kN/m – nicht die Gesamtkraft. Für eine Dreieckslast, die bei null beginnt, wird q₁ = 0 eingegeben; für eine Rechtecklast (Gleichlast) sind q₁ und q₂ gleich groß. Woher: Eigengewicht je Meter, Schneelast je Quadratmeter mal Lasteinzugsbreite, oder Flüssigkeitsdruck mal Breite. |
| Randordinate q₂ am Ende | Die Streckenlast am rechten Rand des belasteten Bereichs, in derselben Einheit wie q₁. Zwischen den beiden Randwerten wird ein geradliniger Verlauf angenommen. Ein typisches Beispiel für q₁ ≠ q₂ ist der Wasserdruck auf eine Behälterwand, der von oben nach unten linear zunimmt. |
| Lastlänge l | Die Länge des Bereichs, über den die Streckenlast wirkt – nicht die Gesamtlänge des Trägers. Wirkt die Last nur über einen Teil des Trägers, ist hier nur dieser belastete Abschnitt einzusetzen; die unbelasteten Abschnitte gehen erst über die Lage der Resultierenden in das Momentengleichgewicht ein. |
q₁ ist die Streckenlast am Anfang, q₂ die am Ende des belasteten Bereichs, beide als Kraft je Länge. Für eine Gleichlast setzt man q₁ = q₂, für eine bei null beginnende Dreieckslast q₁ = 0. l ist die Länge des belasteten Bereichs, nicht die Trägerlänge. Herkunft der Lastordinaten: Eigengewicht je Meter aus Profiltabelle und Dichte, Flächenlast mal Lasteinzugsbreite, oder Flüssigkeitsdruck mal Wandbreite.
Zuerst das Lastbild aufzeichnen und die beiden Randordinaten sowie die belastete Länge ablesen. Dabei darauf achten, dass q₁ und q₂ in derselben Einheit stehen und wirklich Kraft je Länge sind. Nach der Berechnung der Resultierenden folgt der zweite Schritt: Für das Momentengleichgewicht braucht man zusätzlich deren Wirkungslinie, die nur bei der Gleichlast in der Mitte liegt. Mit Resultierender und Lage lassen sich die Auflagerkräfte dann wie bei einer Einzellast bestimmen. Wichtig: Für Querkraft- und Momentenverlauf innerhalb des belasteten Bereichs und für Durchbiegungen ist wieder die tatsächliche Verteilung einzusetzen.
Eine Trapezlast steigt über l = 4 m von q₁ = 5 kN/m auf q₂ = 15 kN/m. Die mittlere Lastordinate ist (5+15)/2 = 10 kN/m, also R = 10 kN/m · 4 m = 40 kN. Grenzfälle zur Kontrolle: Eine Dreieckslast von 0 auf 10 kN/m über 6 m ergibt R = 5 · 6 = 30 kN – genau die Hälfte der Rechtecklast mit 10 kN/m über dieselbe Länge, was der halben Dreiecksfläche entspricht. Eine Gleichlast von 8 kN/m über 3 m ergibt R = 24 kN. Und rückwärts: Soll eine Dreieckslast über 6 m insgesamt 30 kN tragen, muss ihre Spitzenordinate 10 kN/m betragen.
Weil nur der Mittelwert der Randordinaten eingeht, verhält sich jede linear verlaufende Last in der Summe wie eine Gleichlast dieses Mittelwerts. Für die Gesamtkraft ist es also gleichgültig, ob die Last von links nach rechts oder umgekehrt ansteigt – die Resultierende ist dieselbe. Erst ihre Lage unterscheidet die Fälle, und damit die Verteilung auf die beiden Auflager. Das ist der Grund, warum die Resultierende allein nie genügt: Sie beantwortet die Kräftebilanz, aber nicht die Momentenbilanz.
Intern wird in Newton je Meter und Metern gerechnet. Die Streckenlasten dürfen in N/mm, N/m, kN/m oder lbf/ft eingegeben werden, die Länge in mm, cm, m, km oder Zoll und die Resultierende in N, kN, lbf oder kip. Nützlich zur Kontrolle: kN/m mal m ergibt kN – passen die Einheiten nicht zu einer Kraft, ist eine der Eingaben keine echte Streckenlast.
Auflagerkräfte von Trägern unter Eigengewicht, Schnee- oder Nutzlast; Wasserdruck auf Behälter- und Staumauerwände, der linear mit der Tiefe zunimmt; Erddruck auf Stützwände; Winddruck auf Fassaden und Schilder; Lastermittlung für Konsolen, Schienen und Kranbahnen; Umrechnung einer Flächenlast auf einen Träger über die Lasteinzugsbreite.
Vorausgesetzt wird ein geradliniger Lastverlauf zwischen den Randordinaten und eine über die gesamte Länge gleichgerichtete Last. Die Resultierende ersetzt die verteilte Last nur in der Starrkörperstatik – also für das Gleichgewicht des Gesamtsystems und für Schnittgrößen außerhalb des belasteten Bereichs. Innerhalb des belasteten Bereichs ist das unzulässig, weil Querkraft- und Momentenverlauf dort von der echten Verteilung abhängen; dasselbe gilt für Durchbiegungen. Nicht abgedeckt sind nichtlineare Verläufe wie parabolische oder abgetreppte Lasten, Lasten mit Vorzeichenwechsel innerhalb der Länge sowie Flächen- und Volumenlasten, die zuvor auf eine Linienlast umgerechnet werden müssen.
Typischer Fehler: Der häufigste Fehler ist, die Gesamtkraft als Streckenlast einzugeben oder umgekehrt – eine Verwechslung, die sich an den Einheiten erkennen lässt: q wird in kN/m angegeben, R in kN. Zweitens wird oft die Trägerlänge statt der belasteten Länge eingesetzt, wenn die Last nur einen Teil des Trägers bedeckt. Drittens wird bei der Dreieckslast gern mit der Spitzenordinate mal Länge gerechnet, was die Resultierende verdoppelt; richtig ist die halbe Fläche. Und viertens wird die Resultierende zur Berechnung von Momenten innerhalb des belasteten Bereichs benutzt – dort liefert sie ein falsches Ergebnis.
Auflagerkräfte von Trägern unter Eigengewicht, Schnee- oder Nutzlast; Wasserdruck auf Behälter- und Staumauerwände, der linear mit der Tiefe zunimmt; Erddruck auf Stützwände; Winddruck auf Fassaden und Schilder; Lastermittlung für Konsolen, Schienen und Kranbahnen; Umrechnung einer Flächenlast auf einen Träger über die Lasteinzugsbreite.
q₁ ist die Streckenlast am Anfang, q₂ die am Ende des belasteten Bereichs, beide als Kraft je Länge. Für eine Gleichlast setzt man q₁ = q₂, für eine bei null beginnende Dreieckslast q₁ = 0. l ist die Länge des belasteten Bereichs, nicht die Trägerlänge. Herkunft der Lastordinaten: Eigengewicht je Meter aus Profiltabelle und Dichte, Flächenlast mal Lasteinzugsbreite, oder Flüssigkeitsdruck mal Wandbreite.
Vorausgesetzt wird ein geradliniger Lastverlauf zwischen den Randordinaten und eine über die gesamte Länge gleichgerichtete Last. Die Resultierende ersetzt die verteilte Last nur in der Starrkörperstatik – also für das Gleichgewicht des Gesamtsystems und für Schnittgrößen außerhalb des belasteten Bereichs. Innerhalb des belasteten Bereichs ist das unzulässig, weil Querkraft- und Momentenverlauf dort von der echten Verteilung abhängen; dasselbe gilt für Durchbiegungen. Nicht abgedeckt sind nichtlineare Verläufe wie parabolische oder abgetreppte Lasten, Lasten mit Vorzeichenwechsel innerhalb der Länge sowie Flächen- und Volumenlasten, die zuvor auf eine Linienlast umgerechnet werden müssen.