Zwei Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt setzen sich vektoriell zu einer Resultierenden zusammen. Berechne deren Betrag aus F₁, F₂ und dem Zwischenwinkel α nach dem Kosinussatz am Kräftedreieck – oder umgekehrt eine Einzelkraft beziehungsweise den Winkel aus der bekannten Resultierenden.
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Zwei Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt setzen sich vektoriell zu einer Resultierenden zusammen. Berechne deren Betrag aus F₁, F₂ und dem Zwischenwinkel α nach dem Kosinussatz am Kräftedreieck – oder umgekehrt eine Einzelkraft beziehungsweise den Winkel aus der bekannten Resultierenden.
Zwei Kräfte F₁ = 12 kN und F₂ = 8 kN schließen einen Zwischenwinkel von α = 60° ein. Der Kosinussatz liefert R = √(12² + 8² + 2·12·8·cos 60°) = √(144 + 64 + 96) = √304 ≈ 17,44 kN. Die einfache Addition hätte 20 kN ergeben, also 15 % zu viel. Zur Kontrolle der Grenzfälle: bei α = 0° wird R = 20 kN, bei α = 90° ist R = √(144+64) = 14,42 kN und bei α = 180° bleibt R = 12 − 8 = 4 kN.
Gilt für zwei Kräfte einer zentralen (ebenen) Kräftegruppe, also mit gemeinsamem Angriffspunkt beziehungsweise sich in einem Punkt schneidenden Wirkungslinien. Berechnet wird ausschließlich der Betrag der Resultierenden; die Richtung folgt aus dem Sinussatz sin β = F₁·sin α/R und ist nicht Teil des Ergebniswerts. Nicht erfasst sind parallele Kräfte ohne gemeinsamen Schnittpunkt, die zu einem Kräftepaar mit Moment führen, mehr als zwei Kräfte (dort ist die komponentenweise Addition zweckmäßiger) sowie räumliche Kräftegruppen. Beim Umstellen auf eine Einzelkraft ist nur die physikalisch sinnvolle, positive Lösung der quadratischen Gleichung ausgewiesen.
Zwei Kräfte, die an einem Punkt angreifen, ergeben zusammen nicht die Summe ihrer Beträge, sondern eine Resultierende, die vom Zwischenwinkel abhängt. Der Rechner bestimmt diesen Betrag nach dem Kosinussatz und lässt sich auch nach einer Einzelkraft oder dem Zwischenwinkel umstellen.
Kräfte sind Vektoren: Sie haben Betrag und Richtung. Nach dem Satz vom Parallelogramm der Kräfte setzen sich zwei Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt zu einer Resultierenden R zusammen, die der Diagonale des von ihnen aufgespannten Parallelogramms entspricht. Zeichnet man nur die Hälfte davon, entsteht das Kräftedreieck, auf das der Kosinussatz angewendet werden kann: R = √(F₁² + F₂² + 2·F₁·F₂·cos α). Die Resultierende ersetzt beide Kräfte in ihrer Wirkung vollständig – sie ist statisch äquivalent.
Zwei Personen ziehen ein Boot an zwei Seilen. Ziehen beide in dieselbe Richtung, addieren sich ihre Kräfte. Ziehen sie im rechten Winkel zueinander, kommt deutlich weniger heraus als die Summe – ein Teil der Anstrengung hebt sich gegenseitig auf. Und ziehen sie genau gegeneinander, bleibt nur die Differenz. Der Zwischenwinkel entscheidet also, wie viel von der aufgewendeten Kraft überhaupt ankommt.
R = √(F₁² + F₂² + 2·F₁·F₂·cos α)
Betrag: R = √(F₁² + F₂² + 2·F₁·F₂·cos α)Richtung gegen F₂: sin β = F₁·sin α/RGleichgerichtet (α = 0°): R = F₁ + F₂Rechtwinklig (α = 90°): R = √(F₁² + F₂²)Entgegengesetzt (α = 180°): R = |F₁ − F₂|Gültigkeitsband: |F₁ − F₂| ≤ R ≤ F₁ + F₂| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Resultierende R | Der Betrag der resultierenden Kraft, die beide Einzelkräfte in ihrer Wirkung genau ersetzt. Sie liegt stets zwischen der Differenz |F₁−F₂| (entgegengesetzte Kräfte, α = 180°) und der Summe F₁+F₂ (gleichgerichtete Kräfte, α = 0°). Achtung: Die Resultierende ist nie einfach die Summe der Beträge, solange die Kräfte nicht exakt gleichgerichtet sind – ein sehr häufiger Denkfehler bei Lastannahmen. |
| Kraft F₁ | Der Betrag der ersten Kraft, immer positiv eingegeben. Die Richtung steckt vollständig im Zwischenwinkel α, nicht im Vorzeichen. Beide Kräfte müssen einen gemeinsamen Angriffspunkt haben beziehungsweise ihre Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden – nur dann bilden sie eine zentrale Kräftegruppe ohne zusätzliches Moment. |
| Kraft F₂ | Der Betrag der zweiten Kraft, ebenfalls positiv eingegeben. Die Reihenfolge von F₁ und F₂ ist für den Betrag der Resultierenden beliebig, weil die Formel in beiden symmetrisch ist; für die Richtung der Resultierenden ist sie es nicht. |
| Zwischenwinkel α | Der Winkel zwischen den Wirkungslinien der beiden Kräfte, gemessen so, dass α = 0° gleichgerichtete Kräfte bedeutet (dann addieren sich die Beträge) und α = 180° genau entgegengesetzte Kräfte (dann subtrahieren sie sich). Bei α = 90° gilt der Satz des Pythagoras. Woher: aus der Zeichnung, der Geometrie der Anschlagpunkte oder aus gemessenen Richtungswinkeln als deren Differenz. |
F₁ und F₂ sind die Beträge der beiden Kräfte, immer positiv eingegeben; die Richtung steckt vollständig im Zwischenwinkel und nicht im Vorzeichen. α ist der Winkel zwischen den beiden Wirkungslinien, gemessen so, dass α = 0° gleichgerichtete Kräfte bedeutet. Woher: aus der Zeichnung, aus der Geometrie der Anschlagpunkte oder als Differenz zweier gemessener Richtungswinkel.
Beide Kraftbeträge eintragen und den Zwischenwinkel bestimmen. Wichtig ist die Winkeldefinition: Wird α von der gemeinsamen Richtung aus gemessen, sind gleichgerichtete Kräfte α = 0°. Liegen stattdessen Richtungswinkel gegen eine Bezugsachse vor, ist α deren Differenz. Als Plausibilitätskontrolle prüfen, ob das Ergebnis zwischen |F₁−F₂| und F₁+F₂ liegt – außerhalb dieses Bandes kann keine Resultierende zweier Kräfte liegen. Für die Richtung der Resultierenden ergänzend den Sinussatz sin β = F₁·sin α/R auswerten.
Zwei Kräfte F₁ = 12 kN und F₂ = 8 kN schließen α = 60° ein. Der Kosinussatz liefert R = √(12² + 8² + 2·12·8·cos 60°) = √(144 + 64 + 96) = √304 ≈ 17,44 kN. Wer stattdessen einfach addiert hätte, käme auf 20 kN und damit 15 % zu hoch – bei einer Lastannahme wäre das eine unnötig teure Überdimensionierung, im umgekehrten Fall eine unsichere. Die Grenzfälle bestätigen die Formel: α = 0° ergibt 20 kN, α = 90° ergibt √(144+64) = 14,42 kN (Pythagoras), α = 180° ergibt 12 − 8 = 4 kN.
Die Resultierende liegt immer zwischen |F₁−F₂| und F₁+F₂. Bis etwa α = 30° ist der Unterschied zur einfachen Summe klein (unter 4 %), ab α = 60° wird er deutlich, und bei α = 120° ist die Resultierende bereits kleiner als die größere Einzelkraft. Praktisch heißt das: Je stärker zwei Kräfte auseinanderlaufen, desto mehr Kraft wird aufgewendet, ohne dass sie in der Resultierenden ankommt – der Rest belastet die Struktur als sich gegenseitig aufhebender Anteil. Genau deshalb sind flache Anschlagwinkel bei Hebezeugen so ungünstig.
Intern wird in Newton und Radiant gerechnet. Die Kräfte dürfen in N, kN, lbf oder kip eingegeben werden, der Winkel in Grad oder Radiant. Da alle drei Kräfte in derselben Gleichung stehen, ist das Ergebnis vom gewählten Krafteinheitensystem unabhängig; Winkel in Grad werden automatisch in Radiant umgerechnet.
Zusammenfassen zweier Seil-, Zylinder- oder Federkräfte an einem Knoten; Lastannahmen an Ösen, Augenschrauben und Anschlagpunkten; Auflagerkräfte aus zwei schräg angreifenden Lasten; Umlenkkräfte an Rollen und Umlenkblechen; Kontrolle grafischer Krafteckkonstruktionen; Rückrechnung einer unbekannten Einzelkraft aus einer gemessenen Gesamtkraft.
Gilt für zwei Kräfte einer zentralen, ebenen Kräftegruppe – sie müssen einen gemeinsamen Angriffspunkt haben oder ihre Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden. Berechnet wird nur der Betrag; die Richtung der Resultierenden ist nicht Teil des Ergebnisses. Nicht abgedeckt sind parallele Kräfte ohne Schnittpunkt, die ein Kräftepaar mit Moment bilden, mehr als zwei Kräfte (dort ist die komponentenweise Addition über Σ Fx und Σ Fy zweckmäßiger) sowie räumliche Kräftegruppen. Beim Umstellen auf eine Einzelkraft hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln; ausgewiesen wird nur die positive, physikalisch sinnvolle.
Typischer Fehler: Der mit Abstand häufigste Fehler ist die einfache Addition der Beträge – zulässig ist sie nur bei exakt gleichgerichteten Kräften. Zweithäufig ist die falsche Winkeldefinition: Wird α als Winkel zwischen den Kräften statt als Differenz von Richtungswinkeln verstanden (oder umgekehrt), kippt das Vorzeichen des Kosinus-Terms und das Ergebnis liegt deutlich falsch. Ein Kontrollblick hilft: bei α = 90° muss genau der Pythagoras herauskommen. Schließlich darf die Formel nicht auf parallele, nicht schneidende Kräfte angewendet werden – dort entsteht zusätzlich ein Moment, das die Resultierende allein nicht beschreibt.
Zusammenfassen zweier Seil-, Zylinder- oder Federkräfte an einem Knoten; Lastannahmen an Ösen, Augenschrauben und Anschlagpunkten; Auflagerkräfte aus zwei schräg angreifenden Lasten; Umlenkkräfte an Rollen und Umlenkblechen; Kontrolle grafischer Krafteckkonstruktionen; Rückrechnung einer unbekannten Einzelkraft aus einer gemessenen Gesamtkraft.
F₁ und F₂ sind die Beträge der beiden Kräfte, immer positiv eingegeben; die Richtung steckt vollständig im Zwischenwinkel und nicht im Vorzeichen. α ist der Winkel zwischen den beiden Wirkungslinien, gemessen so, dass α = 0° gleichgerichtete Kräfte bedeutet. Woher: aus der Zeichnung, aus der Geometrie der Anschlagpunkte oder als Differenz zweier gemessener Richtungswinkel.
Gilt für zwei Kräfte einer zentralen, ebenen Kräftegruppe – sie müssen einen gemeinsamen Angriffspunkt haben oder ihre Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden. Berechnet wird nur der Betrag; die Richtung der Resultierenden ist nicht Teil des Ergebnisses. Nicht abgedeckt sind parallele Kräfte ohne Schnittpunkt, die ein Kräftepaar mit Moment bilden, mehr als zwei Kräfte (dort ist die komponentenweise Addition über Σ Fx und Σ Fy zweckmäßiger) sowie räumliche Kräftegruppen. Beim Umstellen auf eine Einzelkraft hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln; ausgewiesen wird nur die positive, physikalisch sinnvolle.