Beim Stoß bleibt der Impuls erhalten, die kinetische Energie dagegen nur im vollkommen elastischen Grenzfall. Berechne, wie viel Bewegungsenergie beim geraden zentrischen Stoß verloren geht und in Verformung, Wärme und Schall übergeht. Beim Umformen, Hämmern und Rammen ist genau dieser Verlust die eigentlich nutzbare Arbeit.
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Beim Stoß bleibt der Impuls erhalten, die kinetische Energie dagegen nur im vollkommen elastischen Grenzfall. Berechne, wie viel Bewegungsenergie beim geraden zentrischen Stoß verloren geht und in Verformung, Wärme und Schall übergeht. Beim Umformen, Hämmern und Rammen ist genau dieser Verlust die eigentlich nutzbare Arbeit.
Ein Körper mit m₁ = 2 kg und v₁ = 5 m/s trifft auf einen entgegenkommenden mit m₂ = 3 kg und v₂ = −1 m/s. Die Annäherungsgeschwindigkeit beträgt v₁ − v₂ = 6 m/s, die reduzierte Masse m₁m₂/(m₁+m₂) = 6/5 = 1,2 kg. Bei k = 0,6 folgt ΔT = ½·(1−0,36)·1,2 kg·36 m²/s² = ½·0,64·43,2 J = 13,824 J. Im vollkommen plastischen Grenzfall k = 0 wären es 21,6 J, also der volle Betrag, und im vollkommen elastischen Fall k = 1 genau null. Die gesamte Bewegungsenergie vor dem Stoß ist ½·2·25 + ½·3·1 = 26,5 J – bei k = 0,6 gehen also gut die Hälfte davon verloren.
Gerader zentrischer Stoß: Die Schwerpunkte beider Körper bewegen sich auf einer gemeinsamen Geraden senkrecht zur Berührungsebene, sodass die Bewegung eindimensional bleibt. Äußere Kräfte werden während der kurzen Stoßdauer vernachlässigt. Die Stoßzahl wird als bekannt und konstant vorausgesetzt; in Wirklichkeit sinkt sie mit steigender Stoßgeschwindigkeit und ist keine Werkstoffkonstante. Der Rechner sagt, wie viel Energie verloren geht, aber nicht, wohin sie im Einzelnen fließt: Die Aufteilung auf plastische Verformung, Wärme, Schall und Schwingungen hängt von Werkstoff und Geometrie ab und ist nicht Teil des Modells. Ebenfalls nicht enthalten sind der schiefe und der exzentrische Stoß, Rotation und Drehimpuls, Reibung in der Berührfläche, der zeitliche Verlauf und die Höhe der Stoßkraft sowie Spannungswellen im Werkstoff.
Bei jedem Stoß bleibt der Impuls erhalten – die Bewegungsenergie dagegen nur im idealen elastischen Grenzfall. Der Rechner bestimmt, wie viel kinetische Energie beim geraden zentrischen Stoß verloren geht, und lässt sich umstellen, um aus einem gemessenen Verlust auf die Stoßzahl zu schließen.
Kinetische Energie ist Bewegungsenergie, in der Mechanik üblicherweise mit T bezeichnet; das Zeichen Δ (Delta) steht für eine Differenz. ΔT ist also die Differenz der Bewegungsenergien vor und nach dem Stoß. Aus dem Impulserhaltungssatz und der Stoßzahl k folgt dafür der geschlossene Ausdruck ΔT = ½(1−k²)·m₁m₂/(m₁+m₂)·(v₁−v₂)². Zwei Größen darin verdienen einen eigenen Namen: v₁ − v₂ ist die Annäherungsgeschwindigkeit, mit der sich die Körper vor dem Stoß aufeinander zu bewegen, und m₁m₂/(m₁+m₂) ist die reduzierte Masse – die für den Stoß wirksame Ersatzmasse des Zweikörpersystems.
Ein Hammerschlag auf ein glühendes Werkstück verformt es, ein Hammerschlag auf eine Stahlkugel lässt diese zurückprallen. In beiden Fällen ist die Energie des Hammers dieselbe – nur wird sie im ersten Fall fast vollständig in Verformung umgesetzt und im zweiten fast vollständig zurückgegeben. Der Energieverlust ist also kein Mangel, sondern beim Umformen genau das Ziel.
ΔT = ½ · (1 − k²) · m₁·m₂/(m₁+m₂) · (v₁ − v₂)²
Energieverlust: ΔT = ½·(1−k²)·m₁m₂/(m₁+m₂)·(v₁−v₂)²Reduzierte Masse: mred = m₁m₂/(m₁+m₂)Annäherungsgeschwindigkeit: Δv = v₁ − v₂Vollkommen plastisch (k = 0): ΔT = ½·mred·Δv², der größtmögliche VerlustVollkommen elastisch (k = 1): ΔT = 0Stoßzahl aus gemessenem Verlust: k = √(1 − 2ΔT/(mred·Δv²))Stoßzahl aus dem Rücksprungversuch: k = √(h/H)| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Energieverlust ΔT | Die beim Stoß verlorene kinetische Energie, also die Differenz der Bewegungsenergien vor und nach dem Stoß. Das Zeichen Δ (Delta) steht für eine Differenz, T ist das in der Mechanik übliche Symbol für kinetische Energie. Diese Energie verschwindet nicht, sondern wird in plastische Verformung, Wärme, Schall und Schwingungen umgewandelt. Beim Schmieden, Nieten und Rammen ist sie der erwünschte Nutzanteil, bei Puffern und Anschlägen die gewollte Dämpfung, bei einem Fahrzeugaufprall das Maß für die Deformation. |
| Masse m₁ | Die Masse des ersten Körpers, etwa des Hammers, des Rammbären oder des auftreffenden Fahrzeugs. Nur das Produkt und die Summe beider Massen gehen ein; der Ausdruck m₁m₂/(m₁+m₂) heißt reduzierte Masse und beschreibt die für den Stoß wirksame Ersatzmasse des Zweikörpersystems. |
| Masse m₂ | Die Masse des zweiten Körpers, etwa des Werkstücks, des Pfahls oder des getroffenen Fahrzeugs. Trifft ein Körper auf eine sehr viel größere ruhende Masse wie eine Wand oder ein Fundament, nähert sich die reduzierte Masse dem Wert m₁ – der Energieverlust wird dann von der kleineren Masse allein bestimmt. |
| Geschwindigkeit v₁ vor dem Stoß | Die Geschwindigkeit des ersten Körpers unmittelbar vor dem Stoß, mit Vorzeichen bezogen auf eine zuvor festgelegte positive Richtung. Es geht nur die Differenz v₁ − v₂ ein, die Annäherungsgeschwindigkeit, und diese quadratisch: doppelte Annäherungsgeschwindigkeit bedeutet den vierfachen Energieverlust. |
| Geschwindigkeit v₂ vor dem Stoß | Die Geschwindigkeit des zweiten Körpers unmittelbar vor dem Stoß, mit Vorzeichen in derselben positiven Richtung. Ein ruhender Körper hat v₂ = 0, ein entgegenkommender ein negatives Vorzeichen. Weil nur das Quadrat der Differenz eingeht, ist das Vorzeichen der Differenz selbst gleichgültig – ihre Größe dagegen entscheidend. |
| Stoßzahl k | Die Stoßzahl gibt an, welcher Anteil der Annäherungsgeschwindigkeit als Trennungsgeschwindigkeit zurückkommt, mit 0 ≤ k ≤ 1. k = 0 ist der vollkommen plastische Stoß mit dem größtmöglichen Energieverlust, k = 1 der vollkommen elastische Stoß ohne jeden Verlust. Woher: aus einem Rücksprungversuch über k = √(h/H) mit Fallhöhe H und Rücksprunghöhe h. Richtwerte: Stahl auf Stahl etwa 0,6 bis 0,8, Holz etwa 0,5, Blei und Knetmasse nahe 0. Weil (1−k²) eingeht, vernichtet schon k = 0,7 etwa die Hälfte der verfügbaren Stoßenergie. |
m₁ und m₂ sind die beiden Massen, etwa Hammer und Werkstück oder Rammbär und Pfahl. v₁ und v₂ sind die Geschwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß, jeweils mit Vorzeichen bezogen auf eine zuvor festgelegte positive Richtung; ein ruhender Körper hat die Geschwindigkeit null. k ist die Stoßzahl zwischen 0 und 1, meist aus einem Rücksprungversuch über k = √(h/H) mit Fallhöhe H und Rücksprunghöhe h.
Eine positive Richtung festlegen und beide Anfangsgeschwindigkeiten konsequent darauf beziehen. Massen und Stoßzahl eintragen; das Ergebnis ist die verlorene Bewegungsenergie. Für die Umkehrung – die Stoßzahl aus einem gemessenen Energieverlust, etwa aus der Verformungsarbeit eines Stauchversuchs – die Zielgröße k wählen. Zur Einordnung lohnt der Vergleich mit der gesamten Bewegungsenergie vor dem Stoß, also ½m₁v₁² + ½m₂v₂²: Der Anteil des Verlusts daran zeigt, wie viel des Energieeinsatzes tatsächlich in den Prozess geht.
m₁ = 2 kg mit v₁ = 5 m/s trifft auf m₂ = 3 kg mit v₂ = −1 m/s, also einen entgegenkommenden Körper. Die Annäherungsgeschwindigkeit ist v₁ − v₂ = 6 m/s, die reduzierte Masse 2·3/(2+3) = 1,2 kg. Bei k = 0,6 ergibt sich ΔT = ½·(1 − 0,6²)·1,2·6² = ½·0,64·1,2·36 = 13,824 J. Die Grenzfälle mit denselben Zahlen: vollkommen plastisch (k = 0) gehen 21,6 J verloren, vollkommen elastisch (k = 1) genau null. Die gesamte Bewegungsenergie vor dem Stoß beträgt ½·2·5² + ½·3·1² = 26,5 J – bei k = 0,6 gehen also etwa 52 Prozent davon in Verformung, Wärme und Schall.
Drei Abhängigkeiten sind entscheidend. Erstens geht die Annäherungsgeschwindigkeit quadratisch ein: doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfachen Verlust – deshalb wirkt beim Hämmern die Schlaggeschwindigkeit viel stärker als die Hammermasse. Zweitens steht die Stoßzahl als (1−k²) im Ausdruck, also nicht linear: schon k = 0,7 vernichtet etwa die Hälfte der Stoßenergie, und erst nahe k = 1 wird der Verlust wirklich klein. Drittens begrenzt die reduzierte Masse den Verlust: Sie ist immer kleiner als die kleinere der beiden Massen, weshalb ein leichter Hammer auf ein schweres Werkstück nie mehr Energie umsetzen kann als seine eigene Bewegungsenergie.
Intern wird in Joule, Kilogramm, Metern und Sekunden gerechnet. Die Energie darf in J, kJ, MJ, mJ, µJ, N·mm, Wh, kWh oder ft·lbf eingegeben werden, die Massen in mg, g, kg, t, oz oder lb und die Geschwindigkeiten in m/s, km/h, ft/s, mph, m/min oder mm/min. Beide Massen müssen in derselben Einheit stehen. Die Stoßzahl ist dimensionslos und wird als Dezimalzahl eingegeben, nicht in Prozent.
Schmiede- und Umformhämmer, bei denen ein möglichst kleiner k-Wert die Umformarbeit maximiert; Rammen und Schlagbohrhämmer; Nieten und Stauchen; Auslegung von Puffern, Anschlägen und Endlagendämpfern, wo der Verlust die gewollte Dämpfung ist; Abschätzung der Deformationsenergie bei Fahrzeug- und Transportkollisionen; Beurteilung, wie viel Energie ein Prallschutz aufnehmen muss.
Gilt für den geraden zentrischen Stoß, also eine eindimensionale Bewegung entlang der gemeinsamen Schwerpunktlinie senkrecht zur Berührungsebene. Die Stoßzahl wird als bekannt und konstant vorausgesetzt, obwohl sie real mit steigender Stoßgeschwindigkeit sinkt und keine Werkstoffkonstante ist. Der Rechner sagt, wie viel Energie verloren geht, aber nicht, wohin: Die Aufteilung auf plastische Verformung, Wärme, Schall und Schwingungen hängt von Werkstoff und Geometrie ab. Nicht abgebildet sind der schiefe und der exzentrische Stoß, Rotation und Drehimpuls, Reibung in der Berührfläche, Höhe und zeitlicher Verlauf der Stoßkraft sowie Spannungswellen im Werkstoff.
Typischer Fehler: Der häufigste Fehler sind inkonsistente Vorzeichen der Anfangsgeschwindigkeiten; da die Differenz quadriert wird, fällt ein Vorzeichenfehler im Ergebnis nicht auf, verfälscht es aber erheblich. Zweitens wird der Energieverlust oft mit der gesamten Bewegungsenergie verwechselt: Verloren geht nur der Anteil, der mit der Relativbewegung zusammenhängt – die gemeinsame Schwerpunktbewegung bleibt immer erhalten, weshalb ΔT nie die volle Anfangsenergie erreicht. Drittens wird ein hoher Verlust reflexhaft als schlecht bewertet; beim Umformen, Rammen und Dämpfen ist er das Ziel. Und viertens gilt die Formel nur für den geraden zentrischen Stoß – bei schiefem oder exzentrischem Aufprall geht zusätzlich Energie in Rotation.
Schmiede- und Umformhämmer, bei denen ein möglichst kleiner k-Wert die Umformarbeit maximiert; Rammen und Schlagbohrhämmer; Nieten und Stauchen; Auslegung von Puffern, Anschlägen und Endlagendämpfern, wo der Verlust die gewollte Dämpfung ist; Abschätzung der Deformationsenergie bei Fahrzeug- und Transportkollisionen; Beurteilung, wie viel Energie ein Prallschutz aufnehmen muss.
m₁ und m₂ sind die beiden Massen, etwa Hammer und Werkstück oder Rammbär und Pfahl. v₁ und v₂ sind die Geschwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß, jeweils mit Vorzeichen bezogen auf eine zuvor festgelegte positive Richtung; ein ruhender Körper hat die Geschwindigkeit null. k ist die Stoßzahl zwischen 0 und 1, meist aus einem Rücksprungversuch über k = √(h/H) mit Fallhöhe H und Rücksprunghöhe h.
Gilt für den geraden zentrischen Stoß, also eine eindimensionale Bewegung entlang der gemeinsamen Schwerpunktlinie senkrecht zur Berührungsebene. Die Stoßzahl wird als bekannt und konstant vorausgesetzt, obwohl sie real mit steigender Stoßgeschwindigkeit sinkt und keine Werkstoffkonstante ist. Der Rechner sagt, wie viel Energie verloren geht, aber nicht, wohin: Die Aufteilung auf plastische Verformung, Wärme, Schall und Schwingungen hängt von Werkstoff und Geometrie ab. Nicht abgebildet sind der schiefe und der exzentrische Stoß, Rotation und Drehimpuls, Reibung in der Berührfläche, Höhe und zeitlicher Verlauf der Stoßkraft sowie Spannungswellen im Werkstoff.