Ein rollender Körper beschleunigt langsamer als ein gleitender, weil ein Teil der Energie in die Drehbewegung geht. Berechne die Rollbeschleunigung aus Neigungswinkel und Trägheitsverhältnis. Bemerkenswert: Das Ergebnis hängt weder von der Masse noch vom Radius ab, sondern nur von der Form – deshalb rollt jede Vollkugel gleich schnell, ob groß oder klein.
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Ein rollender Körper beschleunigt langsamer als ein gleitender, weil ein Teil der Energie in die Drehbewegung geht. Berechne die Rollbeschleunigung aus Neigungswinkel und Trägheitsverhältnis. Bemerkenswert: Das Ergebnis hängt weder von der Masse noch vom Radius ab, sondern nur von der Form – deshalb rollt jede Vollkugel gleich schnell, ob groß oder klein.
Ein Vollzylinder rollt schlupffrei eine Ebene mit α = 30° hinab. Sein Trägheitsverhältnis ist JS/(m·R²) = ½·m·R²/(m·R²) = 0,5. Damit ist a = 9,80665 m/s² · sin 30°/(1 + 0,5) = 4,903 m/s²/1,5 = 3,269 m/s², also genau zwei Drittel der Beschleunigung eines reibungsfrei gleitenden Körpers. Dieselbe Rampe liefert für eine Vollkugel mit i = 0,4 den Wert a = 4,903/1,4 = 3,502 m/s², also fünf Siebtel, und für ein dünnwandiges Rohr mit i = 1,0 nur a = 4,903/2 = 2,452 m/s², also genau die Hälfte. Lässt man Kugel, Zylinder und Rohr gleichzeitig los, kommt die Kugel zuerst unten an, dann der Zylinder, dann das Rohr – unabhängig von ihren Massen und Durchmessern.
Vorausgesetzt wird reines, schlupffreies Rollen: Die abgewickelte Strecke am Umfang entspricht genau dem Weg des Mittelpunkts, sodass Translation und Rotation über die Rollbedingung gekoppelt sind. Dafür muss die Haftreibung ausreichen; bei zu kleinem Reibwert oder zu steiler Ebene beginnt der Körper zu gleiten und die Formel gilt nicht mehr – der Rechner prüft diese Bedingung nicht, weil dafür der Haftreibwert erforderlich wäre. Ebenfalls vorausgesetzt werden ein starrer Körper mit rotationssymmetrischem Querschnitt, eine starre Ebene und ein Rollradius, der über die gesamte Bewegung konstant bleibt. Nicht enthalten sind Rollwiderstand aus der Verformung von Körper und Untergrund, Luftwiderstand, Lagerreibung bei Rädern auf Achsen, Anlaufvorgänge und Stöße sowie Körper mit außermittigem Schwerpunkt, die ungleichmäßig rollen.
Lässt man eine Kugel, einen Vollzylinder und ein Rohr gleichzeitig eine Rampe hinabrollen, kommen sie in genau dieser Reihenfolge unten an – unabhängig von ihren Massen und Durchmessern. Der Rechner bestimmt die Rollbeschleunigung und macht sichtbar, woran das liegt.
Beim reinen, schlupffreien Rollen sind Translation und Rotation gekoppelt: Die am Umfang abgewickelte Strecke entspricht genau dem Weg des Mittelpunkts. Diese Rollbedingung lautet x = R·φ und liefert abgeleitet v = R·ω. Deshalb verteilt sich die freigesetzte Lageenergie auf zwei Anteile – die Bewegungsenergie der Translation und die der Rotation. Nur der erste Anteil beschleunigt den Schwerpunkt, weshalb ein rollender Körper langsamer wird als ein gleitender. Die Aufteilung bestimmt das dimensionslose Trägheitsverhältnis JS/(m·R²), und damit ist a = g·sin α/(1 + JS/(m·R²)).
Zwei gleich schwere Rucksäcke: Beim einen sitzt alles dicht am Rücken, beim anderen hängt das Gewicht weit außen. Der zweite lässt sich schlechter in Bewegung bringen, obwohl er genauso viel wiegt. Beim rollenden Körper ist es dasselbe – ein Rohr hat seine Masse ganz außen und muss deshalb mehr Energie in die Drehung stecken als eine Vollkugel, bei der sie näher an der Achse verteilt ist.
a = g · sin α / (1 + JS/(m·R²))
Rollbeschleunigung: a = g·sin α/(1 + JS/(m·R²))Rollbedingung: x = R·φ, also v = R·ωTrägheitsverhältnis: i = JS/(m·R²)Vollzylinder (i = 0,5): a = (2/3)·g·sin αVollkugel (i = 0,4): a = (5/7)·g·sin αDünnwandiges Rohr (i = 1): a = ½·g·sin αReibungsfreies Gleiten (i = 0): a = g·sin αEndgeschwindigkeit nach der Rampenlänge L: v = √(2·a·L)| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Rollbeschleunigung a | Die Beschleunigung des Schwerpunkts längs der schiefen Ebene bei schlupffreiem Rollen. Sie ist stets kleiner als g·sin α, also kleiner als bei einem reibungsfrei gleitenden Körper, weil ein Teil der Lageenergie in Drehenergie umgesetzt wird. Da die Beschleunigung konstant ist, gelten für Geschwindigkeit und Weg die üblichen Gesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: v = a·t und s = ½·a·t². |
| Neigungswinkel α | Der Winkel der schiefen Ebene gegen die Waagerechte. Bei α = 0 rollt der Körper nicht von selbst an, bei α = 90° gibt es keine Auflagefläche mehr und der Körper fällt frei – dieser Grenzfall ist physikalisch nicht mehr sinnvoll. Woher: aus der Zeichnung, aus dem Steigungsverhältnis über α = arctan(Höhe/Länge) oder mit einer Neigungsmessung. |
| Trägheitsverhältnis JS/(m·R²) | Das dimensionslose Verhältnis aus dem Massenträgheitsmoment JS um die Schwerpunktachse, der Masse m und dem Quadrat des Rollradius R. Es beschreibt allein die Form des Körpers und ist von seiner Größe unabhängig. Richtwerte: Vollzylinder oder Scheibe 0,5, Vollkugel 0,4, Hohlkugel 2/3 ≈ 0,667, dünnwandiges Rohr oder Ring 1,0, Speichenrad mit leichter Nabe nahe 1,0. Ein Körper mit i = 0 wäre eine reibungsfrei gleitende Punktmasse ohne Drehträgheit. Je größer i, desto mehr Energie steckt in der Drehung und desto langsamer wird der Körper. |
| Erdbeschleunigung g | Die örtliche Fallbeschleunigung; auf der Erde praktisch überall nahezu gleich. Richtwert 9,81 m/s², Normwert 9,80665 m/s². Nur für sehr genaue Rechnungen oder für andere Himmelskörper anzupassen. |
α ist der Neigungswinkel der Ebene gegen die Waagerechte. Das Trägheitsverhältnis JS/(m·R²) beschreibt allein die Form des Körpers: Vollzylinder und Scheibe 0,5, Vollkugel 0,4, Hohlkugel etwa 0,667, dünnwandiges Rohr oder Ring 1,0, Speichenrad mit leichter Nabe nahe 1,0. g ist die Erdbeschleunigung mit dem Richtwert 9,81 m/s². Masse und Radius werden nicht gebraucht – sie kürzen sich heraus.
Zuerst den Körper einer Grundform zuordnen und das passende Trägheitsverhältnis ablesen; bei zusammengesetzten Rädern rechnet man JS aus den Einzelteilen und teilt anschließend durch m·R², wobei R der Rollradius am Kontakt ist und nicht etwa der Nabendurchmesser. Dann den Neigungswinkel eintragen. Weil die Beschleunigung konstant ist, folgen Geschwindigkeit und Weg unmittelbar aus v = a·t und s = ½·a·t², und für eine Rampenlänge L ergibt sich die Endgeschwindigkeit als v = √(2·a·L). Wichtig ist abschließend die Prüfung, ob die Haftreibung für schlupffreies Rollen überhaupt ausreicht – der Rechner setzt das voraus, prüft es aber nicht.
Ein Vollzylinder rollt eine Ebene mit α = 30° hinab. Sein Trägheitsverhältnis ist 0,5, denn JS = ½·m·R² geteilt durch m·R² ergibt genau ½. Damit ist a = 9,80665·sin 30°/(1+0,5) = 4,903/1,5 = 3,269 m/s². Das sind genau zwei Drittel von g·sin α. Auf derselben Rampe erreicht eine Vollkugel mit i = 0,4 den Wert 4,903/1,4 = 3,502 m/s², also fünf Siebtel, und ein dünnwandiges Rohr mit i = 1,0 nur 4,903/2 = 2,452 m/s², genau die Hälfte. Über eine Rampenlänge von 2 m ergibt das Endgeschwindigkeiten von √(2·3,269·2) = 3,62 m/s für den Zylinder und 3,13 m/s für das Rohr – ein deutlich messbarer Unterschied.
Die auffälligste Eigenschaft ist, was nicht vorkommt: weder Masse noch Radius. Eine Murmel und eine Bowlingkugel rollen dieselbe Rampe exakt gleich schnell hinab, weil sich beide Größen aus der Gleichung herauskürzen. Entscheidend ist allein die Verteilung der Masse relativ zur Achse, ausgedrückt im Trägheitsverhältnis. Die drei Grenzwerte lohnen sich zu merken: zwei Drittel für den Vollzylinder, fünf Siebtel für die Vollkugel, eine Hälfte für das dünnwandige Rohr. Und ein Körper mit i = 0 – eine reibungsfrei gleitende Punktmasse – erreicht das Maximum g·sin α, das kein rollender Körper je erreichen kann.
Intern wird in Metern, Sekunden und Radiant gerechnet. Die Beschleunigungen dürfen in m/s² oder ft/s² eingegeben werden, der Winkel in Grad oder Radiant. Das Trägheitsverhältnis ist dimensionslos und wird als Dezimalzahl eingegeben – 0,5 und nicht 50 %. Achtung bei der Bildung des Verhältnisses in Handrechnungen: JS in kg·m², m in kg und R in Metern, sonst ergibt sich keine dimensionslose Zahl.
Förderrutschen und Rollenbahnen für Rohre, Fässer und Ringe; Abschätzung von Auslaufwegen und Endgeschwindigkeiten auf geneigten Transportstrecken; Bremsen und Anschläge für rollende Lasten; Versuchsaufbauten und Demonstrationen zum Energiesatz; Auslegung von Radsätzen, bei denen leichte Felgen und schwere Naben die Beschleunigung verbessern; Abschätzung, wie schnell ein weggerolltes Bauteil wird.
Vorausgesetzt wird reines, schlupffreies Rollen, für das die Haftreibung ausreichen muss. Bei zu kleinem Reibwert oder zu steiler Ebene beginnt der Körper zu gleiten und die Formel gilt nicht mehr; der Rechner prüft diese Bedingung nicht, weil dafür der Haftreibwert nötig wäre. Weiter vorausgesetzt werden ein starrer Körper mit rotationssymmetrischem Querschnitt, eine starre Ebene und ein über die Bewegung konstanter Rollradius. Nicht abgebildet sind Rollwiderstand aus der Verformung von Körper und Untergrund, Luftwiderstand, Lagerreibung bei Rädern auf Achsen, Anlauf- und Stoßvorgänge sowie Körper mit außermittigem Schwerpunkt, die ungleichmäßig rollen.
Typischer Fehler: Der häufigste Denkfehler ist die Erwartung, ein schwererer oder größerer Körper rolle schneller – Masse und Radius kürzen sich vollständig heraus. Zweitens wird oft mit g·sin α gerechnet, also mit dem Wert für reibungsfreies Gleiten; das überschätzt die Rollbeschleunigung um 50 Prozent beim Vollzylinder und um 100 Prozent beim dünnwandigen Rohr. Drittens wird beim zusammengesetzten Rad als R der Nabendurchmesser statt des Rollradius am Kontakt eingesetzt. Und viertens wird schlupffreies Rollen unterstellt, ohne die Haftreibung zu prüfen – bei steilen Rampen oder glattem Untergrund gleitet der Körper, und dann gilt eine andere Rechnung.
Förderrutschen und Rollenbahnen für Rohre, Fässer und Ringe; Abschätzung von Auslaufwegen und Endgeschwindigkeiten auf geneigten Transportstrecken; Bremsen und Anschläge für rollende Lasten; Versuchsaufbauten und Demonstrationen zum Energiesatz; Auslegung von Radsätzen, bei denen leichte Felgen und schwere Naben die Beschleunigung verbessern; Abschätzung, wie schnell ein weggerolltes Bauteil wird.
α ist der Neigungswinkel der Ebene gegen die Waagerechte. Das Trägheitsverhältnis JS/(m·R²) beschreibt allein die Form des Körpers: Vollzylinder und Scheibe 0,5, Vollkugel 0,4, Hohlkugel etwa 0,667, dünnwandiges Rohr oder Ring 1,0, Speichenrad mit leichter Nabe nahe 1,0. g ist die Erdbeschleunigung mit dem Richtwert 9,81 m/s². Masse und Radius werden nicht gebraucht – sie kürzen sich heraus.
Vorausgesetzt wird reines, schlupffreies Rollen, für das die Haftreibung ausreichen muss. Bei zu kleinem Reibwert oder zu steiler Ebene beginnt der Körper zu gleiten und die Formel gilt nicht mehr; der Rechner prüft diese Bedingung nicht, weil dafür der Haftreibwert nötig wäre. Weiter vorausgesetzt werden ein starrer Körper mit rotationssymmetrischem Querschnitt, eine starre Ebene und ein über die Bewegung konstanter Rollradius. Nicht abgebildet sind Rollwiderstand aus der Verformung von Körper und Untergrund, Luftwiderstand, Lagerreibung bei Rädern auf Achsen, Anlauf- und Stoßvorgänge sowie Körper mit außermittigem Schwerpunkt, die ungleichmäßig rollen.