Eingaben
Masse des Körpers, Neigungswinkel der Ebene sowie Haft- und Gleitreibungszahl der Werkstoffpaarung.
Mechanik · Coulombsche Reibung
Reibung und Selbsthemmung an der schiefen Ebene
Berechne für einen Körper auf einer schiefen Ebene, ob er von selbst hält und welche Kraft nötig ist, um ihn zu halten, hinaufzuschieben oder kontrolliert hinabzulassen. Haft- und Gleitreibung werden getrennt betrachtet, sodass Losbrechkraft und Dauerkraft unterschieden werden – und der Reibungswinkel zeigt direkt, wie viel Reserve bis zum Rutschen bleibt.
Coulombsches Reibungsmodell am starren Körper: Reibung proportional zur Normalkraft, unabhängig von Fläche und Geschwindigkeit. Kippen, Rollwiderstand, Adhäsion und dynamische Effekte sind nicht bewertet. Die Reibungszahlen sind Eingaben, weil sie von Werkstoffpaarung, Oberfläche und Schmierung abhängen und erheblich streuen.
ρ₀tan α ≤ μ₀
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Kräfte und Selbsthemmung
Masse, Neigung und Reibungszahlen festlegen.
Eingaben und Rechenweg
Reibung an der schiefen Ebene
Prüfe, ob ein Körper auf einer Rampe von selbst hält, und bestimme die Kräfte zum Halten, Hinaufschieben und Hinablassen.
Zusammenhang
Die Gewichtskraft FG = m·g zerlegt sich in die Hangabtriebskraft FH = FG·sin α und die Normalkraft FN = FG·cos α. Reibung wirkt nur auf die Normalkraft, also stehen μ₀·FN im Ruhezustand und μ·FN in Bewegung zur Verfügung. Daraus folgen Haltekraft FH − μ₀·FN, Kraft hangaufwärts FH + μ·FN und Kraft beim Hinablassen FH − μ·FN. Selbsthemmung besteht genau dann, wenn tan α ≤ μ₀, also wenn der Neigungswinkel unter dem Reibungswinkel ρ₀ = arctan μ₀ bleibt.
Beispiel
100 kg auf 20° mit μ₀ = 0,2 und μ = 0,15: FH = 335,4 N, FN = 921,5 N, verfügbare Haftreibung 184,3 N. Der Reibungswinkel beträgt nur 11,3°, der Körper rutscht also und braucht 151,1 N Haltekraft; zum Hinaufschieben sind 473,6 N nötig bei 70,8 % Wirkungsgrad.
Quellen und Grenzen: Klassische Statik mit Coulombscher Reibung, g = 9,80665 m/s². Reibung proportional zur Normalkraft und unabhängig von Fläche und Geschwindigkeit; Kippen, Rollwiderstand, Adhäsion und dynamische Effekte sind nicht enthalten. Die Reibungszahlen sind Eingaben, da sie von Werkstoffpaarung, Oberfläche, Verschmutzung und Schmierung abhängen.
Reibung an der schiefen Ebene im Detail
Prüfe, ob ein Körper auf einer Rampe von selbst hält, und bestimme die Kräfte zum Halten, Hinaufschieben und Hinablassen.
Was passiert auf einer schiefen Ebene?
Auf einer geneigten Fläche zieht die Schwerkraft einen Körper nicht mehr senkrecht in die Unterlage, sondern zerlegt sich in zwei Anteile: einen hangabwärts gerichteten, der ihn zum Rutschen bringen will, und einen senkrecht auf die Fläche drückenden, der allein die Reibung erzeugt. Mit steigendem Winkel wächst der erste und schrumpft der zweite – deshalb gibt es einen ganz bestimmten Winkel, ab dem jeder Körper unabhängig von seinem Gewicht zu rutschen beginnt.
Formel und Variablen
Selbsthemmung für tan α ≤ μ₀, d. h. α ≤ ρ₀ = arctan μ₀
FH = FG · sin α · FN = FG · cos αHaltekraft: F = FH − μ₀ · FN (null bei Selbsthemmung)Hangaufwärts: F = FH + μ · FN · Losbrechen: F = FH + μ₀ · FNHinablassen: F = FH − μ · FNη = FH / (FH + μ · FN) · a = g · (sin α − μ · cos α)
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| FG, FH, FN | Gewichtskraft sowie ihre Anteile längs und senkrecht zur Ebene. |
| μ₀, μ | Haft- und Gleitreibungszahl der Werkstoffpaarung. |
| α, ρ₀ | Neigungswinkel der Ebene und der Reibungswinkel, mit dem er verglichen wird. |
| η | Wirkungsgrad der Ebene beim Hinaufschieben. |
Eingaben richtig wählen
Masse des Körpers, Neigungswinkel der Ebene sowie Haft- und Gleitreibungszahl der Werkstoffpaarung.
So benutzt du den Rechner
Trage die Masse des Körpers und die Neigung der Ebene in Grad ein. Ergänze die Haftreibungszahl für den ruhenden und die Gleitreibungszahl für den bewegten Zustand – beide aus einer für die konkrete Paarung abgesicherten Quelle. Der Rechner beantwortet zuerst die entscheidende Frage, ob überhaupt Selbsthemmung vorliegt, und gibt danach alle drei Lastfälle aus: Halten, Hinaufschieben und Hinablassen.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
100 kg auf 20° mit μ₀ = 0,2 und μ = 0,15: FH = 335,4 N, FN = 921,5 N, verfügbare Haftreibung 184,3 N. Der Reibungswinkel beträgt nur 11,3°, der Körper rutscht also und braucht 151,1 N Haltekraft; zum Hinaufschieben sind 473,6 N nötig bei 70,8 % Wirkungsgrad.
Welcher Wert ist der entscheidende?
Die wichtigste Ausgabe ist nicht eine Kraft, sondern der Vergleich von Neigungswinkel und Reibungswinkel: Er entscheidet über Halten oder Rutschen und zeigt zugleich, wie viel Reserve bleibt. Die Kräfte darunter beantworten die Anschlussfrage nach der Auslegung – wobei die Losbrechkraft für den Anlauf und die Kraft hangaufwärts für den Dauerbetrieb maßgebend ist. Der Wirkungsgrad ordnet ein, wie viel des Aufwands tatsächlich in Hubarbeit geht.
Masse in Kilogramm, Winkel in Grad, Kräfte in Newton. Die Reibungszahlen sind dimensionslos. Für g wird der Normwert 9,80665 m/s² verwendet.
Typische Anwendungen
Auslegung von Rampen und Ladeflächen, Prüfung, ob Ladung ohne zusätzliche Sicherung liegen bleibt, Abschätzung der Zugkraft einer Winde oder eines Schubzylinders auf einer geneigten Führung, Beurteilung der Selbsthemmung von Keilen und Verstellmechanismen.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Klassische Statik mit Coulombscher Reibung, g = 9,80665 m/s². Reibung proportional zur Normalkraft und unabhängig von Fläche und Geschwindigkeit; Kippen, Rollwiderstand, Adhäsion und dynamische Effekte sind nicht enthalten. Die Reibungszahlen sind Eingaben, da sie von Werkstoffpaarung, Oberfläche, Verschmutzung und Schmierung abhängen.
Typischer Fehler: Steigung in Prozent nicht als Winkel eintragen: 10 % sind 5,7° und nicht 10°, der Zusammenhang ist α = arctan(Steigung/100). Haft- und Gleitreibungszahl nicht gleichsetzen – sonst fehlt genau der Unterschied zwischen Losbrechkraft und Dauerkraft. Und nicht annehmen, ein schwererer Körper rutsche eher: Die Masse kürzt sich im Rutschkriterium vollständig heraus.
Häufige Fragen
Warum hängt die Selbsthemmung nicht von der Masse ab?
Weil Hangabtriebskraft und Reibungskraft beide proportional zur Gewichtskraft sind. Die Bedingung FG·sin α ≤ μ₀·FG·cos α lässt sich durch FG teilen und wird zu tan α ≤ μ₀. Ein Klavier und eine Münze rutschen auf derselben Fläche bei exakt demselben Winkel los.
Was ist der Reibungswinkel und warum ist er so nützlich?
Er ist der Winkel ρ₀ = arctan μ₀, bei dem die Hangabtriebskraft die verfügbare Haftreibung gerade erreicht. Weil er dieselbe Einheit hat wie die Neigung, lässt er sich unmittelbar mit ihr vergleichen: Die Differenz α zu ρ₀ ist die Reserve bis zum Rutschen, ohne dass man Kräfte ausrechnen muss.
Warum ist die Kraft beim Hinablassen manchmal negativ?
Weil dann die Gleitreibung größer ist als die Hangabtriebskraft. Der Körper bleibt von selbst stehen, statt wegzulaufen, und muss aktiv geschoben werden, damit er sich überhaupt weiter abwärts bewegt. Der Rechner weist das getrennt aus, weil sich die Richtung der erforderlichen Kraft dabei umkehrt.
Warum sinkt der Wirkungsgrad bei flachen Rampen?
Weil bei flacher Neigung die Normalkraft und damit die Reibung nahezu der vollen Gewichtskraft entspricht, während die zu leistende Hubarbeit gegen null geht. Der Wirkungsgrad FH/(FH + μ·FN) fällt deshalb mit kleiner werdendem Winkel – eine flache Rampe braucht zwar weniger Kraft, verbraucht über die längere Strecke aber mehr Energie.
Darf ich mich auf Selbsthemmung als Sicherung verlassen?
Nicht ohne zusätzliche Betrachtung. Reibungszahlen streuen stark und sinken durch Nässe, Öl, Staub oder Vibration erheblich; bei schwingender Belastung kann die Haftreibung praktisch zusammenbrechen. Für sicherheitsrelevante Rückhaltung ist eine formschlüssige Sicherung vorzusehen und die Selbsthemmung höchstens als zusätzliche Reserve zu werten.