Rechenweg
σ0 = (3+ν) · ρ · ω² · R² / 8
Fliehkräfte belasten die Vollscheibe auch ohne äußeres Moment. Im Zentrum sind Radial- und Umfangsspannung gleich und am größten.
Spannung im Mittelpunkt einer freien rotierenden Vollscheibe · σ0 = (3+ν)ρω²R²/8
Zentrums-Spannung einer rotierenden Vollscheibe berechnen
Fliehkräfte belasten die Vollscheibe auch ohne äußeres Moment. Im Zentrum sind Radial- und Umfangsspannung gleich und am größten.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Eingaben verstehen
- Spannung im Zentrum σ0 — Größte Radial- und Umfangszugspannung der idealen Vollscheibe im Mittelpunkt; für eine Bauteilfreigabe mit Werkstoffgrenzen und weiteren Lasten prüfen.
- Werkstoffdichte ρ — Masse pro Scheibenvolumen aus Werkstoffdatenblatt; Stahl liegt grob bei 7850 kg/m³. Dichte im tatsächlichen Werkstoffzustand verwenden.
- Drehzahl n — Umdrehungen pro Minute der Scheibe im betrachteten Betriebspunkt; höchste zulässige Betriebsdrehzahl und mögliche Überdrehzahl getrennt prüfen. Intern wird n in Winkelgeschwindigkeit ω umgerechnet.
- Außenradius R — Abstand von der Drehachse zum freien Scheibenrand, aus dem Außendurchmesser durch zwei teilen; 0,2 m ist ein Rechenbeispiel.
- Querkontraktionszahl ν — Dimensionslose elastische Querdehnung je Längsdehnung des Werkstoffs. Aus Werkstoffdatenblatt; für viele Metalle liegt ν grob um 0,3.
Beispiel
Stahlscheibe mit ρ = 7850 kg/m³, n = 3000 min⁻¹, R = 0,2 m und ν = 0,3: ω = 314,16 rad/s und σ0 = 12,78 MPa.
Annahmen und Grenzen
Dünne Vollscheibe konstanter Dicke, freier Außenrand, keine Bohrung, homogener isotroper linear-elastischer Werkstoff, gleichförmige Rotation. Nabe, Kerben, Bohrungen, Presssitz, Temperatur und Ermüdung fehlen; kein vollständiger Festigkeitsnachweis.
Spannung in einer rotierenden Vollscheibe verstehen
Auch ohne Antriebsmoment kann eine schnell drehende Scheibe durch ihre eigene Masse beansprucht werden. Dieser Rechner schätzt die größte Spannung im Zentrum einer idealen Vollscheibe.
Was beschreibt diese Größe?
Jeder Massenteil der Scheibe braucht eine nach innen gerichtete Kraft für seine Kreisbewegung. Dadurch entstehen innere Zugspannungen. In einer dünnen Vollscheibe mit konstanter Dicke, freiem Außenrand und ohne Bohrung sind Radial- und Umfangsspannung im Mittelpunkt gleich: σ0 = (3+ν)ρω²R²/8. ρ ist die Dichte, ν die Querkontraktionszahl, ω die Winkelgeschwindigkeit und R der Außenradius. Der Rechner wandelt die eingegebene Drehzahl n in ω = 2πn/60 um, wenn n in Umdrehungen pro Minute vorliegt.
Formel und Variablen
σ0 = (3+ν) · ρ · ω² · R² / 8
Winkelgeschwindigkeit: ω = 2πn/60 bei n in min⁻¹Zentrumsspannung: σr(0) = σt(0) = (3+ν)ρω²R²/8
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Spannung im Zentrum σ0 | Größte Radial- und Umfangszugspannung der idealen Vollscheibe im Mittelpunkt; für eine Bauteilfreigabe mit Werkstoffgrenzen und weiteren Lasten prüfen. |
| Werkstoffdichte ρ | Masse pro Scheibenvolumen aus Werkstoffdatenblatt; Stahl liegt grob bei 7850 kg/m³. Dichte im tatsächlichen Werkstoffzustand verwenden. |
| Drehzahl n | Umdrehungen pro Minute der Scheibe im betrachteten Betriebspunkt; höchste zulässige Betriebsdrehzahl und mögliche Überdrehzahl getrennt prüfen. Intern wird n in Winkelgeschwindigkeit ω umgerechnet. |
| Außenradius R | Abstand von der Drehachse zum freien Scheibenrand, aus dem Außendurchmesser durch zwei teilen; 0,2 m ist ein Rechenbeispiel. |
| Querkontraktionszahl ν | Dimensionslose elastische Querdehnung je Längsdehnung des Werkstoffs. Aus Werkstoffdatenblatt; für viele Metalle liegt ν grob um 0,3. |
Eingaben richtig wählen
ρ aus dem Werkstoffdatenblatt in kg/m³ übernehmen; Stahl liegt etwa bei 7850 kg/m³. n ist die tatsächliche oder zu prüfende Drehzahl, beispielsweise 3000 min⁻¹. R ist der Außenradius und nicht der Durchmesser. ν ist die dimensionslose Querkontraktionszahl aus Werkstoffdaten; für viele Metalle liegt sie nahe 0,3. Nur Werte 0 bis 0,5 sind in diesem vereinfachten Eingabebereich zugelassen.
So benutzt du den Rechner
Dichte, Drehzahl, Radius und Querkontraktionszahl eintragen. Die höchste relevante Drehzahl einschließlich möglicher Überdrehzahl gesondert prüfen. Den Spannungswert nicht direkt als zulässige Drehzahl lesen: weitere Lasten und Werkstoffgrenzen gehören in den vollständigen Nachweis.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Eine Vollscheibe aus Stahl mit ρ = 7850 kg/m³, n = 3000 min⁻¹, R = 0,20 m und ν = 0,30 hat ω = 314,16 rad/s. Daraus folgt σ0 = (3,3/8)·7850·314,16²·0,20² = 12,78 MPa.
Ergebnis und Einheiten verstehen
Die Spannung wächst quadratisch mit Drehzahl und Radius. Doppelte Drehzahl oder doppelter Radius vervierfacht sie. Ein Loch oder eine feste Nabe verändert die Randbedingungen grundlegend; deren Spannungen können deutlich höher sein.
Intern werden kg/m³, rad/s, Meter und Pascal verwendet. Die Eingabe in min⁻¹ wird vor dem Quadrieren in rad/s umgerechnet; die Ausgabe in MPa bedeutet Millionen Pascal.
Typische Anwendungen
Vorprüfung von rotierenden Vollscheiben, kleinen Schwungrädern und Scheibenrotoren ohne Bohrung vor detaillierter Festigkeitsberechnung.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Gültig für dünne, homogene, isotrope, linear-elastische Vollscheiben konstanter Dicke mit freiem Außenrand, ohne Loch, Nabe, Presssitz, Kerbe oder äußere Spannung. Biegung, Temperatur, Ermüdung und Bruchverhalten fehlen. Keine Freigabe für sicherheitskritische Rotoren.
Typischer Fehler: Nicht den Durchmesser für R einsetzen; das würde die Spannung vervierfachen. Drehzahl in Umdrehungen pro Minute darf nicht direkt als ω in die Gleichung eingesetzt werden. Das Modell gilt nicht für eine Kreisringscheibe mit Bohrung.
Häufige Fragen
Wofür ist „Spannung in einer rotierenden Vollscheibe“ gedacht?
Vorprüfung von rotierenden Vollscheiben, kleinen Schwungrädern und Scheibenrotoren ohne Bohrung vor detaillierter Festigkeitsberechnung.
Woher kommen die Eingabewerte?
ρ aus dem Werkstoffdatenblatt in kg/m³ übernehmen; Stahl liegt etwa bei 7850 kg/m³. n ist die tatsächliche oder zu prüfende Drehzahl, beispielsweise 3000 min⁻¹. R ist der Außenradius und nicht der Durchmesser. ν ist die dimensionslose Querkontraktionszahl aus Werkstoffdaten; für viele Metalle liegt sie nahe 0,3. Nur Werte 0 bis 0,5 sind in diesem vereinfachten Eingabebereich zugelassen.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Gültig für dünne, homogene, isotrope, linear-elastische Vollscheiben konstanter Dicke mit freiem Außenrand, ohne Loch, Nabe, Presssitz, Kerbe oder äußere Spannung. Biegung, Temperatur, Ermüdung und Bruchverhalten fehlen. Keine Freigabe für sicherheitskritische Rotoren.