Berechne die Umfangsspannung σφ = p·r/t in der Wand eines dünnwandigen zylindrischen Behälters oder Rohres unter Innendruck. Sie ist die größere der beiden Wandspannungen – genau doppelt so groß wie die Längsspannung σx = p·r/(2t) – und bestimmt daher die Wanddicke. Deshalb platzen zylindrische Kessel und Rohre in Längsrichtung und nicht am Umfang.
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Berechne die Umfangsspannung σφ = p·r/t in der Wand eines dünnwandigen zylindrischen Behälters oder Rohres unter Innendruck. Sie ist die größere der beiden Wandspannungen – genau doppelt so groß wie die Längsspannung σx = p·r/(2t) – und bestimmt daher die Wanddicke. Deshalb platzen zylindrische Kessel und Rohre in Längsrichtung und nicht am Umfang.
Ein zylindrischer Druckluftbehälter mit dem Mittelflächenradius r = 500 mm und der Wanddicke t = 8 mm steht unter p = 10 bar = 1 N/mm² Innendruck. Die Umfangsspannung ist σφ = 1 N/mm² · 500 mm / 8 mm = 62,5 N/mm², die Längsspannung nur die Hälfte davon, also 31,25 N/mm². Die Dünnwandigkeitsbedingung ist erfüllt, denn r = 500 mm ist größer als 5·t = 40 mm. Für Baustahl S235 mit einer Streckgrenze von 235 N/mm² ergibt sich gegen die Umfangsspannung eine Sicherheit von 235/62,5 ≈ 3,8.
Membrantheorie eines dünnwandigen Zylinders: Die Wandspannungen werden als über die Wanddicke konstant angenommen, und die Radialspannung senkrecht zur Wand wird vernachlässigt, weil sie in derselben Größenordnung wie der Druck liegt und damit sehr viel kleiner als die Wandspannungen ist. Gültig für r > 5·t; bei dickeren Wänden ist die Spannung über die Wanddicke ungleich verteilt und es ist eine Dickwandtheorie zu verwenden. Nicht enthalten sind die örtlich erhöhten Spannungen an Böden, Stutzen, Schweißnähten, Flanschen und Auflagern, das Eigengewicht und der Inhalt, Temperatureinfluss und Kriechen, Beulen bei Außendruck, Schwingbeanspruchung sowie die Zuschläge und Sicherheitsbeiwerte der Druckbehälterregelwerke. Das Ergebnis ist eine Nennspannung und kein Nachweis nach einem Regelwerk.
Ein zylindrischer Behälter unter Innendruck wird in seiner Wand in zwei Richtungen gleichzeitig gedehnt – und eine der beiden Spannungen ist doppelt so groß wie die andere. Der Rechner bestimmt die maßgebende Umfangsspannung und lässt sich auf Druck, Radius und Wanddicke umstellen.
In der Wand eines dünnwandigen Zylinders unter Innendruck wirken zwei Zugspannungen: die Umfangsspannung σφ, auch Tangentialspannung genannt, rings um den Zylinder herum, und die Längsspannung σx entlang der Zylinderachse. Der griechische Index φ (phi) steht dabei für die Umfangsrichtung, der lateinische Index x für die Achsrichtung. Schneidet man den Behälter senkrecht zur Achse auf, liefert das Kräftegleichgewicht σx = p·r/(2t); schneidet man ihn längs auf, folgt σφ = p·r/t. Beide Beziehungen zusammen heißen Kesselformeln. Da in beiden Schnitten aus Symmetriegründen keine Schubspannungen auftreten, sind σφ und σx zugleich die Hauptspannungen der Wand.
Eine Wiener Würstchen, das zu lange kocht, platzt immer längs auf und nie ringförmig. Genau das sagt die Kesselformel: Die Spannung rings um die Wurst herum ist doppelt so groß wie die entlang ihrer Achse, also reißt die Haut dort zuerst. Dasselbe gilt für jedes Rohr und jeden zylindrischen Kessel.
σφ = p · r / t
Umfangsspannung: σφ = p·r/tLängsspannung: σx = p·r/(2t)Verhältnis: σφ = 2·σxMit dem Durchmesser geschrieben: σφ = p·d/(2t)Erforderliche Wanddicke: t = p·r/σzulGültigkeitsbedingung für dünne Wände: r > 5·tZum Vergleich die Kugel: σ = p·r/(2t) in jeder Richtung| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Umfangsspannung σφ | Die Zugspannung, die in Umfangsrichtung („tangential“, also rings um den Zylinder herum) in der Wand wirkt und den Behälter auseinanderzureißen versucht. Der griechische Index φ (phi) steht für die Umfangsrichtung. Sie ist die größte der drei Wandspannungen und damit die maßgebende Größe für die Wanddicke. Vergleiche sie mit der zulässigen Spannung des Werkstoffs, also Streckgrenze geteilt durch die geforderte Sicherheit. Bei Außendruck wird das Ergebnis negativ und bedeutet dann eine Druckspannung. |
| Innendruck p | Der Überdruck im Behälter, also der Druck über dem Umgebungsdruck (nicht der Absolutdruck). Woher: Betriebsdruck aus dem Anlagendatenblatt, sinnvollerweise mit dem Ansprechdruck des Sicherheitsventils als Auslegungsdruck. Wirkt stattdessen Außendruck, wird p negativ eingegeben – dann entstehen Druckspannungen in der Wand, und zusätzlich ist eine Beulgefahr zu prüfen, die diese Formel nicht abdeckt. |
| Radius r der Mittelfläche | Der Radius des Zylinders, gemessen zur Mitte der Wand. Bei dünnen Wänden macht es rechnerisch kaum einen Unterschied, ob Innen-, Mittel- oder Außenradius verwendet wird; für eine saubere Rechnung ist der Mittelflächenradius r = (Innendurchmesser + Wanddicke)/2 richtig. Achtung: nicht den Durchmesser eingeben – die Kesselformel arbeitet mit dem Radius, weshalb die häufig zitierte Schreibweise σφ = p·d/(2t) mit dem Durchmesser d denselben Wert liefert. |
| Wanddicke t | Die tragende Wanddicke des Zylinders. Als tragend gilt nur das Material, das rechnerisch zur Verfügung steht: Zuschläge für Korrosion und für die zulässige Unterschreitung der Nennwanddicke sind vorher abzuziehen. Damit die Formel gilt, muss die Wand dünn sein – als Kriterium nennt die Literatur r > 5·t, also Radius größer als fünf Wanddicken. |
p ist der Innendruck als Überdruck gegenüber der Umgebung, nicht als Absolutdruck; sinnvollerweise wird der Auslegungsdruck verwendet, also meist der Ansprechdruck des Sicherheitsventils. r ist der Radius der Mittelfläche der Wand, nicht der Durchmesser. t ist die tragende Wanddicke, also die Nennwanddicke abzüglich der Zuschläge für Korrosion und Fertigungstoleranz.
Zuerst prüfen, ob der Behälter überhaupt als dünnwandig gilt: Der Radius muss größer als fünf Wanddicken sein. Dann Druck, Radius und tragende Wanddicke eintragen. Das Ergebnis mit der zulässigen Spannung des Werkstoffs vergleichen, also mit der Streckgrenze geteilt durch die geforderte Sicherheit. Umgekehrt lässt sich die Zielgröße auf die Wanddicke umstellen: Dann trägt man statt der Umfangsspannung die zulässige Spannung ein und erhält die rechnerisch erforderliche Wanddicke – zu der anschließend noch die Zuschläge addiert werden müssen.
Ein Druckluftbehälter hat den Mittelflächenradius r = 500 mm und die tragende Wanddicke t = 8 mm und steht unter p = 10 bar Innendruck. Zehn bar entsprechen 1 N/mm², also ist σφ = 1 N/mm² · 500 mm / 8 mm = 62,5 N/mm². Die Längsspannung beträgt nur die Hälfte, also 31,25 N/mm². Die Dünnwandigkeitsbedingung ist klar erfüllt, weil r = 500 mm größer als 5·t = 40 mm ist. Gegen die Streckgrenze von S235 mit 235 N/mm² ergibt sich eine Sicherheit von etwa 3,8. Zum Vergleich: Eine Kugel gleichen Radius und gleicher Wanddicke hätte in jeder Richtung nur 31,25 N/mm² – halb so viel wie der Zylinder.
Die Spannung wächst linear mit Druck und Radius und fällt umgekehrt proportional mit der Wanddicke. Ein doppelt so großer Behälter braucht bei gleichem Druck also die doppelte Wanddicke – das ist der Grund, warum große Druckbehälter so schnell schwer werden. Das Verhältnis σφ = 2·σx ist die eigentliche Kernaussage: Die Umfangsrichtung ist immer die kritische, deshalb versagen Rohre und Kessel durch Längsrisse. Konstruktiv folgt daraus, dass Längsschweißnähte eines Zylinders stärker beansprucht sind als Rundnähte und entsprechend sorgfältiger ausgeführt und geprüft werden müssen.
Intern wird in Pascal und Metern gerechnet. Der Druck darf in bar, Pa, kPa, MPa oder psi eingegeben werden, die Spannung in MPa (= N/mm²), kPa, GPa, psi oder ksi, Radius und Wanddicke in mm, cm, m oder Zoll. Nützlich für Handrechnungen: 10 bar entsprechen genau 1 N/mm², und mit r und t in Millimetern kommt die Spannung dann direkt in N/mm² heraus.
Druckluft- und Hydraulikspeicher, Rohrleitungen unter Innendruck, Silos und Tanks, Gasflaschen, Wärmetauschermäntel und Kesseltrommeln, Zylinderrohre von Hydraulikzylindern, aufgepumpte Schläuche und Reifen sowie die Kontrolle einer vorhandenen Wanddicke im Bestand.
Membrantheorie eines dünnwandigen Zylinders: Die Spannungen werden über die Wanddicke als konstant angenommen, und die Radialspannung senkrecht zur Wand wird vernachlässigt, weil sie nur in der Größenordnung des Drucks liegt und damit sehr viel kleiner als die Wandspannungen ist. Gültig für Radius größer als fünf Wanddicken; darüber hinaus ist eine Dickwandtheorie erforderlich. Nicht abgebildet sind die deutlich erhöhten Spannungen an Böden, Stutzen, Mannlöchern, Flanschen und Auflagern, Eigengewicht und Füllung, Temperatur und Kriechen, Beulen unter Außendruck, Schwingbeanspruchung sowie sämtliche Zuschläge und Sicherheitsbeiwerte der Druckbehälterregelwerke. Das Ergebnis ist eine Nennspannung und ersetzt keinen Nachweis nach einem Regelwerk.
Typischer Fehler: Der häufigste Fehler ist, den Durchmesser statt des Radius einzugeben – das verdoppelt die Spannung. Eng verwandt ist die Verwechslung der beiden gängigen Schreibweisen: σφ = p·r/t mit dem Radius und σφ = p·d/(2t) mit dem Durchmesser meinen dasselbe. Zweiter Klassiker ist die Verwechslung mit der Kugelformel σ = p·r/(2t): Eine Kugel hat bei gleichen Abmessungen nur die halbe Spannung, weshalb kugelförmige Behälter materialsparender sind. Drittens wird oft die Nennwanddicke statt der tragenden Wanddicke eingesetzt, obwohl Korrosions- und Toleranzzuschläge nicht mittragen. Und schließlich darf die Formel nicht bei Außendruck als alleinige Grundlage dienen – dort ist nicht die Spannung, sondern das Beulen maßgebend.
Druckluft- und Hydraulikspeicher, Rohrleitungen unter Innendruck, Silos und Tanks, Gasflaschen, Wärmetauschermäntel und Kesseltrommeln, Zylinderrohre von Hydraulikzylindern, aufgepumpte Schläuche und Reifen sowie die Kontrolle einer vorhandenen Wanddicke im Bestand.
p ist der Innendruck als Überdruck gegenüber der Umgebung, nicht als Absolutdruck; sinnvollerweise wird der Auslegungsdruck verwendet, also meist der Ansprechdruck des Sicherheitsventils. r ist der Radius der Mittelfläche der Wand, nicht der Durchmesser. t ist die tragende Wanddicke, also die Nennwanddicke abzüglich der Zuschläge für Korrosion und Fertigungstoleranz.
Membrantheorie eines dünnwandigen Zylinders: Die Spannungen werden über die Wanddicke als konstant angenommen, und die Radialspannung senkrecht zur Wand wird vernachlässigt, weil sie nur in der Größenordnung des Drucks liegt und damit sehr viel kleiner als die Wandspannungen ist. Gültig für Radius größer als fünf Wanddicken; darüber hinaus ist eine Dickwandtheorie erforderlich. Nicht abgebildet sind die deutlich erhöhten Spannungen an Böden, Stutzen, Mannlöchern, Flanschen und Auflagern, Eigengewicht und Füllung, Temperatur und Kriechen, Beulen unter Außendruck, Schwingbeanspruchung sowie sämtliche Zuschläge und Sicherheitsbeiwerte der Druckbehälterregelwerke. Das Ergebnis ist eine Nennspannung und ersetzt keinen Nachweis nach einem Regelwerk.