Rechenweg
σt,max = pi · (ra²+ri²)/(ra²−ri²)
In einer dicken Zylinderwand ist die Umfangsspannung nicht konstant: Am Innenrand ist sie am größten. Dieser Rechner verwendet die radiale Spannungsverteilung statt der dünnwandigen Kesselformel.
Lamé-Spannungsverteilung bei reinem Innendruck · σt(ri) = pi(ra²+ri²)/(ra²−ri²)
Maximale Umfangsspannung im dickwandigen Zylinder berechnen
In einer dicken Zylinderwand ist die Umfangsspannung nicht konstant: Am Innenrand ist sie am größten. Dieser Rechner verwendet die radiale Spannungsverteilung statt der dünnwandigen Kesselformel.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Eingaben verstehen
- Maximale Umfangsspannung σt,max — Zugspannung in Umfangsrichtung direkt an der Innenfläche. Für eine Werkstoffprüfung zusätzlich Radial- und gegebenenfalls Axialspannung sowie zulässige Spannung und Normvorgaben berücksichtigen.
- Innendruck pi — Überdruck im Zylinder gegenüber der druckfreien Außenseite im betrachteten Lastfall, nicht der absolute Atmosphärendruck. Betriebs- und Spitzendruck getrennt prüfen.
- Innenradius ri — Radius von der Zylinderachse bis zur druckbeaufschlagten Innenfläche. Aus Innendurchmesser durch zwei teilen; hier 50 mm als Beispiel.
- Außenradius ra — Radius von der Achse bis zur freien Außenfläche. Muss strikt größer als ri sein; die Wanddicke ist ra−ri.
Beispiel
Bei pi = 10 MPa, ri = 50 mm und ra = 75 mm ist (ra²+ri²)/(ra²−ri²) = (5625+2500)/(5625−2500) = 2,6. Damit beträgt die innere Umfangsspannung 26 MPa.
Annahmen und Grenzen
Langer gerader, homogener, isotroper, linear-elastischer Zylinder mit konstantem Querschnitt; rein statischer Innendruck und Außendruck null als Relativdruck. Nur der ungestörte zylindrische Mittelteil fern von Deckeln, Öffnungen und Anschlüssen wird betrachtet. Kein vollständiger Druckgeräte- oder Festigkeitsnachweis.
Umfangsspannung im dickwandigen Zylinder verstehen
Wie stark wird die Innenseite eines dickwandigen Rohrs durch Innendruck in Umfangsrichtung gedehnt? Hier zählt die Spannungsverteilung über die Wanddicke.
Was beschreibt diese Größe?
Ein Innendruck pi drückt auf die zylindrische Innenfläche. Im dickwandigen Zylinder nimmt die Umfangszugspannung von innen nach außen ab. Die Lamé-Lösung liefert am Innenradius ri den größten Umfangswert: σt,max = pi(ra²+ri²)/(ra²−ri²), wobei ra der Außenradius ist. Umfangsspannung wirkt tangential zur Kreiswand; sie allein ist noch keine vollständige Vergleichsspannung.
Formel und Variablen
σt,max = pi · (ra²+ri²)/(ra²−ri²)
Maximale Umfangsspannung innen: σt,max = pi(ra²+ri²)/(ra²−ri²)Wanddicke: t = ra−riRadialspannung am Innenrand: σr(ri) = −pi
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Maximale Umfangsspannung σt,max | Zugspannung in Umfangsrichtung direkt an der Innenfläche. Für eine Werkstoffprüfung zusätzlich Radial- und gegebenenfalls Axialspannung sowie zulässige Spannung und Normvorgaben berücksichtigen. |
| Innendruck pi | Überdruck im Zylinder gegenüber der druckfreien Außenseite im betrachteten Lastfall, nicht der absolute Atmosphärendruck. Betriebs- und Spitzendruck getrennt prüfen. |
| Innenradius ri | Radius von der Zylinderachse bis zur druckbeaufschlagten Innenfläche. Aus Innendurchmesser durch zwei teilen; hier 50 mm als Beispiel. |
| Außenradius ra | Radius von der Achse bis zur freien Außenfläche. Muss strikt größer als ri sein; die Wanddicke ist ra−ri. |
Eingaben richtig wählen
pi ist der innere Überdruck relativ zur druckfreien Außenseite, beispielsweise der höchste relevante Betriebsdruck in MPa. ri und ra sind Radien, keine Durchmesser; Zeichnungsdurchmesser jeweils halbieren. Die Wanddicke ist ra−ri und muss positiv sein. Beispielwerte 50 und 75 mm sind nur Rechenwerte, keine zulässigen Abmessungen.
So benutzt du den Rechner
Innendruck und beide Radien eingeben. Den Betriebsfall mit dem höchsten relevanten Druck getrennt prüfen. Das Ergebnis σt,max am Innenrand mit zulässigen Spannungen erst nach Ergänzung der Radial- und gegebenenfalls Axialspannung und der einschlägigen Regelwerksnachweise bewerten.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Für pi = 10 MPa, ri = 50 mm und ra = 75 mm ist der Radienfaktor (75²+50²)/(75²−50²) = 8125/3125 = 2,6. Also ist σt,max = 26 MPa am Innenrand. Die dünnwandige Schätzung pi·ri/(ra−ri) ergäbe nur 20 MPa und wäre hier unpassend.
Ergebnis und Einheiten verstehen
Der höchste Umfangszugwert liegt innen. Wird ra bei konstantem ri größer, sinkt dieser Wert. Wird die Wand sehr dünn, nähert sich die Beziehung der Kesselformel; bei dicker Wand darf die Spannung aber nicht als überall gleich angesehen werden.
Intern verwendet die Rechnung Pascal und Meter. Druck in MPa und Radien in mm werden über das Einheitenregister umgerechnet; maßgeblich ist nur das Verhältnis der quadrierten Radien.
Typische Anwendungen
Plausibilitätsrechnung für dickwandige Rohre, Zylinder und Druckgehäuse im frühen Entwurf; Vergleich von Wanddicken vor einem vollständigen Regelwerksnachweis.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Gültig für homogenen isotropen linear-elastischen Zylinder unter statischem Innendruck mit druckfreier Außenseite und ungestörtem Mittelteil. Deckel, Öffnungen, Kerben, thermische Spannungen, Ermüdung, plastische Verformung und Fertigungstoleranzen fehlen. Druckgeräte benötigen einen vollständigen Nachweis nach dem einschlägigen Regelwerk.
Typischer Fehler: Radien und Durchmesser nicht mischen. ra muss größer als ri sein. Die berechnete Umfangsspannung ist nicht mit der radialen oder axialen Spannung gleichzusetzen und sollte nicht direkt als zulässiger Druck interpretiert werden.
Häufige Fragen
Wofür ist „Umfangsspannung im dickwandigen Zylinder“ gedacht?
Plausibilitätsrechnung für dickwandige Rohre, Zylinder und Druckgehäuse im frühen Entwurf; Vergleich von Wanddicken vor einem vollständigen Regelwerksnachweis.
Woher kommen die Eingabewerte?
pi ist der innere Überdruck relativ zur druckfreien Außenseite, beispielsweise der höchste relevante Betriebsdruck in MPa. ri und ra sind Radien, keine Durchmesser; Zeichnungsdurchmesser jeweils halbieren. Die Wanddicke ist ra−ri und muss positiv sein. Beispielwerte 50 und 75 mm sind nur Rechenwerte, keine zulässigen Abmessungen.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Gültig für homogenen isotropen linear-elastischen Zylinder unter statischem Innendruck mit druckfreier Außenseite und ungestörtem Mittelteil. Deckel, Öffnungen, Kerben, thermische Spannungen, Ermüdung, plastische Verformung und Fertigungstoleranzen fehlen. Druckgeräte benötigen einen vollständigen Nachweis nach dem einschlägigen Regelwerk.