Wird die Drehachse eines rotierenden Körpers selbst geschwenkt, entsteht ein Moment senkrecht zu beiden Drehachsen, das die Lager aufnehmen müssen: das Kreiselmoment MK = J·ωK·ωF. Weil zwei Winkelgeschwindigkeiten multipliziert werden, kann es schon bei langsamer Führungsbewegung sehr große Werte erreichen und darf nicht vernachlässigt werden.
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Wird die Drehachse eines rotierenden Körpers selbst geschwenkt, entsteht ein Moment senkrecht zu beiden Drehachsen, das die Lager aufnehmen müssen: das Kreiselmoment MK = J·ωK·ωF. Weil zwei Winkelgeschwindigkeiten multipliziert werden, kann es schon bei langsamer Führungsbewegung sehr große Werte erreichen und darf nicht vernachlässigt werden.
Ein Rotor mit J = 0,5 kg·m² dreht mit ωK = 3.000 min⁻¹ um seine eigene Achse. Seine Achse wird gleichzeitig mit ωF = 0,5 rad/s geschwenkt, senkrecht zur Rotorachse. Zunächst die Eigendrehzahl umrechnen: ωK = 3.000·2π/60 = 314,16 rad/s. Damit ist MK = 0,5 kg·m² · 314,16 1/s · 0,5 1/s = 78,5 N·m. Dieses Moment müssen die Lager zusätzlich aufnehmen, und zwar mit der Führungsbewegung umlaufend. Bemerkenswert ist das Verhältnis: Die Führungsbewegung ist mit 0,5 rad/s – etwa einer Umdrehung in zwölf Sekunden – sehr langsam, erzeugt aber dennoch ein erhebliches Moment, weil sie mit der über 600-fach größeren Eigendrehzahl multipliziert wird.
Verwendet wird die in der Maschinendynamik übliche vereinfachte Form des Kreiselmoments. Sie gilt streng, wenn die Drehachsen von Eigendrehung und Führungsbewegung senkrecht aufeinander stehen, und ist darüber hinaus gerechtfertigt, solange die Führungswinkelgeschwindigkeit sehr viel kleiner als die Eigendrehzahl ist – was in der Praxis fast immer zutrifft. Stehen die Achsen schräg zueinander und ist die Führungsbewegung nicht klein, kommt ein zusätzlicher Term hinzu, der von der Differenz der Hauptträgheitsmomente und vom Achswinkel abhängt; dieser Term ist hier nicht enthalten. Vorausgesetzt werden außerdem ein symmetrischer, starrer Rotor mit konstantem Trägheitsmoment und stationäre Winkelgeschwindigkeiten. Nicht abgebildet sind Lagerelastizität, Unwucht, Eigengewicht, Drehbeschleunigungen beider Bewegungen, Nutation und Präzession als eigene Bewegungsformen sowie die Frage, wie sich das Moment auf die einzelnen Lager verteilt – dafür ist der Lagerabstand erforderlich.
Ein schnell drehender Rotor widersetzt sich dem Schwenken seiner eigenen Drehachse – und zwar mit einem Moment, das quer zu beiden Bewegungen wirkt. Dieses Kreiselmoment müssen die Lager zusätzlich aufnehmen, und es wird regelmäßig unterschätzt, weil es das Produkt zweier Winkelgeschwindigkeiten ist.
Dreht sich ein Körper mit der Winkelgeschwindigkeit ωK um seine eigene Achse und wird diese Achse gleichzeitig mit der Winkelgeschwindigkeit ωF geschwenkt – der sogenannten Führungsbewegung –, so entsteht ein Moment, dessen Vektor senkrecht auf beiden Drehachsen steht. Man nennt es Kreiselmoment. Der Index K steht für Kreisel, der Index F für Führung. Bei senkrecht zueinander stehenden Achsen gilt die in der Maschinendynamik gebräuchliche Form MK = J·ωK·ωF, wobei J das Massenträgheitsmoment des Rotors um seine eigene Achse ist. Das Kreiselmoment leistet keine Arbeit – es beschleunigt nichts, sondern belastet ausschließlich die Lagerung.
Ein laufendes Fahrradvorderrad, das man an der Achse hält und zu kippen versucht, weicht überraschend zur Seite aus und drückt merklich gegen die Hände. Je schneller es dreht und je schneller man kippt, desto stärker. Genau diese Gegenwehr ist das Kreiselmoment – im Fahrrad angenehm, in einem Lager eine zusätzliche, umlaufende Last.
MK = J · ωK · ωF
Senkrechte Drehachsen: MK = J · ωK · ωFDrehzahl in Radiant je Sekunde: ω = 2π·n/60 mit n in min⁻¹Trägheitsmoment einer Scheibe: J = ½·m·r²Lagerkraft aus dem Moment: F = MK/a mit dem Lagerabstand aVektorielle Form: der Momentenvektor steht senkrecht auf beiden Drehachsen| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Kreiselmoment MK | Das zusätzliche Moment, das die Lager des Rotors aufnehmen müssen. Sein Vektor steht stets senkrecht auf beiden Drehachsen, weshalb die Lagerkräfte mit der Führungsbewegung umlaufen und damit wechselnd belastet werden. Es kommt zu allen anderen Lagerlasten wie Eigengewicht und Unwucht hinzu und ist kein Antriebsmoment: Es leistet keine Arbeit, sondern belastet nur die Lagerung. |
| Massenträgheitsmoment J des Rotors | Das Massenträgheitsmoment des rotierenden Körpers um seine eigene Drehachse, also um die Achse, um die er sich mit ωK dreht. Das Massenträgheitsmoment beschreibt, wie stark sich ein Körper einer Drehbeschleunigung widersetzt. Woher: aus einer Formelsammlung für den Grundkörper, etwa J = ½·m·r² für eine Scheibe, oder aus einer CAD-Massenberechnung. Bei einem symmetrischen Rotor ist dies das Hauptträgheitsmoment um die Rotationsachse. |
| Eigendrehzahl ωK des Rotors | Die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich der Rotor um seine eigene Achse dreht – im Maschinenbau meist als Drehzahl in Umdrehungen je Minute angegeben. Der Index K steht für Kreisel. Intern wird auf Radiant je Sekunde umgerechnet: 3.000 min⁻¹ entsprechen 3.000·2π/60 ≈ 314,2 rad/s. Diese Umrechnung ist der häufigste Fehlerpunkt bei Handrechnungen. |
| Führungswinkelgeschwindigkeit ωF | Die Winkelgeschwindigkeit, mit der die Drehachse des Rotors selbst geschwenkt wird – die Führungsbewegung. Der Index F steht für Führung. Beispiele: die Gierrate eines Schiffes oder Fahrzeugs, mit der sich ein eingebauter Rotor mitdreht, oder die Schwenkgeschwindigkeit eines Roboterarms mit rotierendem Werkzeug. Diese Größe ist oft klein, wird aber mit der viel größeren Eigendrehzahl multipliziert – deshalb darf das Kreiselmoment auch bei langsamer Führung nicht vernachlässigt werden. |
J ist das Massenträgheitsmoment des Rotors um seine eigene Drehachse, etwa J = ½·m·r² für eine Scheibe oder aus einer CAD-Massenberechnung. ωK ist die Eigendrehzahl, meist als Drehzahl in Umdrehungen je Minute gegeben. ωF ist die Winkelgeschwindigkeit der Führungsbewegung, also die Schwenkrate der Rotorachse – beispielsweise die Gierrate eines Fahrzeugs oder Schiffes oder die Schwenkgeschwindigkeit eines Roboterarms.
Zuerst klären, welche Bewegung die Eigendrehung und welche die Führungsbewegung ist, und prüfen, ob die beiden Achsen näherungsweise senkrecht aufeinander stehen. Dann das Trägheitsmoment um die Rotorachse bestimmen und beide Winkelgeschwindigkeiten eintragen – der Rechner nimmt Umdrehungen je Minute und Radiant je Sekunde gemischt an und rechnet intern um. Das Ergebnis ist ein Moment, keine Kraft: Für die Lagerkräfte teilt man es anschließend durch den Lagerabstand und addiert das Ergebnis vorzeichenrichtig zu den übrigen Lagerlasten aus Eigengewicht und Unwucht.
Ein Rotor mit J = 0,5 kg·m² dreht mit 3.000 min⁻¹, während seine Achse mit ωF = 0,5 rad/s senkrecht dazu geschwenkt wird. Die Eigendrehzahl entspricht ωK = 3.000·2π/60 = 314,16 rad/s. Damit ist MK = 0,5 · 314,16 · 0,5 = 78,5 N·m. Aufschlussreich ist das Größenverhältnis: Die Führungsbewegung von 0,5 rad/s entspricht einer Umdrehung in etwa zwölf Sekunden, ist also sehr langsam – und erzeugt trotzdem ein Moment von fast 80 N·m, weil sie mit der über 600-fach größeren Eigendrehzahl multipliziert wird. Bei 200 mm Lagerabstand entspricht das Lagerkräften von jeweils rund 390 N zusätzlich.
Beide Winkelgeschwindigkeiten gehen linear ein, ihr Produkt also quadratisch in dem Sinn, dass eine Verdopplung beider Werte das Moment vervierfacht. Entscheidend für die Praxis ist die Asymmetrie der Größenordnungen: Die Eigendrehzahl liegt typischerweise bei einigen Tausend Umdrehungen je Minute, die Führungsbewegung oft unter einem Radiant je Sekunde. Gerade deshalb ist die Versuchung groß, die Führungsbewegung als unbedeutend abzutun – das Produkt bleibt aber erheblich. Weil der Momentenvektor mit der Führungsbewegung umläuft, sind die Lagerkräfte zudem nicht statisch, sondern wechselnd, was für die Lebensdauerrechnung der Lager wichtig ist.
Intern wird in Kilogramm, Metern, Sekunden und damit Newtonmetern gerechnet. Das Trägheitsmoment darf in kg·m² oder kg·cm² eingegeben werden, die Winkelgeschwindigkeiten unabhängig voneinander in rad/s oder min⁻¹, und das Moment in N·m, N·mm, lbf·in oder lbf·ft. Für Handrechnungen gilt: Eine Drehzahl in Umdrehungen je Minute muss mit 2π/60 in Radiant je Sekunde umgerechnet werden, sonst liegt das Ergebnis um den Faktor 9,55 falsch.
Lagerbelastung von Turbinen, Kreiselpumpen und Schwungrädern in Fahrzeugen und Schiffen bei Kurvenfahrt oder Seegang; Werkzeugspindeln an schwenkenden Bearbeitungsköpfen und Robotern; Kreiselstabilisatoren und Schiffsstabilisierungsanlagen; Trägheitsnavigation und Kreiselinstrumente; Rotoren von Hubschraubern und Drohnen bei Nick- und Gierbewegungen; Auswuchtmaschinen mit schwenkbarer Aufnahme.
Verwendet wird die vereinfachte Form des Kreiselmoments. Sie gilt streng bei senkrecht zueinander stehenden Drehachsen und ist darüber hinaus gerechtfertigt, solange die Führungswinkelgeschwindigkeit sehr viel kleiner als die Eigendrehzahl ist – der praktisch fast immer vorliegende Fall. Bei schräg stehenden Achsen und nicht kleiner Führungsbewegung kommt ein zusätzlicher Term hinzu, der von der Differenz der Hauptträgheitsmomente und vom Achswinkel abhängt; er ist hier nicht enthalten. Vorausgesetzt werden ein symmetrischer, starrer Rotor mit konstantem Trägheitsmoment und stationäre Winkelgeschwindigkeiten. Nicht abgebildet sind Lagerelastizität, Unwucht, Eigengewicht, Drehbeschleunigungen, Nutation und Präzession als eigene Bewegungsformen sowie die Aufteilung des Moments auf die einzelnen Lager, für die der Lagerabstand nötig ist.
Typischer Fehler: Der häufigste Fehler ist die fehlende Einheitenumrechnung: Wird die Drehzahl in Umdrehungen je Minute direkt eingesetzt statt in Radiant je Sekunde, ist das Ergebnis um den Faktor 2π/60 ≈ 1/9,55 falsch. Zweitens wird das Kreiselmoment gern als Antriebs- oder Bremsmoment missverstanden – es leistet keine Arbeit und muss nicht vom Antrieb aufgebracht werden, sondern belastet allein die Lager. Drittens wird die Führungsbewegung wegen ihres kleinen Zahlenwerts vernachlässigt, obwohl gerade ihr Produkt mit der hohen Eigendrehzahl das Moment erzeugt. Und viertens wird übersehen, dass die Lagerkräfte mit der Führungsbewegung umlaufen und damit wechselnd sind – für die Lagerlebensdauer ein wesentlicher Unterschied zu einer statischen Last.
Lagerbelastung von Turbinen, Kreiselpumpen und Schwungrädern in Fahrzeugen und Schiffen bei Kurvenfahrt oder Seegang; Werkzeugspindeln an schwenkenden Bearbeitungsköpfen und Robotern; Kreiselstabilisatoren und Schiffsstabilisierungsanlagen; Trägheitsnavigation und Kreiselinstrumente; Rotoren von Hubschraubern und Drohnen bei Nick- und Gierbewegungen; Auswuchtmaschinen mit schwenkbarer Aufnahme.
J ist das Massenträgheitsmoment des Rotors um seine eigene Drehachse, etwa J = ½·m·r² für eine Scheibe oder aus einer CAD-Massenberechnung. ωK ist die Eigendrehzahl, meist als Drehzahl in Umdrehungen je Minute gegeben. ωF ist die Winkelgeschwindigkeit der Führungsbewegung, also die Schwenkrate der Rotorachse – beispielsweise die Gierrate eines Fahrzeugs oder Schiffes oder die Schwenkgeschwindigkeit eines Roboterarms.
Verwendet wird die vereinfachte Form des Kreiselmoments. Sie gilt streng bei senkrecht zueinander stehenden Drehachsen und ist darüber hinaus gerechtfertigt, solange die Führungswinkelgeschwindigkeit sehr viel kleiner als die Eigendrehzahl ist – der praktisch fast immer vorliegende Fall. Bei schräg stehenden Achsen und nicht kleiner Führungsbewegung kommt ein zusätzlicher Term hinzu, der von der Differenz der Hauptträgheitsmomente und vom Achswinkel abhängt; er ist hier nicht enthalten. Vorausgesetzt werden ein symmetrischer, starrer Rotor mit konstantem Trägheitsmoment und stationäre Winkelgeschwindigkeiten. Nicht abgebildet sind Lagerelastizität, Unwucht, Eigengewicht, Drehbeschleunigungen, Nutation und Präzession als eigene Bewegungsformen sowie die Aufteilung des Moments auf die einzelnen Lager, für die der Lagerabstand nötig ist.