Eingaben
Normalspannungen σx und σy sowie Schubspannung τxy beschreiben den Zustand vollständig; ein optionaler Elementwinkel θ liefert zusätzlich die Spannung auf einer beliebig gedrehten Schnittfläche.
Statik & Festigkeit · Mehrachsige Spannung
Ebene Spannungstransformation und Mohrscher Spannungskreis
Berechne aus einem vollständigen ebenen Spannungszustand σx, σy, τxy die Hauptspannungen σ1 und σ2, die maximale ebene Schubspannung τmax, den zugehörigen Hauptachsenwinkel und optional die Spannungen bei einem beliebig gewählten Drehwinkel θ – die klassische Spannungstransformation nach dem Mohrschen Spannungskreis.
Geprüft wird ein reiner ebener (2D) Spannungszustand mit linear-elastischem Material. Eine dritte, senkrecht dazu wirkende Hauptspannung, Plastizität, Ermüdung und Stabilität werden nicht berücksichtigt.
σ1/σ2τmax
02
Hauptspannungen und Mohrscher Kreis
Spannungszustand eingeben und transformieren.
Eingaben und Rechenweg
Ebene Spannungstransformation und Mohrscher Spannungskreis
Transformiere einen vollständigen ebenen Spannungszustand (σx, σy, τxy) in Hauptspannungen, maximale Schubspannung und die Spannung bei beliebigem Drehwinkel.
Zusammenhang
Aus σx, σy, τxy folgen Mittelspannung σavg=(σx+σy)/2 und Kreisradius R=√(((σx−σy)/2)²+τxy²). Die Hauptspannungen sind σ1=σavg+R und σ2=σavg−R, die maximale ebene Schubspannung ist τmax=R. Für beliebige θ liefern die Transformationsgleichungen σx', σy' und τx'y'.
Beispiel
σx=−20 MPa, σy=90 MPa, τxy=60 MPa ergeben σavg=35 MPa, R≈81,4 MPa, also σ1≈116,4 MPa, σ2≈−46,4 MPa und τmax≈81,4 MPa bei φp≈66,3°.
Quellen und Grenzen: Klassische Festigkeitslehre (Spannungstransformation, Mohrscher Kreis); reiner ebener Spannungszustand, keine dritte Hauptspannung, kein Normnachweis.
Ebene Spannungstransformation und Mohrscher Spannungskreis im Detail
Transformiere einen vollständigen ebenen Spannungszustand (σx, σy, τxy) in Hauptspannungen, maximale Schubspannung und die Spannung bei beliebigem Drehwinkel.
Was ist ein ebener Spannungszustand?
Ein ebener Spannungszustand liegt vor, wenn die Spannung senkrecht zur betrachteten Ebene (z. B. an einer freien Bauteiloberfläche) vernachlässigbar ist. Er wird vollständig durch drei Größen beschrieben: die beiden Normalspannungen σx, σy und die Schubspannung τxy auf einem beliebig, aber fest orientierten x-/y-Element. Dreht man dieses Element, ändern sich alle drei Werte – nur bestimmte Kombinationen, wie die Summe σx+σy oder der Mohrsche Kreis als Ganzes, bleiben invariant.
Formel und Variablen
σ1,2 = (σx+σy)/2 ± √(((σx−σy)/2)² + τxy²)
τmax = √(((σx−σy)/2)² + τxy²)tan(2φp) = 2τxy/(σx−σy)σx' = (σx+σy)/2 + (σx−σy)/2·cos(2θ) + τxy·sin(2θ)
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| σx, σy | Normalspannungen auf den x- bzw. y-Flächen des ursprünglichen Elements, in MPa. |
| τxy | Schubspannung auf denselben Flächen, in MPa, nach der üblichen Vorzeichenkonvention der Festigkeitslehre. |
| σ1, σ2 | Hauptspannungen (σ1 ≥ σ2), auf der Ebene mit verschwindender Schubspannung. |
| τmax | Maximale ebene Schubspannung, gleich dem Radius des Mohrschen Kreises. |
| θ, φp | θ ist der frei wählbare Auswertungswinkel, φp der Winkel zur σ1-Hauptachse; beide gegen den Uhrzeigersinn von der x-Achse aus, in Grad. |
Eingaben richtig wählen
Normalspannungen σx und σy sowie Schubspannung τxy beschreiben den Zustand vollständig; ein optionaler Elementwinkel θ liefert zusätzlich die Spannung auf einer beliebig gedrehten Schnittfläche.
So benutzt du den Rechner
Trage die beiden Normalspannungen σx, σy und die Schubspannung τxy des betrachteten Elements ein. Ein Elementwinkel θ ist optional und liefert zusätzlich die Spannungen auf einer beliebig gedrehten Schnittfläche; für die Hauptspannungen und τmax wird er nicht benötigt.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
σx=−20 MPa, σy=90 MPa, τxy=60 MPa ergeben σavg=35 MPa, R≈81,4 MPa, also σ1≈116,4 MPa, σ2≈−46,4 MPa und τmax≈81,4 MPa bei φp≈66,3°.
Wie sind Hauptspannungen und τmax zu interpretieren?
σ1 und σ2 sind die Extremwerte, die die Normalspannung über alle möglichen Schnittebenen annehmen kann; auf den zugehörigen Ebenen verschwindet die Schubspannung. τmax ist der Radius des Mohrschen Kreises und tritt auf einer 45° dazu gedrehten Ebene auf, begleitet von der Normalspannung σavg. Für einen Festigkeitsnachweis sind meist σ1 (maßgebende Zug- oder Druckspannung) und τmax (maßgebend für Schub- oder Vergleichsspannungskriterien) relevant, nicht die ursprünglich eingegebenen σx/σy/τxy.
Alle Spannungen in MPa (oder Pa, kPa, psi, ksi); der Winkel θ in Grad, positiv gegen den Uhrzeigersinn von der x-Achse aus.
Typische Anwendungen
Auswertung eines an einem Bauteilpunkt gemessenen oder berechneten mehrachsigen Spannungszustands, etwa aus überlagerter Zug-, Biege- und Torsionsbeanspruchung, um die tatsächlich maßgebende Hauptspannung und Schubspannung zu bestimmen, statt nur die eingegebenen Komponenten zu betrachten.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Klassische Festigkeitslehre (Spannungstransformation, Mohrscher Kreis); reiner ebener Spannungszustand, keine dritte Hauptspannung, kein Normnachweis.
Typischer Fehler: τxy nicht mit der später berechneten maximalen Schubspannung τmax verwechseln – τxy ist eine Eingabe für die ursprüngliche Elementorientierung, τmax ist das Ergebnis der Transformation. Ebenso nicht σ1/σ2 mit σx/σy verwechseln: Die Hauptspannungen wirken auf einer anderen, gedrehten Schnittfläche, auf der die Schubspannung per Definition null ist.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen diesem Rechner und dem GEH-Vergleichsspannungsrechner?
Der GEH-Rechner (von Mises) fasst bereits bekannte resultierende Normal- und Schubspannungen zu einer einzigen skalaren Vergleichsspannung zusammen und beantwortet nur die Frage 'reicht die Festigkeit'. Dieser Rechner transformiert dagegen den vollständigen ebenen Spannungszustand selbst: Er liefert Hauptspannungen, deren Richtung (Hauptachsenwinkel) und die Spannungen auf beliebig gedrehten Schnittflächen – Informationen, die der GEH-Rechner nicht ausgibt.
Warum gibt es zwei Kandidatenwinkel für den Hauptachsenwinkel?
Die Gleichung tan(2φ)=2τxy/(σx−σy) hat zwei Lösungen, die 90° auseinanderliegen – eine gehört zu σ1, die andere zu σ2. Welche welche ist, wird durch Einsetzen in die Transformationsgleichung geprüft, statt eine feste Vorzeichenregel zu unterstellen.
Wie hängen Hauptachsenwinkel und Winkel der maximalen Schubspannung zusammen?
Die Ebene der maximalen ebenen Schubspannung liegt immer exakt 45° neben einer Hauptspannungsebene. Auf dieser Ebene ist die Normalspannung nicht null, sondern gleich der Mittelspannung σavg.
Was bedeutet ein negatives σ2?
σ1 und σ2 sind vorzeichenbehaftete Normalspannungen; ein negatives σ2 bedeutet Druck auf der zugehörigen Hauptspannungsebene, während σ1 gleichzeitig Zug sein kann. Das ist bei überlagerter Biege- und Torsionsbeanspruchung ein häufiger Fall.
Berücksichtigt der Rechner den räumlichen (3D) Spannungszustand?
Nein, er behandelt ausschließlich den ebenen (2D) Spannungszustand. Bei einer freien Oberfläche ist das meist zulässig, da dort keine Spannung senkrecht zur Oberfläche wirkt. Wichtig ist dabei: τmax ist die maximale Schubspannung innerhalb der betrachteten Ebene. Haben σ1 und σ2 dasselbe Vorzeichen, liegt die dritte Hauptspannung σ3 = 0 außerhalb des Intervalls [σ2, σ1], und die absolute maximale Schubspannung ist dann max(|σ1|,|σ2|)/2 – größer als der hier ausgegebene ebene Wert.