Rechenweg
f1 = λ1²/(2πL²)·√[EI/(ρA)], λ1≈3,926602
Der Balken schwingt quer zu seiner Achse; seine verteilte Eigenmasse bestimmt zusammen mit der Biegesteifigkeit die erste Eigenfrequenz.
Erste Biegeeigenfrequenz des gleichförmigen eingespannt-gelenkigen Euler-Bernoulli-Balkens
Erste Biegeeigenfrequenz eines eingespannt-gelenkigen Balkens berechnen
Der Balken schwingt quer zu seiner Achse; seine verteilte Eigenmasse bestimmt zusammen mit der Biegesteifigkeit die erste Eigenfrequenz.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Eingaben verstehen
- Erste Biegeeigenfrequenz f1 — Kleinste nichtverschwindende Eigenfrequenz in Hz; mit Betriebs- und Anregungsfrequenzen vergleichen, aber nicht als sichere Betriebsgrenze ohne weiteren Nachweis verwenden.
- Freie Balkenlänge L — Abstand zwischen eingespanntem und gelenkig geführtem Ende entlang der geraden Schwerpunktachse, aus Zeichnung oder Messung.
- Elastizitätsmodul E — Linear-elastischer Werkstoffwert aus Datenblatt; mit I bildet er die Biegesteifigkeit EI.
- Flächenträgheitsmoment I um die Biegeachse — Querschnittswert für die betrachtete seitliche Schwingungsebene aus Profiltafel oder Querschnittsrechnung.
- Werkstoffdichte ρ — Masse pro Volumen des Balkenmaterials aus Werkstoffdaten; zusammen mit A ergibt ρA die Masse je Balkenlänge.
- Querschnittsfläche A — Konstante tragende Fläche desselben Balkenquerschnitts wie I, aus Zeichnung oder Profiltabelle; ρA ist die verteilte Eigenmasse.
Beispiel
E·I=3.000 N·m², ρ·A=3 kg/m und L=1 m liefern mit λ1=3,926602 die Kreisfrequenz ω1≈487,6 rad/s und f1≈77,60 Hz. Dies entspricht dem Lehrbuchbeispiel.
Annahmen und Grenzen
Gerader prismatischer Euler-Bernoulli-Balken mit konstanter Biegesteifigkeit EI und konstanter Massebelegung ρA, kleiner ungedämpfter freier Biegeschwingung. Links ideal eingespannt (keine Querbewegung und Verdrehung), rechts ideal gelenkig/seitlich gehalten und frei drehbar. Keine angehängten Punktmassen, Schubverformung, Rotationsmassenträgheit, Vorspannung oder Dämpfung.
Erste Biegeeigenfrequenz eines Balkens verstehen
Auch ohne äußere Last kann ein angestoßener Balken quer zur Achse schwingen. Der Rechner schätzt die erste Eigenfrequenz für einen gleichförmigen Balken, der an einem Ende eingespannt und am anderen gelenkig gehalten ist.
Was beschreibt diese Größe?
Eine Biegeeigenfrequenz ist die Frequenz einer freien Schwingungsform des Balkens. Die Einspannung verhindert am linken Ende seitliche Bewegung und Verdrehung; das rechte Gelenklager verhindert die seitliche Bewegung, lässt aber Rotation zu. Die verteilte Eigenmasse je Länge ist μ=ρA mit Werkstoffdichte ρ und Querschnittsfläche A. Für konstante Biegesteifigkeit EI gilt f1=λ1²/(2πL²)·√(EI/μ). λ1≈3,926602 ist der kleinste positive Eigenwert genau dieses Lagerfalls, aus den Randbedingungen der Balken-Biegeschwingung.
Formel und Variablen
f1 = λ1²/(2πL²)·√[EI/(ρA)], λ1≈3,926602
Linienmasse: μ=ρAErste Eigenkreisfrequenz: ω1=λ1²/L²·√(EI/μ)Eigenfrequenz: f1=ω1/(2π)Eingespannt-gelenkig: λ1≈3,926602
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Erste Biegeeigenfrequenz f1 | Kleinste nichtverschwindende Eigenfrequenz in Hz; mit Betriebs- und Anregungsfrequenzen vergleichen, aber nicht als sichere Betriebsgrenze ohne weiteren Nachweis verwenden. |
| Freie Balkenlänge L | Abstand zwischen eingespanntem und gelenkig geführtem Ende entlang der geraden Schwerpunktachse, aus Zeichnung oder Messung. |
| Elastizitätsmodul E | Linear-elastischer Werkstoffwert aus Datenblatt; mit I bildet er die Biegesteifigkeit EI. |
| Flächenträgheitsmoment I um die Biegeachse | Querschnittswert für die betrachtete seitliche Schwingungsebene aus Profiltafel oder Querschnittsrechnung. |
| Werkstoffdichte ρ | Masse pro Volumen des Balkenmaterials aus Werkstoffdaten; zusammen mit A ergibt ρA die Masse je Balkenlänge. |
| Querschnittsfläche A | Konstante tragende Fläche desselben Balkenquerschnitts wie I, aus Zeichnung oder Profiltabelle; ρA ist die verteilte Eigenmasse. |
Eingaben richtig wählen
L ist die freie Länge zwischen den beiden Endbedingungen in m, aus Zeichnung oder Messung. E ist der linear-elastische Werkstoffmodul in GPa aus Datenblatt. I ist das Flächenträgheitsmoment in cm⁴ um die Achse der betrachteten Biegeschwingung; A ist die Fläche desselben Querschnitts in cm², beide aus Profiltafel oder Geometriemodell. ρ ist die Werkstoffdichte in kg/m³. Alle fünf Eingaben müssen positiv sein. f1 ist die erste Eigenfrequenz in Hz; sie dient zum Vergleich mit Anregungsfrequenzen, ist aber noch keine freigegebene Betriebsdrehzahl.
So benutzt du den Rechner
Prüfen, ob ein Balkenende tatsächlich verdrehfest und seitlich fest ist und das andere Ende seitlich geführt, aber drehbar bleibt. L, E, I, A und ρ für denselben Balken bestimmen. Ergebnis mit den bekannten Betriebsfrequenzen vergleichen und bei angehängten Bauteilen oder anderen Lagerungen ein passendes erweitertes Modell verwenden.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Bei L=1 m, E=200 GPa und I=1,5 cm⁴ beträgt EI=3.000 N·m². Für ρ=7.500 kg/m³ und A=4 cm² ist μ=3 kg/m. Daraus folgen ω1=λ1²·√(3000/3)≈487,6 rad/s und f1=ω1/(2π)≈77,60 Hz, der im lokalen Lehrbuch berechnete Fall.
Ergebnis und Einheiten verstehen
Bei unveränderter Geometrie senkt eine doppelte Balkenlänge f1 auf ein Viertel. Höheres E oder I erhöht, höhere verteilte Masse ρA senkt die Frequenz jeweils mit der Quadratwurzel. Andere Lagerungen haben andere Eigenwerte und dürfen nicht mit λ1=3,926602 eingesetzt werden.
SI-Basis: E in Pa, I in m⁴, ρ in kg/m³, A in m² und L in m. Daraus ergeben sich EI in N·m², μ=ρA in kg/m, ω in rad/s und f in Hz. Die Eingabeeinheiten werden automatisch konvertiert.
Typische Anwendungen
Resonanz-Vorabschätzung von Balken, Querträgern und schlanken Maschinengestellen mit verteilter Eigenmasse, solange die modellierte Lagerung zutrifft.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Nur gerader prismatischer Euler-Bernoulli-Balken mit konstantem EI und ρA, ideal eingespannt-gelenkiger Lagerung sowie kleiner ungedämpfter freier Schwingung. Angebaute Punktmassen, Schubverformung, Rotationsmassenträgheit, Vorspannung, elastische Lager, Dämpfung und höhere Eigenformen sind nicht enthalten. Die Eigenfrequenz allein ist kein Resonanz- oder Sicherheitsnachweis.
Typischer Fehler: Das rechte Gelenk ist seitlich gehalten und frei drehbar; ein frei auskragendes Ende wäre ein anderer Fall. A und I müssen zum selben Querschnitt gehören. ρA ist die Masse je Länge und darf nicht mit der gesamten Balkenmasse verwechselt werden.
Häufige Fragen
Wofür ist „Erste Biegeeigenfrequenz eines eingespannt-gelenkigen Balkens“ gedacht?
Resonanz-Vorabschätzung von Balken, Querträgern und schlanken Maschinengestellen mit verteilter Eigenmasse, solange die modellierte Lagerung zutrifft.
Woher kommen die Eingabewerte?
L ist die freie Länge zwischen den beiden Endbedingungen in m, aus Zeichnung oder Messung. E ist der linear-elastische Werkstoffmodul in GPa aus Datenblatt. I ist das Flächenträgheitsmoment in cm⁴ um die Achse der betrachteten Biegeschwingung; A ist die Fläche desselben Querschnitts in cm², beide aus Profiltafel oder Geometriemodell. ρ ist die Werkstoffdichte in kg/m³. Alle fünf Eingaben müssen positiv sein. f1 ist die erste Eigenfrequenz in Hz; sie dient zum Vergleich mit Anregungsfrequenzen, ist aber noch keine freigegebene Betriebsdrehzahl.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Nur gerader prismatischer Euler-Bernoulli-Balken mit konstantem EI und ρA, ideal eingespannt-gelenkiger Lagerung sowie kleiner ungedämpfter freier Schwingung. Angebaute Punktmassen, Schubverformung, Rotationsmassenträgheit, Vorspannung, elastische Lager, Dämpfung und höhere Eigenformen sind nicht enthalten. Die Eigenfrequenz allein ist kein Resonanz- oder Sicherheitsnachweis.