Rechenweg
ω′=(1+k)mlv/(J+ml²); v′=(ml²−kJ)v/(J+ml²)
Ein Massenpunkt trifft einen zunächst ruhenden starren Körper im Abstand l von dessen festem Drehpunkt A. Der Stoß kann den Körper drehen und den Massenpunkt abbremsen oder zurückprallen lassen.
Exzentrischer Stoß gegen drehbar gelagerten Körper · Drallerhaltung um A und Stoßzahl
Exzentrischen Stoß gegen einen drehbar gelagerten Körper berechnen
Ein Massenpunkt trifft einen zunächst ruhenden starren Körper im Abstand l von dessen festem Drehpunkt A. Der Stoß kann den Körper drehen und den Massenpunkt abbremsen oder zurückprallen lassen.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Eingaben verstehen
- Winkelgeschwindigkeit ω′ des gelagerten Körpers — Winkelgeschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß in rad/s; positiv in der durch den ankommenden Massenpunkt verursachten Drehrichtung. Zur Beurteilung weiterer Bewegungen oder Lagerreaktionen verwenden.
- Geschwindigkeit v′ des Stoßkörpers — Vorzeichenbehaftete Geschwindigkeit des Massenpunkts unmittelbar nach dem Stoß in m/s. Negativ bedeutet Rückprall entgegen der Anlaufrichtung.
- Masse m des Stoßkörpers — Masse des auftreffenden, als Massenpunkt modellierten Körpers in kg, aus Wägung oder Datenblatt; strikt positiv.
- Anlaufgeschwindigkeit v — Geschwindigkeit des Massenpunkts entlang der Stoßnormalen unmittelbar vor dem Auftreffen in m/s; positive Richtung zum Kontaktpunkt.
- Massenträgheitsmoment J um Drehpunkt A — Trägheitsmoment des gesamten getroffenen Körpers um die feste Drehachse durch A in kg·m², aus CAD, Wägung/Geometrie oder Versuch. Schwerpunktwert nur nach Umrechnung mit dem Satz von Steiner einsetzen.
- Hebelarm l des Stoßpunkts — Senkrechter Abstand von Drehpunkt A zur Wirkungslinie des Stoßimpulses in m. Im hier gerechneten Fall ist dies zugleich der Abstand A–Stoßpunkt entlang des Körpers; positiv.
- Stoßzahl k — Dimensionsloses Verhältnis der relativen Trenn- zur Annäherungsgeschwindigkeit am Stoßpunkt, aus einem passenden Stoßversuch; 0 bis 1.
Beispiel
m=1 kg, v=4 m/s, J=0,25 kg·m², l=0,5 m und k=0,5: Nenner J+ml²=0,5 kg·m², daher ω′=6 rad/s und v′=1 m/s. Drall vor und nach dem Stoß: jeweils 2 kg·m²/s.
Annahmen und Grenzen
Reibungsfreier kurzer Einzelstoß eines Massenpunkts entlang der Stoßnormalen auf einen zunächst ruhenden starren Körper um eine feste reibungsfreie Drehachse A. Stoßpunktgeschwindigkeit entlang der Normalen ist ω′l. Keine Stoßdauer, Lagerkraft, Verformung, Nachschwingung oder Mehrfachkontakte. Für andere Geometrien, bewegte Körper oder tangentiale Impulse gilt diese Lösung nicht.
Stoß gegen einen drehbar gelagerten Körper verstehen
Ein anfliegender kleiner Körper trifft einen größeren Körper seitlich von dessen festem Drehpunkt. Der getroffene Körper beginnt sich zu drehen; der anfliegende Körper kann weiterfliegen oder zurückprallen.
Was beschreibt diese Größe?
Der getroffene starre Körper ruht vor dem Stoß und kann nur um den festen Punkt A drehen. Der Massenpunkt m trifft im Abstand l von A entlang der Stoßnormalen auf. Der Stoßimpuls hat den Hebelarm l. Während des kurzen Stoßes bleibt der gesamte Drehimpuls (Drall) um A erhalten, weil die Lagerkraft durch A wirkt: mvl=mv′l+Jω′. Die Stoßzahl k beschreibt die relative Trennungsgeschwindigkeit am Kontaktpunkt: ω′l−v′=kv. Auflösen liefert ω′=(1+k)mlv/(J+ml²) und v′=(ml²−kJ)v/(J+ml²).
Formel und Variablen
ω′=(1+k)mlv/(J+ml²); v′=(ml²−kJ)v/(J+ml²)
Drall um A: mvl=mv′l+Jω′Stoßzahl am Kontakt: ω′l−v′=kvWinkelgeschwindigkeit: ω′=(1+k)mlv/(J+ml²)Geschwindigkeit des Massenpunkts: v′=(ml²−kJ)v/(J+ml²)
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Winkelgeschwindigkeit ω′ des gelagerten Körpers | Winkelgeschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß in rad/s; positiv in der durch den ankommenden Massenpunkt verursachten Drehrichtung. Zur Beurteilung weiterer Bewegungen oder Lagerreaktionen verwenden. |
| Geschwindigkeit v′ des Stoßkörpers | Vorzeichenbehaftete Geschwindigkeit des Massenpunkts unmittelbar nach dem Stoß in m/s. Negativ bedeutet Rückprall entgegen der Anlaufrichtung. |
| Masse m des Stoßkörpers | Masse des auftreffenden, als Massenpunkt modellierten Körpers in kg, aus Wägung oder Datenblatt; strikt positiv. |
| Anlaufgeschwindigkeit v | Geschwindigkeit des Massenpunkts entlang der Stoßnormalen unmittelbar vor dem Auftreffen in m/s; positive Richtung zum Kontaktpunkt. |
| Massenträgheitsmoment J um Drehpunkt A | Trägheitsmoment des gesamten getroffenen Körpers um die feste Drehachse durch A in kg·m², aus CAD, Wägung/Geometrie oder Versuch. Schwerpunktwert nur nach Umrechnung mit dem Satz von Steiner einsetzen. |
| Hebelarm l des Stoßpunkts | Senkrechter Abstand von Drehpunkt A zur Wirkungslinie des Stoßimpulses in m. Im hier gerechneten Fall ist dies zugleich der Abstand A–Stoßpunkt entlang des Körpers; positiv. |
| Stoßzahl k | Dimensionsloses Verhältnis der relativen Trenn- zur Annäherungsgeschwindigkeit am Stoßpunkt, aus einem passenden Stoßversuch; 0 bis 1. |
Eingaben richtig wählen
m ist die positive Masse des anfliegenden Körpers in kg (Waage oder Datenblatt). v ist seine positive Geschwindigkeit entlang der Stoßnormalen unmittelbar vor Kontakt in m/s (Messung oder Bewegungsrechnung). J ist das Massenträgheitsmoment des getroffenen Körpers um die feste Drehachse A in kg·m² (CAD, Geometrie/Masse oder Versuch), nicht automatisch der Wert um seinen Schwerpunkt. l ist der positive senkrechte Abstand von A zur Stoßkraftlinie in m (Zeichnung/Messung), hier gleich dem Abstand zum Stoßpunkt. k ist die dimensionslose Stoßzahl zwischen 0 und 1 aus einem passenden Versuch. ω′ ist die Winkelgeschwindigkeit des Körpers in rad/s; v′ die vorzeichenbehaftete Geschwindigkeit des Massenpunkts in m/s. Negative v′ bedeutet Rückprall.
So benutzt du den Rechner
Drehpunkt A und die Stoßnormale in einer Skizze markieren. Prüfen, ob die Stoßnormale im Abstand l senkrecht zum Radius zum Kontaktpunkt steht und der getroffene Körper anfangs ruht. J um A ermitteln, nicht um den Schwerpunkt; gegebenenfalls den Satz von Steiner anwenden. m, v, l, J und k eingeben. Im Auswahlfeld zuerst die Winkelgeschwindigkeit, dann die Geschwindigkeit des Stoßkörpers berechnen.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Bei m=1 kg, v=4 m/s, J=0,25 kg·m², l=0,5 m und k=0,5 ist J+ml²=0,5 kg·m². Damit ω′=1,5·1·0,5·4/0,5=6 rad/s und v′=(0,25−0,125)·4/0,5=1 m/s. Kontrolle: vorheriger Drall mvl=2 kg·m²/s, nachher mv′l+Jω′=0,5+1,5=2 kg·m²/s; relative Trennung ω′l−v′=2 m/s=k·v.
Ergebnis und Einheiten verstehen
ω′ beschreibt die Drehrichtung des getroffenen Körpers unmittelbar nach dem Stoß. Ein positives v′ heißt Weiterflug, ein negatives Rückprall. Bei k=0 bewegen sich beide Kontaktpunkte unmittelbar nach dem Stoß gleich schnell; das bedeutet nicht, dass der gesamte getroffene Körper stehen bleibt. Bei k=1 ist die relative Trennung maximal im ideal elastischen Modell.
Alle Größen werden intern als kg, m, m/s, kg·m² und rad/s verarbeitet; k ist dimensionslos. Eine gewählte alternative Einheit wird vor der Rechnung in SI umgerechnet. Der Nenner J+ml² hat die Einheit kg·m² und ist bei zulässigen positiven Eingaben größer als null.
Typische Anwendungen
Vorabschätzung für Anschlaghebel, Klappen und pendelnd gelagerte Körper, die von einem kleinen Teil normal zur Kontaktfläche getroffen werden. Für Lagerdimensionierung und spätere Bewegung sind weitere Rechnungen nötig.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Nur ein Massenpunkt gegen einen anfangs ruhenden starren Körper mit fester reibungsfreier Achse; die Stoßnormale steht senkrecht zum Radius des Stoßpunkts. Kein tangentialer Stoßimpuls, keine Reibung, kein Spin des Massenpunkts, keine bewegliche Lagerung und keine Mehrfachkontakte. Die Lagerkraft während des Stoßes kann groß sein; lineare Impulserhaltung beider Körper ist hier nicht zulässig. k ist kontakt- und geschwindigkeitsabhängig. Das Modell liefert keine Stoßkraft oder Beanspruchung.
Typischer Fehler: J um A statt um den Schwerpunkt einsetzen. l muss der Hebelarm des normalen Stoßimpulses sein; bei schrägem Radius genügt dessen Länge allein nicht. Ein negatives v′ nicht als unmögliche Geschwindigkeit verwerfen: es zeigt Rückprall. Die Drehimpulsbilanz gilt um A, nicht als lineare Impulsbilanz ohne Lagerreaktion.
Häufige Fragen
Wofür ist „Exzentrischer Stoß gegen einen drehbar gelagerten Körper“ gedacht?
Vorabschätzung für Anschlaghebel, Klappen und pendelnd gelagerte Körper, die von einem kleinen Teil normal zur Kontaktfläche getroffen werden. Für Lagerdimensionierung und spätere Bewegung sind weitere Rechnungen nötig.
Woher kommen die Eingabewerte?
m ist die positive Masse des anfliegenden Körpers in kg (Waage oder Datenblatt). v ist seine positive Geschwindigkeit entlang der Stoßnormalen unmittelbar vor Kontakt in m/s (Messung oder Bewegungsrechnung). J ist das Massenträgheitsmoment des getroffenen Körpers um die feste Drehachse A in kg·m² (CAD, Geometrie/Masse oder Versuch), nicht automatisch der Wert um seinen Schwerpunkt. l ist der positive senkrechte Abstand von A zur Stoßkraftlinie in m (Zeichnung/Messung), hier gleich dem Abstand zum Stoßpunkt. k ist die dimensionslose Stoßzahl zwischen 0 und 1 aus einem passenden Versuch. ω′ ist die Winkelgeschwindigkeit des Körpers in rad/s; v′ die vorzeichenbehaftete Geschwindigkeit des Massenpunkts in m/s. Negative v′ bedeutet Rückprall.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Nur ein Massenpunkt gegen einen anfangs ruhenden starren Körper mit fester reibungsfreier Achse; die Stoßnormale steht senkrecht zum Radius des Stoßpunkts. Kein tangentialer Stoßimpuls, keine Reibung, kein Spin des Massenpunkts, keine bewegliche Lagerung und keine Mehrfachkontakte. Die Lagerkraft während des Stoßes kann groß sein; lineare Impulserhaltung beider Körper ist hier nicht zulässig. k ist kontakt- und geschwindigkeitsabhängig. Das Modell liefert keine Stoßkraft oder Beanspruchung.