Bei einem gekrümmten Träger liegt die spannungsfreie Faser nicht mehr auf der Schwerpunktlinie; der Innenrand kann deutlich höher beansprucht sein als die geradlinige Balkenformel vermuten lässt.
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Bei einem gekrümmten Träger liegt die spannungsfreie Faser nicht mehr auf der Schwerpunktlinie; der Innenrand kann deutlich höher beansprucht sein als die geradlinige Balkenformel vermuten lässt.
Bei ρ = 100 mm, h = 100 mm, b = 20 mm, FN = 0 und Mb = 1.000 N·m ist κ = ln 3−1 = 0,098612. Innen entstehen −45,70 MPa Druck, außen +21,90 MPa Zug.
Ebener kreisbogenförmiger Balken mit rechteckigem konstantem Querschnitt, linear-elastischem Werkstoff, eben bleibenden Querschnitten und Lasten in der Krümmungsebene. ρ>h/2 ist zwingend; Querkraftschub, lokale Spannungsspitzen, plastisches Verhalten und dreidimensionale Effekte fehlen. Das Ergebnis ist eine Nennspannung, kein Tragfähigkeitsnachweis.
Ein gebogener Haken oder Ringabschnitt trägt eine Last anders als ein gerader Balken. Der Rechner zeigt die vorzeichenbehaftete Normalspannung am Innen- oder Außenrand eines gekrümmten Rechteckquerschnitts.
Die Schwerpunktlinie des unbelasteten Balkens hat den Radius ρ. Für einen Rechteckquerschnitt mit radialer Höhe h und Breite b ist A=b·h. Das Krümmungsmaß κ=(ρ/h)·ln[(ρ+h/2)/(ρ−h/2)]−1 folgt aus der über die Fläche integrierten Dehnung. Mit tangentialer Normalkraft FN und Biegemoment Mb ist die Spannung an einer Faser im Abstand y von der Schwerpunktlinie σ(y)=FN/A+Mb/(ρA)·[1+y/(κ(ρ+y))]. y=−h/2 bezeichnet den Innenrand, y=+h/2 den Außenrand. Deshalb ist der Biegeanteil über die Höhe nicht linear.
κ = (ρ/h)·ln[(ρ+h/2)/(ρ−h/2)]−1; σ(y)=FN/A+Mb/(ρA)·[1+y/(κ(ρ+y))]
Querschnittsfläche: A=b·hKrümmungsmaß: κ=(ρ/h)ln[(ρ+h/2)/(ρ−h/2)]−1Randspannung: σ(y)=FN/A+Mb/(ρA)[1+y/(κ(ρ+y))]Innenrand y=−h/2; Außenrand y=+h/2| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Normalspannung am Innenrand σi | Vorzeichenbehaftete Normalspannung an der dem Krümmungsmittelpunkt zugewandten Faser; negativ bedeutet Druck. Als Ergebnisgröße wählbar. |
| Normalspannung am Außenrand σa | Vorzeichenbehaftete Normalspannung an der vom Krümmungsmittelpunkt abgewandten Faser; positiv bedeutet Zug. Als Ergebnisgröße wählbar. |
| Krümmungsradius der Schwerpunktlinie ρ | Abstand vom Krümmungsmittelpunkt zur Schwerpunktlinie des Rechteckquerschnitts. Aus Innenradius plus halber radialer Querschnittshöhe bestimmen; muss größer als h/2 sein. |
| Radiale Querschnittshöhe h | Rechteckhöhe in Richtung des Krümmungsradius zwischen Innen- und Außenrand; aus Zeichnung messen. |
| Querschnittsbreite b | Konstante Rechteckbreite quer zur Krümmungsebene; zusammen mit h ergibt sie die Fläche A=b·h. |
| Tangentiale Normalkraft FN | Schnittkraft entlang der gekrümmten Schwerpunktlinie; Zug positiv, Druck negativ. Aus Gleichgewicht des betrachteten Lastfalls bestimmen. |
| Biegemoment Mb | Schnittmoment in der Krümmungsebene, positiv wenn es die Krümmung vergrößert und den Außenrand auf Zug beansprucht. Aus Lastfall und Schnitt bestimmen. |
ρ ist der Radius der Schwerpunktlinie in mm; aus dem Innenradius plus h/2 bestimmen. h ist die radiale Rechteckhöhe, b die Breite quer zur Krümmungsebene, beide aus der Zeichnung. Es muss ρ>h/2 gelten, damit der Innenradius positiv ist. FN ist die tangentiale Schnitt-Normalkraft in N, Zug positiv und Druck negativ. Mb ist das Schnitt-Biegemoment in N·m; positiv bedeutet stärker gekrümmter Balken mit Zug am Außenrand. Beide Schnittgrößen folgen aus dem Gleichgewicht des Lastfalls. σi und σa sind die wählbaren Nennspannungen in MPa; positiv bedeutet Zug, negativ Druck.
Am betrachteten Querschnitt die Schnittgrößen FN und Mb mit der angegebenen Vorzeichenkonvention bestimmen. Rechteckmaße und Schwerpunktlinienradius eintragen. Zuerst Innenrand, danach Außenrand als Ergebnisgröße wählen. Beide Vorzeichen und Beträge mit Werkstoffwerten und weiteren lokalen Nachweisen vergleichen.
Ein Abschnitt mit ρ=100 mm, h=100 mm, b=20 mm, FN=0 und Mb=1.000 N·m hat A=2.000 mm² und κ=ln 3−1=0,098612. Die Formel liefert am Innenrand σi=−45,70 MPa und am Außenrand σa=+21,90 MPa. Der innere Betrag ist hier deutlich größer.
Eine reine Zug-Normalkraft addiert an beiden Rändern denselben Wert FN/A. Bei reinem positivem Moment wird der Innenrand gedrückt und der Außenrand gezogen; die Beträge sind wegen der Krümmung ungleich. Bei großem ρ nähert sich die Verteilung der geraden Balkenbiegung.
Der Rechner wandelt ρ, h und b nach m, FN nach N und Mb nach N·m um. A entsteht in m², κ ist dimensionslos und σ in Pa; angezeigt werden MPa. Alle Längen müssen sich auf denselben Querschnitt beziehen.
Vorprüfung von Kranhaken, Ringsegmenten und stark gekrümmten Rahmenteilen mit rechteckigem Querschnitt unter ebener Last.
Kreisbogenträger mit konstantem Rechteckquerschnitt, linear-elastischem Material, eben bleibenden Querschnitten und Last in der Krümmungsebene. Der Innenradius ρ−h/2 muss positiv sein. Schubspannung, Kerben, plastische Verteilung, seitliches Ausweichen und dreidimensionale Anschlüsse sind nicht enthalten. Die Nennspannung ersetzt keinen Festigkeitsnachweis.
Typischer Fehler: ρ ist nicht der Innenradius; der Innenradius beträgt ρ−h/2. Ein positiver Mb belastet den Außenrand auf Zug. Bei einem stark gekrümmten Querschnitt nicht die lineare Formel des geraden Balkens als genaue Randspannung verwenden.
Vorprüfung von Kranhaken, Ringsegmenten und stark gekrümmten Rahmenteilen mit rechteckigem Querschnitt unter ebener Last.
ρ ist der Radius der Schwerpunktlinie in mm; aus dem Innenradius plus h/2 bestimmen. h ist die radiale Rechteckhöhe, b die Breite quer zur Krümmungsebene, beide aus der Zeichnung. Es muss ρ>h/2 gelten, damit der Innenradius positiv ist. FN ist die tangentiale Schnitt-Normalkraft in N, Zug positiv und Druck negativ. Mb ist das Schnitt-Biegemoment in N·m; positiv bedeutet stärker gekrümmter Balken mit Zug am Außenrand. Beide Schnittgrößen folgen aus dem Gleichgewicht des Lastfalls. σi und σa sind die wählbaren Nennspannungen in MPa; positiv bedeutet Zug, negativ Druck.
Kreisbogenträger mit konstantem Rechteckquerschnitt, linear-elastischem Material, eben bleibenden Querschnitten und Last in der Krümmungsebene. Der Innenradius ρ−h/2 muss positiv sein. Schubspannung, Kerben, plastische Verteilung, seitliches Ausweichen und dreidimensionale Anschlüsse sind nicht enthalten. Die Nennspannung ersetzt keinen Festigkeitsnachweis.