Rechenweg
det(K−ω²M)=0; f1,2=ω1,2/(2π); μ1,2=A2/A1
Die zwei Massen können gemeinsam oder gegeneinander schwingen. Jede Eigenform besitzt ihre eigene Eigenfrequenz und ein Verhältnis der beiden Massenauslenkungen.
Freie Schwingung einer translatorischen Zwei-Massen-Drei-Federn-Kette
Eigenfrequenzen und Schwingungsformen für zwei Massen berechnen
Die zwei Massen können gemeinsam oder gegeneinander schwingen. Jede Eigenform besitzt ihre eigene Eigenfrequenz und ein Verhältnis der beiden Massenauslenkungen.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Eingaben verstehen
- Erste Eigenfrequenz f1 — Niedrigere Eigenfrequenz der gekoppelten Kette; bei f1=0 liegt eine freie gemeinsame Starrkörperverschiebung statt einer Schwingung vor.
- Zweite Eigenfrequenz f2 — Höhere Eigenfrequenz, meist mit gegenläufiger Bewegung der beiden Massen; für Resonanzbetrachtungen nutzen.
- Amplitudenverhältnis der ersten Eigenform μ1 — Verhältnis A2/A1 der Auslenkungsamplituden von Masse 2 zu Masse 1; positives Vorzeichen bedeutet gleiche Bewegungsrichtung.
- Amplitudenverhältnis der zweiten Eigenform μ2 — Verhältnis A2/A1 für die höhere Eigenfrequenz; negatives Vorzeichen bedeutet entgegengesetzte Bewegungsrichtungen.
- Erste bewegte Masse m1 — Erste konzentrierte bewegte Masse aus Stückliste oder Messung; Trägheit der Federn und Unterlage wird vernachlässigt.
- Zweite bewegte Masse m2 — Zweite konzentrierte bewegte Masse, ebenfalls nur für die translatorische Bewegung.
- Federsteifigkeit links c1 — Steifigkeit zwischen festem linken Halt und Masse 1, als Kraft pro Auslenkung aus Federdaten oder Messung; null bedeutet fehlende Feder.
- Kopplungsfedersteifigkeit c2 — Steifigkeit der Feder zwischen den beiden Massen; muss positiv sein, damit zwei gekoppelte Eigenformen vorliegen.
- Federsteifigkeit rechts c3 — Steifigkeit zwischen Masse 2 und festem rechtem Halt; null bedeutet fehlende Feder.
Beispiel
Bei m1=m2=1 kg und c1=c2=c3=1.000 N/m sind f1=√1000/(2π)=5,033 Hz und f2=√3000/(2π)=8,717 Hz. Die Amplitudenverhältnisse sind μ1=+1 und μ2=−1.
Annahmen und Grenzen
Zwei nur translatorisch bewegliche konzentrierte Massen, drei lineare masselose Federn, reibungsfreie Unterlage und keine Dämpfung. Die äußeren Enden sind fest. Die Amplitudenverhältnisse beschreiben Eigenformen, nicht die tatsächlichen Schwingungsweiten; diese hängen von den Anfangsbedingungen ab. Bei c1=c3=0 ist die erste Frequenz null und bezeichnet eine Starrkörperbewegung.
Eigenfrequenzen einer Zwei-Massen-Feder-Kette verstehen
Zwei bewegliche Massen und drei Federn können auf zwei unterschiedliche Arten schwingen. Der Rechner liefert beide Eigenfrequenzen und zu jeder das Verhältnis der Auslenkungen.
Was beschreibt diese Größe?
Die äußeren Federn c1 und c3 verbinden je eine Masse mit einem festen Halt; c2 koppelt die beiden Massen. Für die Verschiebungen x1 und x2 ergeben sich aus Newtons Bewegungsgesetz m1ẍ1+(c1+c2)x1−c2x2=0 und m2ẍ2−c2x1+(c2+c3)x2=0. Freie harmonische Bewegungen sind nur möglich, wenn det(K−ω²M)=0 ist. K ist die Steifigkeitsmatrix, M die Massenmatrix und ω die Eigenkreisfrequenz in rad/s. Die zwei Lösungen ergeben f1 und f2 in Hz. Das Verhältnis μ=A2/A1 beschreibt die Eigenform: positives μ bedeutet gemeinsame, negatives μ gegenläufige Bewegung.
Formel und Variablen
det(K−ω²M)=0; f1,2=ω1,2/(2π); μ1,2=A2/A1
Eigenwertbedingung: det(K−ω²M)=0K=[[c1+c2,−c2],[−c2,c2+c3]]; M=diag(m1,m2)Frequenzen: f1,2=ω1,2/(2π)Eigenformverhältnis: μ=(c1+c2−m1ω²)/c2
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Erste Eigenfrequenz f1 | Niedrigere Eigenfrequenz der gekoppelten Kette; bei f1=0 liegt eine freie gemeinsame Starrkörperverschiebung statt einer Schwingung vor. |
| Zweite Eigenfrequenz f2 | Höhere Eigenfrequenz, meist mit gegenläufiger Bewegung der beiden Massen; für Resonanzbetrachtungen nutzen. |
| Amplitudenverhältnis der ersten Eigenform μ1 | Verhältnis A2/A1 der Auslenkungsamplituden von Masse 2 zu Masse 1; positives Vorzeichen bedeutet gleiche Bewegungsrichtung. |
| Amplitudenverhältnis der zweiten Eigenform μ2 | Verhältnis A2/A1 für die höhere Eigenfrequenz; negatives Vorzeichen bedeutet entgegengesetzte Bewegungsrichtungen. |
| Erste bewegte Masse m1 | Erste konzentrierte bewegte Masse aus Stückliste oder Messung; Trägheit der Federn und Unterlage wird vernachlässigt. |
| Zweite bewegte Masse m2 | Zweite konzentrierte bewegte Masse, ebenfalls nur für die translatorische Bewegung. |
| Federsteifigkeit links c1 | Steifigkeit zwischen festem linken Halt und Masse 1, als Kraft pro Auslenkung aus Federdaten oder Messung; null bedeutet fehlende Feder. |
| Kopplungsfedersteifigkeit c2 | Steifigkeit der Feder zwischen den beiden Massen; muss positiv sein, damit zwei gekoppelte Eigenformen vorliegen. |
| Federsteifigkeit rechts c3 | Steifigkeit zwischen Masse 2 und festem rechtem Halt; null bedeutet fehlende Feder. |
Eingaben richtig wählen
m1 und m2 sind die beiden bewegten Massen in kg aus Stückliste oder Wägung und müssen positiv sein. c1 und c3 sind äußere Federsteifigkeiten in N/m aus Datenblatt oder Kraft-Weg-Messung; null bedeutet fehlende äußere Feder. c2 ist die positive Kopplungssteifigkeit zwischen den Massen. f1 und f2 sind die kleinere und größere Eigenfrequenz in Hz; μ1 und μ2 sind die dazugehörigen dimensionslosen Amplitudenverhältnisse A2/A1. Oben die gewünschte Ergebnisgröße wählen. Eine Frequenz null bezeichnet eine gemeinsame Starrkörperbewegung, keine periodische Schwingung.
So benutzt du den Rechner
Anordnung links fest–c1–m1–c2–m2–c3–rechts fest mit der tatsächlichen Maschine vergleichen. Bewegte Massen und Federsteifigkeiten bestimmen und eingeben. f1 und f2 nacheinander wählen; μ1 und μ2 zeigen, welche Masse in jeder Eigenform relativ zur ersten in welche Richtung schwingt. Betriebsanregungen mit beiden Frequenzen vergleichen.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Für m1=m2=1 kg und c1=c2=c3=1.000 N/m hat die normierte Steifigkeitsmatrix die Eigenwerte 1.000 s⁻² und 3.000 s⁻². Somit sind f1=√1000/(2π)=5,033 Hz und f2=√3000/(2π)=8,717 Hz. Die Massen bewegen sich im ersten Modus gemeinsam (μ1=1), im zweiten entgegengesetzt (μ2=−1).
Ergebnis und Einheiten verstehen
Die niedrige Eigenform ist bei positiven äußeren Federn gleichsinnig, die hohe gegensinnig. Die Amplitudenverhältnisse sind keine tatsächlichen Auslenkungen; deren Höhe hängt von Anregung und Anfangszustand ab. Fehlen beide äußeren Federn, kann die gesamte Kette frei verschoben werden und f1=0.
Intern verwendet die Rechnung kg für Massen und N/m für Steifigkeiten. Daraus folgen ω² in s⁻², ω in rad/s und f=ω/(2π) in Hz. μ ist dimensionslos. Das vorhandene Einheitenregister konvertiert angebotene Einheiten.
Typische Anwendungen
Resonanzvorprüfung gekoppelter Maschinenmassen, Fahrzeug- und Anlagenmodelle sowie Laboraufbauten mit zwei dominanten translatorischen Freiheitsgraden.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Lineare, masselose Federn, zwei punktförmig konzentrierte translatorische Massen, feste äußere Halterungen, kleine Auslenkungen, reibungsfreie Führung und keine Dämpfung. Feder- und Unterlagenmasse, nichtlineare Steifigkeit, rotatorische Freiheitsgrade, erzwungene Antwort und tatsächliche Ausschlaggrößen fehlen. c2 muss positiv sein.
Typischer Fehler: Die höhere Eigenfrequenz nicht mit der doppelten niedrigeren gleichsetzen. μ ist A2/A1 und kann negativ sein; ein negativer Wert bedeutet Gegenphase, keine negative Schwingungsamplitude. Federsteifigkeit als N/m statt N/mm prüfen.
Häufige Fragen
Wofür ist „Eigenfrequenzen einer Zwei-Massen-Feder-Kette“ gedacht?
Resonanzvorprüfung gekoppelter Maschinenmassen, Fahrzeug- und Anlagenmodelle sowie Laboraufbauten mit zwei dominanten translatorischen Freiheitsgraden.
Woher kommen die Eingabewerte?
m1 und m2 sind die beiden bewegten Massen in kg aus Stückliste oder Wägung und müssen positiv sein. c1 und c3 sind äußere Federsteifigkeiten in N/m aus Datenblatt oder Kraft-Weg-Messung; null bedeutet fehlende äußere Feder. c2 ist die positive Kopplungssteifigkeit zwischen den Massen. f1 und f2 sind die kleinere und größere Eigenfrequenz in Hz; μ1 und μ2 sind die dazugehörigen dimensionslosen Amplitudenverhältnisse A2/A1. Oben die gewünschte Ergebnisgröße wählen. Eine Frequenz null bezeichnet eine gemeinsame Starrkörperbewegung, keine periodische Schwingung.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Lineare, masselose Federn, zwei punktförmig konzentrierte translatorische Massen, feste äußere Halterungen, kleine Auslenkungen, reibungsfreie Führung und keine Dämpfung. Feder- und Unterlagenmasse, nichtlineare Steifigkeit, rotatorische Freiheitsgrade, erzwungene Antwort und tatsächliche Ausschlaggrößen fehlen. c2 muss positiv sein.