DIN-743-Wellenrechner für Festigkeitsnachweise

Wofür dient der Festigkeitsnachweis nach DIN 743?

DIN 743 ist die deutsche Norm für die Tragfähigkeitsberechnung von Wellen und Achsen aus Stahl. Sie beantwortet zwei Fragen für jeden kritischen Querschnitt: Hält die Welle die dauernd wiederkehrenden Spannungsamplituden aus Umlaufbiegung, Torsion und Axiallast ohne Dauerbruch aus (Sicherheit gegen Dauerbruch, DIN 743-1 Abschnitt 4)? Und bleibt sie unter der maximal auftretenden Belastung ohne bleibende Verformung (Sicherheit gegen Überschreiten der Fließgrenze, Abschnitt 5)? Beide Nachweise arbeiten mit Nennspannungen am Kerbquerschnitt und rechnen die Festigkeit des glatten Probestabs über Kerbwirkung, Größe, Oberfläche und Mittelspannung auf das reale Bauteil um. Die Norm verlangt für beide Nachweise mindestens Smin = 1,2; höhere Werte sind bei unsicherer Lastannahme oder hohen Folgeschäden zu vereinbaren.

Vorbemessung oder vollständiger Nachweis?

Eine Wellenvorbemessung bestimmt aus Biegemoment, Torsionsmoment, Streckgrenze und Sicherheit den Mindestdurchmesser einer glatten Vollwelle; die Hohlwellen-Vorbemessung tut dasselbe für einen Kreisring. Beide arbeiten statisch mit der Vergleichsspannung und kennen weder Kerben noch Dauerfestigkeit. Sie genügen, um in einer frühen Phase eine Größenordnung festzulegen oder Varianten zu vergleichen.

Der vollständige Nachweis nach DIN 743 wird nötig, sobald die reale Geometrie feststeht: Jeder Absatz, jede Passfedernut, jeder Freistich und jede Rundnut erhöht die örtliche Spannung, und jede umlaufende Welle unter Querkraft erfährt wechselnde Biegespannung. Erst der DIN-743-Nachweis bewertet diese Kerben mit βσ und βτ, berücksichtigt Bauteilgröße, Rauheit und Randschichtverfestigung und trennt die Dauersicherheit von der statischen Sicherheit. Eine Vorbemessung ersetzt ihn nicht – sie liefert den Startwert, der hier mit Absätzen, Nuten und Übergängen nachgewiesen wird.

Welche Beanspruchungen der Rechner berücksichtigt

Nach DIN 743-1 werden Zug/Druck, Biegung und Torsion einzeln und kombiniert erfasst, jeweils getrennt in Mittelwert und Amplitude. Der Rechner nimmt dafür je Querschnitt Fzdm und Fzda, Mbm und Mba sowie Mtm und Mta entgegen und bildet daraus die Nennspannungen σzdm, σzda, σbm, σba, τtm und τta nach Tabelle 1 der Norm; die Querschnittswerte A, Wb und Wt gelten für Voll- und Hohlwellen. Ein dominierender Querkraftschub ist ausdrücklich nicht abgedeckt.

Für den statischen Nachweis wird die Maximalbeanspruchung benötigt. Ohne eigene Angabe setzt der Rechner Mbmax = Mbm + Mba (analog für Torsion und Axialkraft); wer einen Anfahrstoß oder ein Kippmoment kennt, trägt die Maximalwerte direkt ein. Mittelspannung und Amplitude dürfen nicht addiert und als eine Last behandelt werden: Die Amplitude entscheidet über den Dauerbruch, die Mittelspannung verschiebt nur die ertragbare Amplitude, und erst die Maximalspannung entscheidet über bleibende Verformung.

Formel und Variablen

S_D = 1 / √[(σzda/σzdADK)² + (σba/σbADK)² + (τta/τtADK)²] ≥ Smin

• σba = Mba/Wb · 10³, τta = Mta/Wt · 10³, σzda = Fzda/A (DIN 743-1, Tabelle 1)
• σbWK = σbW(dB) · K1(deff) / Kσ (DIN 743-1, Gl. 6)
• Kσ = (βσ/K2(d) + 1/KFσ − 1) / KV (DIN 743-1, Gl. 8)
• σmv = √((σzdm + σbm)² + 3·τtm²), τmv = σmv/√3 (Gl. 23, 24)
• σbADK = σbWK − ψbσK · σmv (Fall 1, Gl. 11) bzw. σbADK = σbWK / (1 + ψbσK·σmv/σba) (Fall 2, Gl. 16)
• σbFK = K1(deff) · K2F · γF · σS(dB), τtFK = K1(deff) · K2F · σS(dB)/√3 (Gl. 31, 32)
• S_F = 1 / √[((σzdmax/σzdFK + σbmax/σbFK)² + (τtmax/τtFK)²] (Gl. 25)

Eingaben richtig wählen

Je Querschnitt: Durchmesser d (bei einer Hohlwelle zusätzlich dᵢ), Kerbfall mit großem Durchmesser D und Radius r (Absatz, Freistich, Rundnut) oder Passfedernut, Rautiefe Rz, Oberflächenverfestigung sowie Mittelwert und Ausschlag von Biegemoment, Torsionsmoment und Axialkraft – optional eigene Maximalwerte. Für die Welle: Zugfestigkeit σB und Streckgrenze σS beim Bezugsdurchmesser dB, Werkstoffgruppe, Beanspruchungsfall 1 oder 2 und die geforderten Mindestsicherheiten. Mittel- und Ausschlagsmomente beschreiben unterschiedliche Schädigungsanteile. Oberflächen-, Größen- und Kerbfaktoren verändern die Dauerfestigkeit, nicht das äußere Moment; sie dürfen daher nicht als zusätzliche Last behandelt werden.

So benutzt du den Rechner

Lege zuerst die Wellendaten fest: σB und σS beim Bezugsdurchmesser, Werkstoffgruppe, Beanspruchungsfall (Fall 1, wenn sich bei Laständerung nur die Amplitude ändert; Fall 2, wenn Mittel- und Ausschlagspannung proportional wachsen) und die geforderten Mindestsicherheiten. Lege dann je kritischem Querschnitt Kerbfall, d, D, r, Rz, Verfestigung und die Belastungsanteile an – typischerweise den kleinsten Absatz, die Passfedernut unter der Nabe (Tragfähigkeit der Verbindung selbst: Passfeder-Rechner) und einen Freistich am Lagersitz. Der Rechner weist je Querschnitt Nennspannungen, Faktoren, Gestaltfestigkeiten, beide Sicherheiten und die Ausnutzung aus und markiert den maßgebenden Querschnitt.

Schritt-für-Schritt-Beispiel

Absatz d = 42 mm auf D = 50 mm mit r = 5 mm, Rz = 5 µm, Vergütungsstahl σB = 1 000 MPa, σS = 800 MPa (dB = 16 mm), Mbm = 3 636 N·m, Mba = 364 N·m, Mtm = 1 455 N·m, Mta = 436 N·m: Der Rechner liefert K1 = 0,871/0,832, K2 = 0,885, βσ = 1,50, βτ = 1,25, Kσ = 1,80, Kτ = 1,47, σbADK = 156,6 MPa, τtADK = 142,8 MPa, Dauersicherheit 2,62 und statische Sicherheit 1,40 – identisch mit dem Rechenbeispiel in DIN 743 Beiblatt 1:2024-07, Abschnitt 5.2.

Wie sind Dauersicherheit und statische Sicherheit zu lesen?

Der Rechner gibt je Querschnitt zwei Sicherheiten aus. Die Dauersicherheit S_D vergleicht die vorhandenen Spannungsamplituden σzda, σba und τta mit den ertragbaren Amplituden σzdADK, σbADK und τtADK des gekerbten Bauteils bei der vorhandenen Mittelspannung; sie muss die geforderte Mindestsicherheit erreichen. Die statische Sicherheit S_F vergleicht die Maximalnennspannungen mit den Bauteilfließgrenzen σFK und τtFK. Welche der beiden maßgebend ist, hängt vom Lastfall ab: Im Beiblatt-Beispiel mit hoher Mittelspannung und kleinem Ausschlag bestimmt die statische Sicherheit (1,40) den Durchmesser, obwohl die Dauersicherheit 2,62 beträgt. Die Ausnutzung setzt beide Sicherheiten ins Verhältnis zur geforderten Mindestsicherheit; der Querschnitt mit der höchsten Ausnutzung wird als maßgebend markiert.

Durchmesser und Radien in Millimeter, Momente in N·m, Kräfte in N, Rautiefe Rz in µm, Festigkeiten und Spannungen in MPa (= N/mm²), Faktoren und Sicherheiten dimensionslos. Der Rechner setzt Momente intern in N·mm um, damit σ = M/W direkt in MPa entsteht.

Nennspannung, Kerbwirkung, Bauteilfestigkeit und Sicherheit

Die Nennspannung ist die Spannung, die sich mit den elementaren Formeln der Festigkeitslehre aus Belastung und Querschnitt ergibt – ohne die Spannungsspitze am Kerbgrund. DIN 743 belässt es bewusst bei diesem Nennspannungskonzept und verlagert den örtlichen Einfluss vollständig auf die Festigkeitsseite: Die Kerbwirkungszahl βσ (bzw. βτ) ist nach DIN 743-2 Abschnitt 4.1 das Verhältnis der Wechselfestigkeit der glatten Probe zur Wechselfestigkeit des gekerbten Bauteils, beide als Nennspannung ausgedrückt. Für Absatz, Freistich und Rundnut berechnet der Rechner sie aus Formzahl ασ,τ (DIN 743-2 Gl. 9) und Stützzahl n (Gl. 5) über das bezogene Spannungsgefälle; für die Passfedernut werden die werkstoffabhängigen Tabellenwerte verwendet. Einen einzelnen Kerbfall lässt sich vorab mit dem Kerbwirkungszahl-Rechner einordnen.

Aus der Wechselfestigkeit des glatten Probestabs entsteht die Bauteilfestigkeit: σbWK = σbW(dB)·K1(deff)/Kσ ist die Wechselfestigkeit des gekerbten Bauteils bei Mittelspannung null (DIN 743-1 Gl. 6). Die Mittelspannungsempfindlichkeit ψσK (Gl. 20–22) und die Vergleichsmittelspannung σmv (Gl. 23) verschieben sie zur ertragbaren Amplitude σADK – im Beanspruchungsfall 1 bei konstanter Mittelspannung nach Gl. 10–12, im Fall 2 bei konstantem Verhältnis von Mittel- zu Ausschlagspannung nach Gl. 15–17. Überschreitet die Mittelspannung die in der Norm genannte Grenze, wird die Amplitude durch die Bauteilfließgrenze begrenzt (Gl. 13/14 bzw. 18/19); der Rechner schaltet automatisch auf diesen Zweig um.

Die Dauersicherheit S_D folgt aus Gl. 2 als quadratische Überlagerung der drei Amplitudenverhältnisse. Der Nachweis gegen bleibende Verformung verwendet nach Abschnitt 5 die Bauteilfließgrenzen σFK und τtFK (Gl. 31, 32) mit statischer Stützwirkung K2F (Tabelle 3) und Erhöhungsfaktor γF (Tabelle 2) und setzt sie nach Gl. 25 mit den Maximalnennspannungen ins Verhältnis. Beide Sicherheiten werden je Querschnitt getrennt ausgewiesen und mit der geforderten Mindestsicherheit verglichen.

Welche Einflüsse in Kσ, Kτ und σFK eingehen

Bauteilgröße: K1(deff) mindert Zugfestigkeit und Streckgrenze großer Querschnitte, weil die beim Vergüten oder Einsatzhärten erreichbare Härte mit dem Durchmesser abnimmt (DIN 743-2 Abschnitt 6.2, Gl. 10–14, getrennt nach Baustahl, Vergütungsstahl und Einsatzstahl). K2(d) beschreibt nach Gl. 16, dass Biege- und Torsionswechselfestigkeit mit wachsendem Durchmesser in die Zug/Druck-Wechselfestigkeit übergehen; bei Kreisringquerschnitten zählt der Außendurchmesser. Oberfläche: KFσ folgt nach Gl. 18 aus der Rautiefe Rz und der Zugfestigkeit am Bauteil, KFτ nach Gl. 19 daraus; für die Passfedernut ist KF = 1, weil die experimentellen Kerbwirkungszahlen den Oberflächeneinfluss bereits enthalten (Tabelle 1). Oberflächenverfestigung: KV nach DIN 743-2 Abschnitt 8 und Tabelle 4 erfasst Eigenspannungen und Härte einer nitrierten, einsatzgehärteten, festgewalzten oder kugelgestrahlten Randschicht; der Rechner wählt je Verfahren und Durchmesser einen vorsichtigen Wert, eigene KV-Werte bleiben möglich.

Kerbwirkung: βσ und βτ gehen über Kσ = (βσ/K2 + 1/KFσ − 1)/KV bzw. Kτ (DIN 743-1 Gl. 8, 9) in die Bauteil-Wechselfestigkeit ein. Hohlquerschnitt: dᵢ verändert A, Wb und Wt nach Tabelle 1 und reduziert die statische Stützwirkung K2F (Biegung 1,1 statt 1,2, Torsion 1,0 statt 1,2). Werkstoffkennwerte: σB und σS beim Bezugsdurchmesser liefern nach DIN 743-3 Gl. 1–3 die Wechselfestigkeiten σbW ≈ 0,5·σB, σzdW ≈ 0,4·σB und τtW ≈ 0,3·σB; die Bauteilfließgrenze σFK = K1(deff)·K2F·γF·σS(dB) verwendet K1 für die Streckgrenze und γF aus Tabelle 2 (1,00 für ασ ≤ 1,5 bis 1,15 für ασ > 3, für Torsion stets 1).

Was DIN 743-1, -2 und -3 jeweils beisteuern

DIN 743-1:2012-12 (Grundlagen) legt den Ablauf fest: Nennspannungen (Tabelle 1), Sicherheitsgleichungen gegen Dauerbruch (Gl. 2) und bleibende Verformung (Gl. 25), Bauteil-Wechselfestigkeit und Gesamteinflussfaktoren (Gl. 5–9), Mittelspannungseinfluss mit Fall 1 und Fall 2 (Gl. 10–24) sowie die Bauteilfließgrenzen mit K2F und γF (Gl. 31, 32, Tabellen 2 und 3). Genau dieser Ablauf ist im Rechner umgesetzt; der Anriss-Nachweis harter Randschichten nach 5.1.2 und der Druckbereich mit negativer Mittelspannung sind nicht enthalten.

DIN 743-2:2012-12 (Formzahlen und Kerbwirkungszahlen) liefert die Faktoren: Kerbwirkungszahlen der Passfedernut (Tabelle 1), Formzahlen für Absatz, Rundnut und Absatz mit Freistich (Gl. 9 mit Tabelle 2), Stützzahl aus dem bezogenen Spannungsgefälle (Gl. 5), Größeneinflussfaktoren K1 und K2 (Gl. 10–16), Rauheitsfaktoren KF (Gl. 18, 19) und Verfestigungsfaktor KV (Tabelle 4). Querbohrung, Keil- und Zahnwellen sowie Spitzkerben sind über den manuellen Kerbfall mit eigenen βσ/βτ abbildbar.

DIN 743-3:2024-07 (Werkstoff-Festigkeitswerte) stellt die Beziehung zwischen Zugfestigkeit und Wechselfestigkeiten her (Abschnitt 5.2, Gl. 1–3) und enthält die Kennwerttabellen der üblichen Wellenstähle für den Bezugsdurchmesser. Der Rechner verwendet diese Verhältniswerte; abweichende, am Bauteil ermittelte Wechselfestigkeiten können direkt eingegeben werden. DIN 743 Beiblatt 1:2024-07 enthält vollständig durchgerechnete Beispiele; das Absatz-Beispiel in Abschnitt 5.2 ist als automatisierter Referenztest hinterlegt und wird vom Rechner bis auf Rundung reproduziert.

Typische Anwendungen

Vollständiger Festigkeitsnachweis von Getriebe-, Antriebs- und Maschinenwellen mit Absätzen, Freistichen, Rundnuten und Passfedernuten; Nachrechnung einer vorbemessenen Welle mit ihrer realen Geometrie; Vergleich mehrerer kritischer Querschnitte in einem Durchgang; Bewertung von Werkstoffwechsel, Oberflächenverfestigung oder größerem Kerbradius auf Dauer- und statische Sicherheit.

Annahmen, Grenzen und typische Fehler

DIN 743-1:2012-12 (Abschnitt 4: Gl. 2, 5–9, 10–19, 20–24; Abschnitt 5: Gl. 25, 31, 32, Tabellen 1–3), DIN 743-2:2012-12 (Gl. 5, 9–14, 16, 18, 19; Tabelle 1 Passfedernut), DIN 743-3:2024-07 (Abschnitt 5.2, Gl. 1–3) und DIN 743 Beiblatt 1:2024-07 (Rechenbeispiel 5.2 als Referenztest). Grenzen: Stähle bei 20 °C, konstante oder schädigungsäquivalente Amplituden, Nennspannungskonzept für kreisförmige Voll- und Hohlquerschnitte; kein Querkraftschub, keine Lastkollektive, kein Anrissnachweis harter Randschichten, kein Druckbereich mit σzdm + σbm < 0; Passfedernut-Kerbwirkungszahlen als Tabellenwerte für dBK = 40 mm ohne K3-Umrechnung.

Typischer Fehler: Kerb-, Größen- und Oberflächenfaktoren nicht pauschal mit 1 ansetzen – ein realer Absatz oder eine Passfedernut kann die ertragbare Amplitude gegenüber der glatten Welle halbieren und ist der eigentliche Grund für den Nachweis. Bei umlaufenden Wellen das Biegemoment aus einer ortsfesten Querkraft als Amplitude eintragen, nicht als Mittelwert. deff nicht mit d verwechseln: Für K1 zählt der für die Wärmebehandlung maßgebende, meist größere Durchmesser. Und die statische Sicherheit nicht übersehen – bei hoher Mittelspannung ist sie oft maßgebend, obwohl die Dauersicherheit komfortabel aussieht. Steifigkeit und Schwingung sind kein Teil dieses Nachweises: Verdrehwinkel und kritische Drehzahl sind separat zu prüfen.