An einem Knoten, an dem zwei Stäbe eine Last tragen, folgen die Stabkräfte aus dem Kräftedreieck: S₁ = G·sin α₂/sin(α₁+α₂). Berechne die Kraft im Stab 1 aus Last und Stabwinkeln – oder die zulässige Last aus einer vorgegebenen Grenzstabkraft. Die Kraft im Stab 2 ergibt sich durch Vertauschen der beiden Winkel.
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An einem Knoten, an dem zwei Stäbe eine Last tragen, folgen die Stabkräfte aus dem Kräftedreieck: S₁ = G·sin α₂/sin(α₁+α₂). Berechne die Kraft im Stab 1 aus Last und Stabwinkeln – oder die zulässige Last aus einer vorgegebenen Grenzstabkraft. Die Kraft im Stab 2 ergibt sich durch Vertauschen der beiden Winkel.
An einem Knoten hängt G = 10 kN. Stab 1 schließt α₁ = 30° mit der Lastrichtung ein, Stab 2 auf der anderen Seite α₂ = 45°. Damit ist S₁ = 10 kN·sin 45°/sin 75° = 10·0,7071/0,9659 = 7,32 kN. Die Kraft im Stab 2 folgt durch Vertauschen der Winkel: S₂ = 10 kN·sin 30°/sin 75° = 5,18 kN. Kontrolle über das Gleichgewicht senkrecht zur Last: S₁·sin α₁ + S₂·sin α₂ = 7,32·0,5 + 5,18·0,7071 = 3,66 + 3,66 = 7,32 – die beiden Stabkräfte bilden mit G ein geschlossenes Kräftedreieck.
Idealisiertes Zweistabsystem als zentrale Kräftegruppe: beide Stäbe sind an ihren Enden gelenkig angeschlossen, übertragen daher ausschließlich Kräfte in Stabrichtung und greifen mit der Last an einem gemeinsamen Punkt an. Das Eigengewicht der Stäbe, die Nachgiebigkeit der Anschlüsse, Anschlussbleche und Exzentrizitäten sind nicht enthalten. Der Rechner liefert nur den Betrag der Stabkraft; die Unterscheidung Zug- oder Druckstab folgt aus der Geometrie und ist konstruktiv festzulegen. Ein Druckstab ist zusätzlich auf Knicken nachzuweisen, ein Zugstab auf Querschnitts- und Anschlusstragfähigkeit. Für α₁ + α₂ → 180° werden beide Stabkräfte beliebig groß; solche flachen Anordnungen sind praktisch unbrauchbar.
Eine Last, die an zwei Stäben hängt, verteilt sich nicht halb-halb, sondern nach den Stabwinkeln – und beide Stabkräfte können deutlich größer als die Last selbst sein. Der Rechner bestimmt die Stabkraft aus Last und Winkeln und lässt sich umstellen, um aus einer Grenzstabkraft die zulässige Last zu ermitteln.
Ein Zweistabsystem ist die einfachste zentrale Kräftegruppe der Statik: Zwei gelenkig angeschlossene Stäbe treffen sich mit der Last in einem Knoten. Gelenkig angeschlossene Stäbe können nur Kräfte in ihrer eigenen Achsrichtung übertragen – deshalb liegen die Richtungen beider Stabkräfte von vornherein fest und nur ihre Beträge sind unbekannt. Die drei Kräfte G, S₁ und S₂ müssen ein geschlossenes Kräftedreieck bilden; der Sinussatz an diesem Dreieck liefert S₁ = G·sin α₂/sin(α₁+α₂). Die Kraft im zweiten Stab folgt aus derselben Formel mit vertauschten Winkeln.
Wie eine Hängematte zwischen zwei Bäumen: Hängt sie tief durch, sind die Seilkräfte moderat. Zieht man sie fast waagerecht straff, steigen die Kräfte in den Seilen dramatisch an, obwohl die Person nicht schwerer geworden ist. Genauso ist es hier – je flacher das Stabdreieck, desto größer die Stabkräfte bei gleicher Last.
S₁ = G · sin α₂ / sin(α₁ + α₂)
Stab 1: S₁ = G·sin α₂/sin(α₁+α₂)Stab 2: S₂ = G·sin α₁/sin(α₁+α₂)Symmetrisch (α₁ = α₂ = α): S₁ = S₂ = G/(2·cos α)Gleichgewichtskontrolle: S₁·sin α₁ + S₂·sin α₂ = GGültigkeitsbedingung: 0 < α₁ + α₂ < 180°| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Stabkraft S₁ | Der Betrag der Kraft im Stab 1, also in dem Stab, der dem Winkel α₂ gegenüberliegt. Ob es sich um Zug oder Druck handelt, folgt aus der Geometrie und nicht aus dem Betrag: Bei einer typischen Konsole ist der obere, von der Last weggehende Stab ein Zugstab und der untere ein Druckstab. Der Druckstab ist zusätzlich auf Knicken nachzuweisen. Für die Kraft im Stab 2 die beiden Winkel vertauschen und erneut rechnen. |
| Last G | Die am Knoten angreifende äußere Last, meist eine Gewichtskraft (G = m·g). Nur diese eine Last darf am Knoten angreifen; wirken mehrere, sind sie zuvor zu einer Resultierenden zusammenzufassen. Die Eigengewichte der Stäbe selbst sind nicht enthalten. |
| Winkel α₁ des Stabes 1 | Der Winkel zwischen der Achse des Stabes 1 und der Wirkungslinie der Last G, also bei einer hängenden Last der Winkel zur Senkrechten. Bei einer Konsole an einer Wand ist das der Winkel zwischen dem Stab und der lotrechten Lastrichtung – nicht der Winkel zur Wand oder zur Waagerechten. Die beiden Stäbe müssen auf gegenüberliegenden Seiten der Lastwirkungslinie liegen, und es muss α₁ + α₂ < 180° gelten. |
| Winkel α₂ des Stabes 2 | Der Winkel zwischen der Achse des Stabes 2 und derselben Wirkungslinie der Last, auf der gegenüberliegenden Seite gemessen. Je kleiner die Summe α₁ + α₂ ausfällt – also je spitzer das Stabdreieck wird – desto größer werden beide Stabkräfte, weil sich die Stäbe zunehmend gegenseitig belasten, ohne zur Lastabtragung beizutragen. |
G ist die am Knoten angreifende Last, meist eine Gewichtskraft G = m·g; wirken mehrere Lasten, sind sie vorher zu einer Resultierenden zusammenzufassen. α₁ und α₂ sind die Winkel der beiden Stabachsen gegen die Wirkungslinie der Last – bei einer hängenden Last also gegen die Senkrechte. Entscheidend: nicht der Winkel zur Wand oder zur Waagerechten, sondern zur Lastrichtung. Beide Stäbe müssen auf gegenüberliegenden Seiten dieser Wirkungslinie liegen und es muss α₁ + α₂ < 180° gelten.
Zuerst am Freikörperbild prüfen, dass wirklich nur zwei Stäbe und eine Last am Knoten angreifen. Dann die Winkel gegen die Lastrichtung ablesen und die Last eintragen. Das Ergebnis ist der Betrag der Kraft im Stab 1, also in dem Stab, der dem Winkel α₂ gegenüberliegt. Für den zweiten Stab die beiden Winkel vertauschen und erneut rechnen. Anschließend aus der Geometrie festlegen, welcher Stab Zug und welcher Druck erhält: der Stab, der von der Last weg nach oben führt, ist der Zugstab, der stützende untere Stab der Druckstab. Der Druckstab braucht zusätzlich einen Knicknachweis, der Zugstab einen Querschnitts- und Anschlussnachweis.
An einem Knoten hängt G = 10 kN. Stab 1 schließt α₁ = 30° mit der Lastrichtung ein, Stab 2 auf der Gegenseite α₂ = 45°. Damit ist S₁ = 10 kN·sin 45°/sin 75° = 10·0,7071/0,9659 = 7,32 kN und – nach Vertauschen der Winkel – S₂ = 10 kN·sin 30°/sin 75° = 5,18 kN. Die Gegenprobe über das Kräftedreieck: 7,32·sin 30° + 5,18·sin 45° = 3,66 + 3,66 = 7,32. Ein instruktiver zweiter Fall: bei α₁ = α₂ = 60° ergibt sich S₁ = S₂ = 10 kN – jeder Stab trägt die volle Last, obwohl es zwei Stäbe sind. Bei α₁ = α₂ = 89° wären es über 280 kN je Stab.
Die Summe α₁ + α₂ ist der eigentliche Hebel: Sie steht im Nenner als sin(α₁+α₂). Je näher diese Summe an 180° kommt – je flacher also das Stabdreieck wird – desto größer werden beide Stabkräfte, theoretisch unbegrenzt. Umgekehrt sind die Kräfte am kleinsten, wenn die Summe nahe 90° liegt. Die verbreitete Erwartung, zwei Stäbe würden eine Last halbieren, ist falsch: schon bei α₁ = α₂ = 60° trägt jeder Stab die volle Last. Entscheidend für eine wirtschaftliche Konstruktion ist deshalb nicht die Anzahl der Stäbe, sondern ihr Winkel.
Intern wird in Newton und Radiant gerechnet. Last und Stabkraft dürfen in N, kN, lbf oder kip eingegeben werden, die Winkel in Grad oder Radiant. Da Last und Stabkraft in derselben Gleichung stehen, ist das Ergebnis vom gewählten Krafteinheitensystem unabhängig.
Wandkonsolen und Ausleger mit Zugstange und Druckstrebe; Dreibock- und Stativlasten; Abspannungen von Masten und Antennen; Anschlagpunkte mit zwei ungleich geneigten Strängen; Knotenpunktverfahren an einfachen Fachwerken; Auslegung von Seilzügen und Umlenkpunkten; Rückrechnung der zulässigen Last aus einer bekannten Grenzstabkraft.
Idealisiertes Zweistabsystem: beide Stäbe sind gelenkig angeschlossen, übertragen nur Kräfte in Stabrichtung und treffen mit der Last in einem Punkt zusammen. Nicht enthalten sind das Eigengewicht der Stäbe, die Nachgiebigkeit und Exzentrizität der Anschlüsse, Anschlussbleche, Biegemomente aus eingespannten Anschlüssen sowie räumliche Anordnungen mit drei oder mehr Stäben. Der Rechner liefert nur Beträge – die Unterscheidung Zug oder Druck ist aus der Geometrie zu treffen und konstruktiv umzusetzen. Für α₁ + α₂ → 180° wachsen die Stabkräfte unbegrenzt; solche Anordnungen sind praktisch unbrauchbar und der Rechner weist sie als unzulässig aus.
Typischer Fehler: Der folgenschwerste Fehler ist die Annahme, zwei Stäbe würden die Last halbieren – bei flachen Winkeln kann jeder Stab ein Mehrfaches der Last tragen. Zweiter Klassiker ist die falsche Winkelreferenz: gemessen wird gegen die Wirkungslinie der Last, nicht gegen die Wand oder die Waagerechte; eine Verwechslung vertauscht sin und cos und damit die beiden Stabkräfte. Häufig wird außerdem der Druckstab nur auf Druckspannung geprüft und der Knicknachweis vergessen, obwohl schlanke Streben fast immer durch Knicken und nicht durch Fließen versagen. Und schließlich gilt die Formel nur für gelenkige Anschlüsse: eingespannte Stäbe übertragen zusätzlich Biegemomente.
Wandkonsolen und Ausleger mit Zugstange und Druckstrebe; Dreibock- und Stativlasten; Abspannungen von Masten und Antennen; Anschlagpunkte mit zwei ungleich geneigten Strängen; Knotenpunktverfahren an einfachen Fachwerken; Auslegung von Seilzügen und Umlenkpunkten; Rückrechnung der zulässigen Last aus einer bekannten Grenzstabkraft.
G ist die am Knoten angreifende Last, meist eine Gewichtskraft G = m·g; wirken mehrere Lasten, sind sie vorher zu einer Resultierenden zusammenzufassen. α₁ und α₂ sind die Winkel der beiden Stabachsen gegen die Wirkungslinie der Last – bei einer hängenden Last also gegen die Senkrechte. Entscheidend: nicht der Winkel zur Wand oder zur Waagerechten, sondern zur Lastrichtung. Beide Stäbe müssen auf gegenüberliegenden Seiten dieser Wirkungslinie liegen und es muss α₁ + α₂ < 180° gelten.
Idealisiertes Zweistabsystem: beide Stäbe sind gelenkig angeschlossen, übertragen nur Kräfte in Stabrichtung und treffen mit der Last in einem Punkt zusammen. Nicht enthalten sind das Eigengewicht der Stäbe, die Nachgiebigkeit und Exzentrizität der Anschlüsse, Anschlussbleche, Biegemomente aus eingespannten Anschlüssen sowie räumliche Anordnungen mit drei oder mehr Stäben. Der Rechner liefert nur Beträge – die Unterscheidung Zug oder Druck ist aus der Geometrie zu treffen und konstruktiv umzusetzen. Für α₁ + α₂ → 180° wachsen die Stabkräfte unbegrenzt; solche Anordnungen sind praktisch unbrauchbar und der Rechner weist sie als unzulässig aus.