Berechne den Schubmodul G aus Elastizitätsmodul E und Querkontraktionszahl ν nach G = E/(2·(1+ν)). Für isotrope elastische Werkstoffe existieren nur zwei unabhängige Materialkonstanten – ist eine der drei Größen E, G und ν unbekannt, lässt sie sich aus den beiden anderen exakt bestimmen.
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Berechne den Schubmodul G aus Elastizitätsmodul E und Querkontraktionszahl ν nach G = E/(2·(1+ν)). Für isotrope elastische Werkstoffe existieren nur zwei unabhängige Materialkonstanten – ist eine der drei Größen E, G und ν unbekannt, lässt sie sich aus den beiden anderen exakt bestimmen.
Baustahl mit E = 210 GPa und ν = 0,3 ergibt G = 210 GPa/(2·1,3) = 80,77 GPa. Das trifft den Tabellenwert für Stahl von etwa 81 GPa und bestätigt die Beziehung unabhängig. Rechnet man stattdessen mit ν = 1/3, folgt G = 78,75 GPa – die Wahl von ν beeinflusst G also nur schwach, weil ν im Nenner nur als (1+ν) auftritt.
Gilt ausschließlich für homogene, isotrope, linear-elastische Werkstoffe – nur dort existieren genau zwei unabhängige Elastizitätskonstanten, sodass die dritte exakt folgt. Für anisotrope Werkstoffe wie Faserverbunde, Holz, Einkristalle oder gerichtet erstarrte Gefüge ist die Beziehung nicht anwendbar; dort sind E, G und ν richtungsabhängig und unabhängig voneinander zu messen. Ebenfalls nicht abgedeckt sind nichtlineares und viskoelastisches Verhalten (Kunststoffe, Elastomere unter Zeit- und Temperatureinfluss), Plastifizierung oberhalb der Streckgrenze sowie die Temperaturabhängigkeit der Kennwerte.
Werkstofftabellen nennen oft nur den Elastizitätsmodul, obwohl für Torsion, Schub und Federberechnungen der Schubmodul gebraucht wird. Der Rechner bestimmt G aus E und der Querkontraktionszahl ν – und umgekehrt auch E oder ν aus den jeweils anderen beiden Größen.
Der Elastizitätsmodul E beschreibt die Steifigkeit gegen Längenänderung (σ = E·ε), der Schubmodul G die Steifigkeit gegen Winkelverzerrung (τ = G·γ), und die Querkontraktionszahl ν gibt an, wie stark sich ein gezogener Stab quer zusammenzieht. Für einen homogenen, isotropen, linear-elastischen Werkstoff existieren jedoch nur zwei unabhängige Materialkonstanten – die dritte ist über G = E/(2·(1+ν)) festgelegt. Das ist keine Näherung, sondern folgt zwingend aus dem Elastizitätsgesetz.
Ein Schwamm, den man in die Länge zieht, wird dabei dünner. Wie stark, sagt ν. Und wie leicht man denselben Schwamm schräg verschieben kann, hängt unmittelbar damit zusammen, wie leicht er sich längen und quer zusammenziehen lässt. Deshalb steckt in E und ν bereits die gesamte Information über G.
G = E / (2 · (1 + ν))
Schubmodul: G = E/(2·(1+ν))Elastizitätsmodul: E = 2·G·(1+ν)Querkontraktionszahl: ν = E/(2·G) − 1Hookesches Gesetz für Schub: τ = G·γGrenzen des isotropen Bereichs: E/3 ≤ G ≤ E/2| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Schubmodul G | Der Schubmodul (Gleitmodul) ist der Proportionalitätsfaktor im Hookeschen Gesetz für Schub, τ = G·γ: Er verknüpft die Schubspannung τ mit dem Gleitwinkel γ. G hat dieselbe Dimension wie E, ist aber bei metallischen Werkstoffen nur etwa 38 % davon. Verwendet wird G überall dort, wo Schub oder Torsion auftritt – etwa im Torsionsträgheitsmoment einer Welle oder in der Federrate einer Schraubenfeder. Richtwerte: Stahl ≈ 81 GPa, Aluminium ≈ 26 GPa. |
| Elastizitätsmodul E | Der Elastizitätsmodul beschreibt die Steifigkeit bei Zug und Druck, σ = E·ε. Woher: Werkstofftabelle – Baustahl ≈ 210 GPa, Aluminiumlegierungen ≈ 70 GPa, Kupfer ≈ 120 GPa, Grauguss ≈ 100 GPa. Bei unbekannten Werkstoffen aus einem Zugversuch als Steigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve im linearen Bereich. |
| Querkontraktionszahl ν | Die Querkontraktionszahl (Poissonsche Zahl) ist das Verhältnis von Querdehnung zu Längsdehnung im Zugversuch, ohne Vorzeichen eingegeben: Ein Stab, der sich längs um 0,1 % dehnt, wird bei ν = 0,3 um 0,03 % dünner. Woher: Werkstofftabelle – für die meisten metallischen Werkstoffe gilt ν ≈ 0,3, für Gummi nahe 0,5, für Kork nahe 0, für Beton ≈ 0,2. Als Dezimalzahl eingeben, nicht in Prozent. Der thermodynamisch mögliche Bereich isotroper Werkstoffe endet bei ν = 0,5 (volumenkonstant, inkompressibel). |
E ist der Elastizitätsmodul aus der Werkstofftabelle (Baustahl ≈ 210 GPa, Aluminium ≈ 70 GPa, Kupfer ≈ 120 GPa). ν ist die Querkontraktionszahl, ohne Vorzeichen und als Dezimalzahl eingegeben: für nahezu alle metallischen Werkstoffe ≈ 0,3, für Beton ≈ 0,2, für Gummi nahe 0,5, für Kork nahe 0. Beide Werte müssen zum gleichen Werkstoff und zur gleichen Temperatur gehören.
Zielgröße wählen und die beiden bekannten Konstanten eintragen. In der Praxis ist das fast immer E und ν aus der Werkstofftabelle, gesucht wird G. Liegen umgekehrt E und G aus Versuchen vor, lässt sich ν ermitteln und damit die Isotropie-Annahme prüfen: ein aus E und G rückgerechnetes ν außerhalb von etwa 0 bis 0,5 ist ein starkes Indiz dafür, dass der Werkstoff nicht isotrop ist oder die Messwerte fehlerhaft sind.
Baustahl mit E = 210 GPa und ν = 0,3: G = 210 GPa/(2·(1+0,3)) = 210/2,6 GPa = 80,77 GPa. Der Tabellenwert für Stahl liegt bei etwa 81 GPa – die Beziehung wird damit unabhängig bestätigt. Aluminium mit E = 70 GPa und ν = 0,33 ergibt G = 26,3 GPa, ebenfalls in guter Übereinstimmung mit dem Tabellenwert von rund 26 GPa. Rechnet man Stahl mit ν = 1/3 statt 0,3, ergibt sich G = 78,75 GPa: die Unsicherheit in ν wirkt sich nur schwach aus, weil ν lediglich als (1+ν) eingeht.
Für metallische Werkstoffe mit ν ≈ 0,3 ist G stets etwa 38 % von E – eine nützliche Kopfrechnung zur Plausibilitätskontrolle. Die Grenzen des isotropen Bereichs zeigen, wie wenig Spielraum bleibt: bei ν = 0 wäre G = E/2, bei ν = 0,5 (volumenkonstant, inkompressibel wie Gummi) G = E/3. G kann also nie kleiner als ein Drittel und nie größer als die Hälfte von E sein. Wer einen G-Wert außerhalb dieses Bandes vorfindet, hat entweder einen anisotropen Werkstoff oder einen Fehler in den Daten.
Intern wird in Pascal gerechnet. E und G dürfen unabhängig voneinander in GPa, MPa, kPa, psi oder ksi eingegeben werden. ν ist dimensionslos und wird als Dezimalzahl eingegeben – 0,3 und nicht 30 %. Da G und E stets dasselbe Verhältnis haben, ist das Ergebnis unabhängig vom gewählten Einheitensystem.
Torsionsberechnungen an Wellen (Verdrehwinkel, Torsionsträgheitsmoment G·It), Federraten von Schraubendruck- und Schenkelfedern, Schubverformung von Elastomerlagern, Scherbeanspruchung von Klebe- und Nietverbindungen, Eingabewert für FEM-Werkstoffmodelle sowie die Umrechnung unvollständiger Werkstoffdatenblätter.
Gilt ausschließlich für homogene, isotrope, linear-elastische Werkstoffe; nur dort gibt es genau zwei unabhängige Elastizitätskonstanten. Für Faserverbunde, Holz, Einkristalle, gewalzte Bleche mit starker Textur und gerichtet erstarrte Gefüge ist die Beziehung nicht anwendbar – E, G und ν sind dort richtungsabhängig und müssen getrennt gemessen werden. Ebenfalls außerhalb des Modells liegen nichtlineares und viskoelastisches Verhalten von Kunststoffen und Elastomeren, Plastifizierung oberhalb der Streckgrenze sowie die Temperaturabhängigkeit aller drei Kennwerte.
Typischer Fehler: Häufig wird ν in Prozent eingegeben (30 statt 0,3), was ein völlig falsches G liefert. Ebenso verbreitet ist die Verwechslung von E und G in Torsionsformeln – ein Verdrehwinkel, der mit E statt G gerechnet wird, fällt um etwa den Faktor 2,6 zu klein aus. Ein weiterer Fehler ist die Anwendung auf Faserverbunde oder Holz: dort ist die Beziehung falsch, und ein aus E und ν errechnetes G kann die Schubsteifigkeit erheblich überschätzen.
Torsionsberechnungen an Wellen (Verdrehwinkel, Torsionsträgheitsmoment G·It), Federraten von Schraubendruck- und Schenkelfedern, Schubverformung von Elastomerlagern, Scherbeanspruchung von Klebe- und Nietverbindungen, Eingabewert für FEM-Werkstoffmodelle sowie die Umrechnung unvollständiger Werkstoffdatenblätter.
E ist der Elastizitätsmodul aus der Werkstofftabelle (Baustahl ≈ 210 GPa, Aluminium ≈ 70 GPa, Kupfer ≈ 120 GPa). ν ist die Querkontraktionszahl, ohne Vorzeichen und als Dezimalzahl eingegeben: für nahezu alle metallischen Werkstoffe ≈ 0,3, für Beton ≈ 0,2, für Gummi nahe 0,5, für Kork nahe 0. Beide Werte müssen zum gleichen Werkstoff und zur gleichen Temperatur gehören.
Gilt ausschließlich für homogene, isotrope, linear-elastische Werkstoffe; nur dort gibt es genau zwei unabhängige Elastizitätskonstanten. Für Faserverbunde, Holz, Einkristalle, gewalzte Bleche mit starker Textur und gerichtet erstarrte Gefüge ist die Beziehung nicht anwendbar – E, G und ν sind dort richtungsabhängig und müssen getrennt gemessen werden. Ebenfalls außerhalb des Modells liegen nichtlineares und viskoelastisches Verhalten von Kunststoffen und Elastomeren, Plastifizierung oberhalb der Streckgrenze sowie die Temperaturabhängigkeit aller drei Kennwerte.