Ein gezogener Stab wird nicht nur länger, sondern auch dünner. Berechne die Querdehnung εq = −ν·εl und die absolute Durchmesser- oder Breitenänderung Δd = εq·d₀ aus Längsdehnung, Querkontraktionszahl und Ausgangsmaß – oder umgekehrt die Querkontraktionszahl aus gemessenen Verformungen.
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Ein gezogener Stab wird nicht nur länger, sondern auch dünner. Berechne die Querdehnung εq = −ν·εl und die absolute Durchmesser- oder Breitenänderung Δd = εq·d₀ aus Längsdehnung, Querkontraktionszahl und Ausgangsmaß – oder umgekehrt die Querkontraktionszahl aus gemessenen Verformungen.
Ein Rundstab aus Stahl (ν = 0,3) mit d₀ = 20 mm wird längs um εl = 0,001 (= 0,1 % = 1.000 µm/m) gedehnt. Die Querdehnung ist εq = −0,3·0,001 = −0,0003, und der Durchmesser nimmt um Δd = −0,0003·20 mm = −0,006 mm = −6 µm ab. Umgekehrt gilt: misst man an diesem Stab eine Durchmesserabnahme von 6 µm bei 1.000 µm/m Längsdehnung, folgt daraus ν = 0,3 – so wird die Querkontraktionszahl im Zugversuch tatsächlich bestimmt.
Gilt für homogene, isotrope, linear-elastische Werkstoffe im einachsigen Spannungszustand, also für einen Stab, der nur in Längsrichtung belastet ist und sich quer frei verformen kann. Bei mehrachsiger Belastung überlagern sich die Querdehnungen aus allen Spannungskomponenten; dann ist das vollständige Hookesche Gesetz zu verwenden. Nicht enthalten sind behinderte Querdehnung (etwa in einer Passung oder unter einer Pressscheibe), Plastifizierung oberhalb der Streckgrenze, bei der die Querkontraktionszahl gegen 0,5 wandert, anisotrope Werkstoffe wie Faserverbunde und Holz sowie thermische Dehnungen.
Ein gezogener Stab wird nicht nur länger, sondern gleichzeitig dünner. Der Rechner bestimmt diese Querdehnung und die daraus folgende absolute Durchmesser- oder Breitenänderung – und lässt sich umstellen, um aus gemessenen Verformungen die Querkontraktionszahl selbst zu ermitteln.
Im Zugversuch beobachtet man, dass sich ein Werkstoff senkrecht zur Zugrichtung zusammenzieht. Dieser Effekt heißt Querkontraktion. Der Betrag der Querdehnung ist proportional zur Längsdehnung; den dimensionslosen Proportionalitätsfaktor nennt man Querkontraktionszahl oder Poissonsche Zahl ν. Es gilt εq = −ν·εl, wobei das Minuszeichen die Umkehrung des Vorzeichens ausdrückt: Längung in eine Richtung bedeutet Verkürzung in den beiden anderen. Multipliziert mit dem Ausgangsmaß d₀ ergibt sich die absolute Änderung Δd = εq·d₀.
Wie ein Stück Knetmasse, das man zwischen den Händen auszieht: Je länger es wird, desto dünner. Bei Metall passiert genau dasselbe, nur in Größenordnungen von Mikrometern statt Millimetern – und anders als bei Knete geht es beim Entlasten vollständig zurück.
εq = −ν · εl; Δd = εq · d₀ = −ν · εl · d₀
Querdehnung: εq = −ν·εlQuermaßänderung: Δd = εq·d₀ = −ν·εl·d₀Querkontraktionszahl aus Messwerten: ν = −Δd/(εl·d₀)Längsdehnung aus Spannung: εl = σ/EVolumenkonstanz als Grenzfall: ν = 0,5| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Quermaßänderung Δd | Die absolute Änderung des Quermaßes: negativ bei Zug (der Stab wird dünner), positiv bei Druck (er wird dicker). Bei einem Rundstab ist das die Durchmesseränderung, bei einem Flachstab die Breiten- oder Dickenänderung. Typische Größenordnung im elastischen Bereich: wenige Mikrometer – deshalb ist µm die Voreinstellung. |
| Querkontraktionszahl ν | Die Querkontraktionszahl (Poissonsche Zahl) als positive Dezimalzahl: Sie gibt an, welcher Anteil der Längsdehnung als Querdehnung mit umgekehrtem Vorzeichen auftritt. Woher: Werkstofftabelle – für die meisten metallischen Werkstoffe ν ≈ 0,3, Beton ≈ 0,2, Gummi nahe 0,5, Kork nahe 0. Das Minuszeichen steckt bereits in der Formel und darf nicht zusätzlich eingegeben werden. Bei ν = 0,5 bleibt das Volumen konstant; größere Werte sind bei isotropen Werkstoffen physikalisch nicht möglich. |
| Längsdehnung εl | Die Dehnung in Belastungsrichtung als Bruchzahl, nicht in Prozent: 0,001 entspricht 0,1 % beziehungsweise 1.000 µm/m. Positiv bei Zug, negativ bei Druck. Woher: Dehnungsmessstreifen, Extensometer oder aus εl = σ/E mit der Spannung und dem Elastizitätsmodul. Muss im linear-elastischen Bereich liegen, also unterhalb der Streckgrenze. |
| Ausgangsquermaß d₀ | Das unbelastete Quermaß, auf das sich die Querdehnung bezieht: der Ausgangsdurchmesser eines Rundstabes oder die Ausgangsbreite beziehungsweise -dicke eines Flachstabes. Bei nicht-quadratischen Querschnitten sind Breite und Dicke getrennt zu rechnen, weil beide dieselbe Querdehnung erfahren, aber unterschiedliche absolute Änderungen ergeben. |
ν ist die Querkontraktionszahl als positive Dezimalzahl aus der Werkstofftabelle (Metalle ≈ 0,3, Beton ≈ 0,2, Gummi nahe 0,5). Das Minuszeichen steckt bereits in der Formel. εl ist die Längsdehnung als Bruchzahl, positiv bei Zug und negativ bei Druck; sie kommt aus einem Dehnungsmessstreifen, einem Extensometer oder aus εl = σ/E. d₀ ist das unbelastete Quermaß, also der Ausgangsdurchmesser eines Rundstabes beziehungsweise die Ausgangsbreite oder -dicke eines Flachstabes.
Für die Vorwärtsrechnung ν und d₀ aus Werkstoff- und Zeichnungsangaben eintragen und die Längsdehnung entweder messen oder aus εl = σ/E berechnen. Das Ergebnis Δd ist negativ bei Zug und positiv bei Druck. Für die Rückwärtsrechnung – die Bestimmung von ν im Zugversuch – die gemessene Quermaßänderung mit Vorzeichen sowie die gemessene Längsdehnung eintragen und ν als Zielgröße wählen. Bei nicht-quadratischen Querschnitten Breite und Dicke getrennt rechnen: die Querdehnung ist dieselbe, die absoluten Änderungen sind es nicht.
Ein Rundstab aus Stahl mit ν = 0,3 und d₀ = 20 mm wird längs um εl = 0,001 gedehnt, also um 0,1 % beziehungsweise 1.000 µm/m. Die Querdehnung ist dann εq = −0,3·0,001 = −0,0003, und der Durchmesser nimmt um Δd = −0,0003·20 mm = −0,006 mm = −6 µm ab. Zum Vergleich: die Längenänderung eines 200 mm langen Stabes beträgt bei derselben Dehnung +0,2 mm, ist also mehr als dreißigmal größer. Rückwärts gerechnet liefert eine gemessene Durchmesserabnahme von 6 µm bei 1.000 µm/m Längsdehnung genau ν = 0,3 – so wird die Querkontraktionszahl im Zugversuch tatsächlich bestimmt.
Die Querdehnung ist bei Metallen stets deutlich kleiner als die Längsdehnung, weil ν ≈ 0,3 gilt. Absolute Quermaßänderungen bleiben daher im Mikrometerbereich und sind nur mit Messuhr, Dehnungsmessstreifen oder optischer Messtechnik erfassbar. Entscheidend wird die Querkontraktion dort, wo sie behindert wird: Kann sich ein Bauteil quer nicht frei verformen – etwa in einer Presspassung oder unter einer großflächigen Druckplatte – entstehen zusätzliche Querspannungen, die die Beanspruchung gegenüber dem einachsigen Fall deutlich verändern.
Intern wird in Metern gerechnet. Die Quermaßänderung Δd ist standardmäßig in Mikrometern angegeben, weil sie im elastischen Bereich sehr klein ist; mm, cm, m oder Zoll sind ebenso möglich. d₀ wird üblicherweise in mm eingegeben. Längs- und Querdehnung sind dimensionslos: 0,001 entspricht 0,1 % beziehungsweise 1.000 µm/m – als Dezimalzahl eingeben, nicht in Prozent und nicht in µm/m.
Auswertung von Zugversuchen und Bestimmung der Querkontraktionszahl; Beurteilung von Durchmesseränderungen an Zug- und Druckstäben, Bolzen und Wellen; Passungs- und Fügeberechnungen, bei denen sich die Fugenpressung durch Querdehnung ändert; Auslegung von Dehnungsmessstreifen-Anordnungen, die gezielt Längs- und Querdehnung erfassen; Plausibilitätskontrolle von FEM-Ergebnissen.
Gilt für homogene, isotrope, linear-elastische Werkstoffe im einachsigen Spannungszustand, also für einen nur längs belasteten Stab, der sich quer frei verformen kann. Bei mehrachsiger Belastung überlagern sich die Querdehnungen aller Spannungskomponenten und es ist das vollständige Hookesche Gesetz zu verwenden. Nicht abgebildet sind behinderte Querdehnung, Plastifizierung oberhalb der Streckgrenze (dort wandert die effektive Querkontraktionszahl gegen 0,5, weil sich das Volumen bei plastischer Verformung nicht ändert), anisotrope Werkstoffe wie Faserverbunde und Holz sowie thermische Dehnungen.
Typischer Fehler: Am häufigsten wird ν mit negativem Vorzeichen eingegeben, obwohl das Minuszeichen schon in der Formel steht – das Ergebnis erhält dann das falsche Vorzeichen. Ebenso verbreitet ist die Eingabe der Dehnung in Prozent (0,1 statt 0,001) oder in µm/m (1000 statt 0,001), was um Faktor 100 beziehungsweise 10⁶ falsch liegt. Ein inhaltlicher Fehler ist, die Querkontraktion mit der Querschnittsverminderung im Zugversuch nach dem Bruch zu verwechseln: diese Brucheinschnürung ist eine plastische Größe und hat mit der elastischen Querkontraktionszahl nichts zu tun.
Auswertung von Zugversuchen und Bestimmung der Querkontraktionszahl; Beurteilung von Durchmesseränderungen an Zug- und Druckstäben, Bolzen und Wellen; Passungs- und Fügeberechnungen, bei denen sich die Fugenpressung durch Querdehnung ändert; Auslegung von Dehnungsmessstreifen-Anordnungen, die gezielt Längs- und Querdehnung erfassen; Plausibilitätskontrolle von FEM-Ergebnissen.
ν ist die Querkontraktionszahl als positive Dezimalzahl aus der Werkstofftabelle (Metalle ≈ 0,3, Beton ≈ 0,2, Gummi nahe 0,5). Das Minuszeichen steckt bereits in der Formel. εl ist die Längsdehnung als Bruchzahl, positiv bei Zug und negativ bei Druck; sie kommt aus einem Dehnungsmessstreifen, einem Extensometer oder aus εl = σ/E. d₀ ist das unbelastete Quermaß, also der Ausgangsdurchmesser eines Rundstabes beziehungsweise die Ausgangsbreite oder -dicke eines Flachstabes.
Gilt für homogene, isotrope, linear-elastische Werkstoffe im einachsigen Spannungszustand, also für einen nur längs belasteten Stab, der sich quer frei verformen kann. Bei mehrachsiger Belastung überlagern sich die Querdehnungen aller Spannungskomponenten und es ist das vollständige Hookesche Gesetz zu verwenden. Nicht abgebildet sind behinderte Querdehnung, Plastifizierung oberhalb der Streckgrenze (dort wandert die effektive Querkontraktionszahl gegen 0,5, weil sich das Volumen bei plastischer Verformung nicht ändert), anisotrope Werkstoffe wie Faserverbunde und Holz sowie thermische Dehnungen.