Dehnungsmessstreifen · Messtechnik

Welle: Längskraft, Biegemoment und Drehmoment aus drei DMS-Brücken

Aus den Dehnungen (oder Signalen) einer längskraft-, einer biege- und einer torsionsempfindlichen Vollbrücke auf einer Voll- oder Hohlwelle alle drei Belastungskomponenten gleichzeitig zurückrechnen – und dazu die größte Normalspannung und die Vergleichsspannung an der Oberfläche.

DMSKeil 2017
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Eingaben

Kreis- oder Kreisringquerschnitt ohne Kerben am Messort; Biegung um eine Achse (die Biege-Brücke muss in der Biegeebene liegen, sonst misst sie nur eine Komponente). Ideale Trennung der Komponenten setzt exakte Geometrie und DMS-Ausrichtung voraus – Keil weist auf Übersprechen hin, das nur eine Kalibrierung erfasst (siehe Rechner Übersprechkorrektur). Linear-elastisch.

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Ergebnisse

Werte eingeben und Berechnung starten.

Methode

Was wird berechnet?

Keil beschreibt in Abschn. 10.4, wie drei unterschiedlich verschaltete Vollbrücken auf einem stabförmigen Messkörper die Belastungskomponenten trennen: Die Längskraft-Brücke (Abb. 10.38a) reagiert nur auf Zug/Druck, die Biege-Brücke (b) nur auf Biegung, die Torsions-Brücke (c) nur auf Verdrehung – jeweils weil sich die anderen Anteile in benachbarten Brückenzweigen aufheben. Aus den drei Dehnungen folgen mit dem Hookeschen Gesetz die Spannungen und mit Fläche, Widerstandsmoment und polarem Widerstandsmoment die Kraft und die beiden Momente (Keil: N_z = σ·A, M = σ·W, M_d = τ·W_p). Für die Beurteilung der Werkstoffanstrengung fasst die Vergleichsspannung nach v. Mises (Keil Gl. 13.1) Normal- und Schubspannung zusammen.

Gleichungen

ε = 4·(U_M/U_B)/(k·B) je Brücke (Keil Gl. 4.8, nur Modus Signal)

σ_N = E·ε_N, N = σ_N·A (Keil Abschn. 10.2.1, 10.4)

σ_b = E·ε_b, M_b = σ_b·W_b, W_b = π/(32·d_a)·(d_a⁴ − d_i⁴) (Keil Gl. 10.6, Abschn. 10.4; W_b = W_p/2)

τ = E·ε₄₅/(1+ν), M_t = τ·W_p, W_p = π/(16·d_a)·(d_a⁴ − d_i⁴) (Keil Gl. 10.35–10.38)

σ_v = √((σ_N+σ_b)² + 3τ²) (aus Keil Gl. 13.1 mit σ₃ = 0)

Grenzen

Voraussetzungen und typischer Fehler

Kreis- oder Kreisringquerschnitt ohne Kerben am Messort; Biegung um eine Achse (die Biege-Brücke muss in der Biegeebene liegen, sonst misst sie nur eine Komponente). Ideale Trennung der Komponenten setzt exakte Geometrie und DMS-Ausrichtung voraus – Keil weist auf Übersprechen hin, das nur eine Kalibrierung erfasst (siehe Rechner Übersprechkorrektur). Linear-elastisch.

Die Summe der Brückendehnung statt der Dehnung eines Einzelstreifens eingeben (Faktor 2 bis 4 Fehler); die Biege-Brücke 90° neben der Biegeebene anbringen (Anzeige null trotz Biegung); im Modus Signal einen anderen k-Faktor als im Verstärker verwenden.

Eingaben

Was du eingibst – und woher die Werte kommen

Was liegt als Messwert vor?
Wähle, welche Zahlen dir vorliegen. Zeigt der Messverstärker für jede Brücke bereits eine Dehnung in µm/m an (Mikrometer pro Meter; 1000 µm/m = 0,1 % Längenänderung), ‚Dehnung‘ wählen – dann die Dehnung eines Einzelstreifens je Brücke eingeben. Zeigt er die rohen Brückensignale in mV/V (Millivolt Ausgangsspannung je Volt Speisespannung), ‚Signal‘ wählen; dann werden k-Faktor und Brückenaufbau für die Umrechnung gebraucht.
Dehnung Längskraft-Brücke ε_N [µm/m]
Die Längsdehnung eines einzelnen Streifens der Längskraft-Brücke (Keil Abb. 10.38a: längs geklebte Streifen so verschaltet, dass Biegung sich aufhebt). Positiv = Zug, negativ = Druck. Woher: Anzeige des Messverstärkers für diese Brücke nach Nullabgleich am unbelasteten Bauteil.
Dehnung Biege-Brücke ε_b [µm/m]
Die Randfaserdehnung eines einzelnen Streifens der Biege-Brücke (Keil Abb. 10.38b: längs geklebte Streifen oben und unten in der Biegeebene, so verschaltet, dass Längskraft sich aufhebt). Positiv auf der Zugseite. Woher: Anzeige des Messverstärkers für diese Brücke nach Nullabgleich.
Dehnung Torsions-Brücke ε₄₅ [µm/m]
Die Dehnung eines einzelnen unter 45° zur Wellenachse geklebten Streifens der Torsions-Brücke (Keil Abb. 10.38c: zwei ±45°-Paare gegenüber, Längskraft und Biegung heben sich auf). Vorzeichen gibt die Drehrichtung. Woher: Anzeige des Messverstärkers für diese Brücke nach Nullabgleich.
Signal Längskraft-Brücke [mV/V]
Das rohe Signal der Längskraft-Brücke in mV/V (Ausgangsspannung geteilt durch Speisespannung), nur im Modus ‚Signal‘. Der Rechner rechnet es mit k-Faktor und dem gewählten Brückenaufbau in die Dehnung eines Einzelstreifens um. Woher: Messverstärker im Modus mV/V nach Nullabgleich.
Signal Biege-Brücke [mV/V]
Das rohe Signal der Biege-Brücke in mV/V, nur im Modus ‚Signal‘. Die Biege-Brücke ist eine Vollbrücke mit zwei Streifen oben und zwei unten, Brückenfaktor 4 (Keil Gl. 10.14: U_M/U_B = k·ε). Woher: Messverstärker im Modus mV/V nach Nullabgleich.
Signal Torsions-Brücke [mV/V]
Das rohe Signal der Torsions-Brücke in mV/V, nur im Modus ‚Signal‘. Die Torsions-Brücke ist eine Vollbrücke aus zwei ±45°-Paaren, Brückenfaktor 4 (Keil Gl. 10.41: U_M/U_B = k·ε₄₅). Woher: Messverstärker im Modus mV/V nach Nullabgleich.
k-Faktor
Der k-Faktor ist die Empfindlichkeit des Dehnungsmessstreifens: Er sagt, wie stark sich der elektrische Widerstand ändert, wenn der Streifen gedehnt wird (ΔR/R = k·ε). Ohne ihn lässt sich aus einem elektrischen Signal keine Dehnung berechnen. Woher: Er steht auf jeder DMS-Packung bzw. im Datenblatt des Herstellers, typisch 2,0 bis 2,1 für Konstantan-Folienstreifen; die Angabe gilt für Raumtemperatur. Der Wert muss auch im Messverstärker eingestellt sein.
Aufbau der Längskraft-Brücke
Wie die Längskraft-Brücke aufgebaut ist – nur im Modus ‚Signal‘ relevant. Zwei Längs- und zwei Querstreifen (Keils Stützstab, Abschn. 10.2.1) haben den Brückenfaktor 2(1+ν), weil die Querstreifen die Querkontraktion mitmessen. Zwei gegenüberliegende Längsstreifen mit zwei unbelasteten Kompensationsstreifen haben den Brückenfaktor 2. Woher: eigene Verdrahtung oder Datenblatt der Messwelle.
Außendurchmesser d_a [mm]
Der Außendurchmesser der Welle genau an der Stelle, an der die DMS kleben. Er geht in die Fläche quadratisch und in die Widerstandsmomente mit der dritten Potenz ein – kleine Messfehler wirken sich deutlich auf die Momente aus. Woher: Messschieber oder Zeichnung.
Innendurchmesser d_i (0 = Vollwelle) [mm]
Der Bohrungsdurchmesser, falls die Welle hohl ist; 0 für eine Vollwelle eintragen. Die Bohrung verringert die Fläche stärker als die Widerstandsmomente, weil das Material in der Mitte bei Biegung und Torsion ohnehin wenig trägt. Woher: Zeichnung oder Messung an der Stirnseite.
Elastizitätsmodul E [N/mm²]
Der Elastizitätsmodul beschreibt, wie steif der Werkstoff des Bauteils ist – wie viel Spannung nötig ist, um eine bestimmte Dehnung zu erzeugen (σ = E·ε). Er wird gebraucht, um aus gemessenen oder berechneten Dehnungen Spannungen zu machen und umgekehrt. Woher: Werkstofftabellen oder Datenblatt; Stahl ≈ 210 000 N/mm², Aluminium ≈ 70 000 N/mm², Titan ≈ 110 000 N/mm². Bei erhöhter Temperatur sinkt E.
Querdehnungszahl ν
Die Querdehnungszahl (Poisson-Zahl) gibt an, wie stark sich ein Werkstoff quer zusammenzieht, wenn er in Längsrichtung gedehnt wird: ε_quer = −ν·ε_längs. Sie ist wichtig, weil quer geklebte DMS genau diese Querdehnung messen und weil bei zweiachsigen Spannungszuständen beide Richtungen zusammenwirken. Woher: Werkstofftabellen; Stahl 0,28–0,30, Aluminium 0,33, Kunststoffe 0,35–0,45.
Einordnung

Wofür der Rechner da ist

Betriebslastmessung an Antriebs- und Getriebewellen, Roboterglieder und Greifer (Keils Sechs-Brücken-Beispiel), Bohrgestänge, Achsen und Zapfen, bei denen Zug/Druck, Biegung und Torsion gleichzeitig auftreten.

Wie es weitergeht

  1. Drei Vollbrücken nach Abb. 10.38 installieren: Längs-Brücke und Biege-Brücke mit längs geklebten Streifen, Torsions-Brücke mit ±45°-Streifen; alle am unbelasteten Bauteil abgleichen.
  2. Unter Last die drei Dehnungen bzw. Signale ablesen und eintragen, Wellendurchmesser am Messort und Werkstoffdaten eingeben.
  3. N, M_b, M_t mit den erwarteten Lasten vergleichen; σ_v gegen die Streckgrenze (mit Sicherheitsfaktor) prüfen.
Ergebnisse

So liest du die Ergebnisse

  • Die ersten drei Ergebnisse sind die Lasten (Kraft, Biegemoment, Drehmoment), die folgenden drei die zugehörigen Spannungen, die letzten beiden fassen die Spannungen für den Festigkeitsnachweis zusammen.
  • Jede Brücke liefert genau eine Komponente – die Ergebnisse sind nur so sauber getrennt wie die Installation. Zeigt die Torsions-Brücke bei reiner Biegung einen Ausschlag, liegt Übersprechen vor (Keil Abschn. 10.4); dann mit dem Rechner Übersprechkorrektur arbeiten.
  • Bei rotierenden Wellen ist die Biegespannung eine Wechselspannung, Längs- und Torsionsspannung sind meist ruhend oder schwellend – für einen Dauerfestigkeitsnachweis (z. B. DIN 743) getrennt betrachten.
Ergebnisgrößen

Was jeder Wert bedeutet

Längskraft N [kN]
Die Längskraft, die die Welle an der Messstelle überträgt (Längsspannung mal Fläche). Positiv = Zug, negativ = Druck. Mit der erwarteten Axiallast (z. B. aus Schrägverzahnung oder Vorspannung) vergleichen.
Biegemoment M_b [N·m]
Das Biegemoment an der Messstelle in der Ebene der Biege-Brücke (Biegespannung mal Widerstandsmoment). Es hängt vom Ort ab – näher am Lager oder an der Krafteinleitung ist es anders. Mit dem erwarteten Moment aus Lagerabstand und Querkraft vergleichen.
Drehmoment M_t [N·m]
Das Drehmoment, das die Welle überträgt (Schubspannung mal polares Widerstandsmoment) – meist die wichtigste Größe. Mit dem Nennmoment des Antriebs vergleichen; Leistung = 2π·n·M_t/60.
Längsspannung σ_N [N/mm²]
Die über den Querschnitt gleichmäßige Zug- oder Druckspannung aus der Längskraft. Meist klein gegenüber der Biegespannung.
Biegespannung σ_b (Randfaser) [N/mm²]
Die Biegespannung in der Randfaser – Zug auf der einen, Druck auf der gegenüberliegenden Seite. Bei einer rotierenden Welle wechselt sie in jeder Umdrehung das Vorzeichen: das ist die für Dauerfestigkeit entscheidende Wechselspannung.
Schubspannung τ [N/mm²]
Die Schubspannung aus Torsion an der Oberfläche, aus der 45°-Dehnung mit dem Faktor E/(1+ν) berechnet. Mit der zulässigen Torsionsspannung vergleichen.
Größte Normalspannung |σ_N|+|σ_b| [N/mm²]
Die größte Normalspannung am Umfang: dort, wo Längs- und Biegespannung gleichsinnig wirken, addieren sich ihre Beträge. Das ist der ungünstigste Punkt des Querschnitts.
Vergleichsspannung σ_v (v. Mises) [N/mm²]
Die Vergleichsspannung nach v. Mises fasst die größte Normalspannung und die Schubspannung zu einer Zahl zusammen, die sich direkt mit der Streckgrenze aus dem Zugversuch vergleichen lässt (Keil Kap. 13). Sicherheit = Streckgrenze / σ_v; unter etwa 1,5 wird es kritisch.
Quelle

Fachliche Grundlage

Keil, Dehnungsmessstreifen, 2. Aufl. 2017, Abschn. 10.4 Gleichzeitiges Erfassen mehrerer Belastungskomponenten, Abb. 10.38–10.40; Abschn. 10.2.1, 10.2.2 Gl. (10.6), 10.2.3 Gl. (10.35)–(10.38); Kap. 13, Gl. (13.1)–(13.3); Abschn. 4.2, Gl. (4.8).

Die Quelle belegt die Gleichungsstruktur und die Zahlenbeispiele; dieser Rechner ersetzt keine Kalibrierung der Messkette.

FAQ

Häufige Fragen

Warum reichen drei Brücken für drei Lastgrößen?

Weil jede Brücke durch ihre Verschaltung nur auf eine Komponente anspricht (Keil Abb. 10.38): Längsdehnungen heben sich in der Biege-Brücke auf, Biegedehnungen in der Längs-Brücke, und Torsion erzeugt in längs geklebten Streifen gar keine Dehnung.

Was, wenn die Biegung in unbekannter Richtung wirkt?

Dann braucht es zwei Biege-Brücken um 90° versetzt (Keil-Greifer: M_x und M_y); das resultierende Moment ist √(M_x²+M_y²). Dieser Rechner nimmt eine Biege-Brücke in der Biegeebene an.

Wie kommt σ_v zustande?

Aus Keils Gl. (13.1) mit den Hauptspannungen des ebenen Zustands aus σ = σ_N+σ_b und τ; das ergibt die bekannte Form √(σ²+3τ²). Sie ist mit der Streckgrenze aus dem Zugversuch vergleichbar.