Querkraft an einem Scherstab aus gemessener 45°-Dehnung

Was wird berechnet?

Eine Querkraft erzeugt im Steg eines Balkens Schubspannungen. Schub verzerrt das Material nur (Winkeländerung) und lässt sich mit DMS nicht direkt messen – aber unter 45° zur Schubrichtung wirken zwei gleich große Hauptnormalspannungen mit entgegengesetztem Vorzeichen (Keil Abb. 10.23), und deren Dehnungen misst ein 45°-Streifen. Über das Hookesche Gesetz für den ebenen Spannungszustand ergibt sich τ = E·ε₄₅/(1+ν); mit Keils Näherung τ ≈ F/A_Steg für die Stegmitte folgt die Querkraft. Keils Scherstab (Steg 46 × 4,6 mm, E = 209 000 N/mm², ν = 0,3) liefert bei 870 µm/m τ = 140 N/mm² und F ≈ 30 kN – genau die Nennkraft, für die er ausgelegt wurde.

Gleichungen

ε₄₅ = 4·(U_M/U_B)/(k·B) (Keil Gl. 4.8 bzw. 10.43, nur Modus Signal)

σ₁ = −σ₂ = E/(1−ν²)·(ε₁ + ν·ε₂) mit ε₂ = −ε₁ ⇒ σ₁ = E·ε₄₅/(1+ν) (Keil Gl. 10.44)

τ_max = σ₁ (reiner Schub: Hauptspannungen unter 45°, Keil Abb. 10.23)

F = τ_max·A_Steg (Umkehrung von Keil Gl. 10.42)

Voraussetzungen und typischer Fehler

Reiner Schubspannungszustand in Stegmitte; τ ≈ F/A_Steg ist eine Näherung für dünne Stege (Keil: ‚für die Abschätzung ausreichende Genauigkeit‘) – die genaue Schubspannungsverteilung nach Dubbel ist in der Stegmitte etwas höher. DMS genau in der neutralen Faser, sonst geht Biegung ein. Linear-elastisch; Temperaturkompensation der Speisung nicht enthalten.

Die Fläche des gesamten Profils statt nur des Stegs einsetzen (Flansche tragen keinen nennenswerten Schub); Streifen längs statt unter 45° kleben – dort ist die Dehnung aus Schub null; im Modus Signal den falschen Brückenfaktor wählen.

Was du eingibst – und woher die Werte kommen

Was liegt als Messwert vor?

Wähle, welche Zahl dir vorliegt. Zeigt der Messverstärker bereits eine Dehnung in µm/m an (Mikrometer pro Meter; 1000 µm/m = 0,1 % Längenänderung), ‚Dehnung‘ wählen. Zeigt er nur das Rohsignal der Wheatstone-Brücke in mV/V (Millivolt Ausgangsspannung je Volt Speisespannung), ‚Signal‘ wählen; dann werden k-Faktor und Brückenschaltung für die Umrechnung gebraucht.

Gemessene Dehnung unter 45° ε₄₅ [µm/m]

Die Dehnung, die ein in Stegmitte unter 45° zur Kraftrichtung geklebter Streifen anzeigt. Unter +45° ist sie positiv (Zug), unter −45° gleich groß negativ (Druck) – das ist das Kennzeichen von reinem Schub. Bei Halb- oder Vollbrücke die Dehnung eines einzelnen Streifens eingeben. Woher: Anzeige des Messverstärkers nach Nullabgleich am unbelasteten Stab.

Brückensignal U_M/U_B [mV/V]

Das rohe Brückensignal: Ausgangsspannung der Wheatstone-Brücke geteilt durch die Speisespannung, in mV/V. Keils Scherstab ist auf 1,74 mV/V bei 30 kN ausgelegt (vor der Temperaturkompensation der Speisung). Woher: Anzeige des Messverstärkers im Modus mV/V nach Nullabgleich.

k-Faktor

Der k-Faktor ist die Empfindlichkeit des Dehnungsmessstreifens: Er sagt, wie stark sich der elektrische Widerstand ändert, wenn der Streifen gedehnt wird (ΔR/R = k·ε). Ohne ihn lässt sich aus einem elektrischen Signal keine Dehnung berechnen. Woher: Er steht auf jeder DMS-Packung bzw. im Datenblatt des Herstellers, typisch 2,0 bis 2,1 für Konstantan-Folienstreifen; die Angabe gilt für Raumtemperatur. Der Wert muss auch im Messverstärker eingestellt sein.

Brückenschaltung

Wie die 45°-Streifen verschaltet sind – das legt den Brückenfaktor B fest, also wie oft die Dehnung eines Streifens im Signal steckt. Ein Streifen: B = 1. Ein Paar +45°/−45° in benachbarten Zweigen: die entgegengesetzten Dehnungen addieren sich, B = 2. Je ein Paar auf beiden Stegseiten (Keils Scherstab, Gl. 10.43): B = 4, außerdem Temperatur- und Biegekompensation. Woher: eigene Verdrahtung oder Datenblatt.

Stegfläche

Wie die Stegfläche bestimmt wird: aus Steghöhe mal Stegbreite, oder direkt eingegeben (z. B. aus der Zeichnung, wenn der Steg nicht rechteckig ist). Gemeint ist nur der dünne, senkrecht zur Kraft stehende Teil des Querschnitts, der den Schub trägt – nicht die Flansche.

Steghöhe h [mm]

Die Höhe des Stegs in Richtung der Querkraft, also der Abstand zwischen den beiden Flanschen bzw. die Höhe der Schubmembran (Keil: 46 mm). Woher: Zeichnung oder Messung an der Einfräsung.

Stegbreite b [mm]

Die Dicke des Stegs, also die Restwanddicke zwischen den beiden Einfräsungen, auf deren Grund die DMS kleben (Keil: 4,6 mm). Je dünner, desto größer die Dehnung bei gleicher Kraft. Woher: Zeichnung oder Messung.

Stegfläche A_Steg [mm²]

Die Stegfläche direkt in mm², nur wenn ‚direkt eingeben‘ gewählt ist. Keils Beispiel: 215 mm² (46 × 4,66 mm gerundet). Bei Walzprofilen: Steghöhe zwischen den Flanschen mal Stegdicke aus der Profiltabelle.

Elastizitätsmodul E [N/mm²]

Der Elastizitätsmodul beschreibt, wie steif der Werkstoff des Bauteils ist – wie viel Spannung nötig ist, um eine bestimmte Dehnung zu erzeugen (σ = E·ε). Er wird gebraucht, um aus gemessenen oder berechneten Dehnungen Spannungen zu machen und umgekehrt. Woher: Werkstofftabellen oder Datenblatt; Stahl ≈ 210 000 N/mm², Aluminium ≈ 70 000 N/mm², Titan ≈ 110 000 N/mm². Bei erhöhter Temperatur sinkt E.

Querdehnungszahl ν

Die Querdehnungszahl (Poisson-Zahl) gibt an, wie stark sich ein Werkstoff quer zusammenzieht, wenn er in Längsrichtung gedehnt wird: ε_quer = −ν·ε_längs. Sie ist wichtig, weil quer geklebte DMS genau diese Querdehnung messen und weil bei zweiachsigen Spannungszuständen beide Richtungen zusammenwirken. Woher: Werkstofftabellen; Stahl 0,28–0,30, Aluminium 0,33, Kunststoffe 0,35–0,45.

Wofür der Rechner da ist

Scherstab-Kraftaufnehmer und Wägezellen, Kraftmessung an kurzen Kragarmen, Bolzen und Achsen mit Doppel-T-Messquerschnitt, Ofen- und Fördertechnik (Keils Trageisen), Kranhaken-Lastmessbolzen.

Wie es weitergeht

1. DMS in Stegmitte (neutrale Faser, dort ist keine Biegespannung) unter ±45° zur Kraftrichtung installieren, Brücke unbelastet abgleichen.
2. Unter Last Dehnung oder Signal ablesen und eintragen; Stegmaße oder Stegfläche und Werkstoffdaten eingeben.
3. F mit der erwarteten bzw. Nennkraft vergleichen; die Empfindlichkeit als Kalibrierwert übernehmen und durch eine Prüfmaschinen-Kalibrierung bestätigen.

So liest du die Ergebnisse

• Der Rechner arbeitet rückwärts: 45°-Dehnung → Schubspannung (über das Hookesche Gesetz mit dem Faktor 1/(1+ν)) → Querkraft (Schubspannung mal Stegfläche). Die Schubspannung ist der Wert für den Festigkeitsvergleich, die Querkraft die Lastgröße.
• Die Querkraft ist eine Abschätzung mit Keils Näherung τ ≈ F/A_Steg; für Scherstab-Aufnehmer bestätigt man die Empfindlichkeit durch Kalibrieren mit bekannter Kraft.
• Ist die Dehnung unter +45° und −45° nicht gleich groß mit umgekehrtem Vorzeichen, liegt kein reiner Schub vor – dann steckt Biegung oder Längskraft im Signal und die Streifen sitzen nicht genau in der neutralen Faser.

Was jeder Wert bedeutet

Verwendete Dehnung unter 45° [µm/m]

Die 45°-Dehnung eines einzelnen Streifens, mit der gerechnet wurde – im Modus Dehnung dein Eingabewert, im Modus Signal die aus mV/V, k-Faktor und Brückenfaktor zurückgerechnete Dehnung. Zur Kontrolle der Brückenwahl.

Schubspannung τ in Stegmitte [N/mm²]

Die Schubspannung in Stegmitte, die diese Dehnung erzeugt hat – zugleich die Hauptnormalspannung unter 45°. Mit der zulässigen Schubspannung des Werkstoffs vergleichen (etwa 0,58·Streckgrenze als Fließgrenze bei Schub).

Stegfläche A_Steg [mm²]

Die verwendete Stegfläche – der Teil des Querschnitts, der die Querkraft trägt. Kontrolle: 46 × 4,6 mm = 211,6 mm².

Querkraft F [kN]

Die gesuchte Querkraft, die den Steg an der Messstelle tatsächlich belastet – die eigentliche Antwort des Rechners. Vorzeichen wie die Dehnung (Richtung der Kraft). Mit Nennkraft bzw. zulässiger Kraft vergleichen.

Querkraft je 1 µm/m [N]

Die Steifigkeit der Messstelle: so viel Querkraft entspricht 1 µm/m Dehnung (E·A_Steg/(1+ν)). Zum Kopfrechnen bei weiteren Anzeigen derselben Messstelle.

Empfindlichkeit der Messstelle [mV/V je kN]

Das Brückensignal je Kilonewton – der Kennwert, den du am Messverstärker einstellst, damit er direkt in kN anzeigt. Keils Scherstab: 0,058 mV/V je kN, nach Speisungs-Temperaturkompensation mit dem Faktor 0,92 etwas weniger.

Fachliche Grundlage

Keil, Dehnungsmessstreifen, 2. Aufl. 2017, Abschn. 10.2.4 Querkraftbeanspruchte Messobjekte, Gl. (10.42)–(10.45), Abb. 10.23–10.24; Abschn. 4.2, Gl. (4.8).

Die Quelle belegt die Gleichungsstruktur und die Zahlenbeispiele; dieser Rechner ersetzt keine Kalibrierung der Messkette.

Häufige Fragen

Im selben Cluster

• DMS-Grundgleichung: Widerstandsänderung aus Dehnung und k-Faktor
• Querempfindlichkeit: Korrektur zweier senkrecht angeordneter DMS
• Temperaturgang: scheinbare Dehnung eines DMS bei Temperaturänderung
• Brückenspeisespannung und Eigenerwärmung des DMS
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