Membran-Druckaufnehmer-Rechner

Was wird berechnet?

In einer druckbelasteten, fest eingespannten Kreismembran sind radiale und tangentiale Richtung Hauptrichtungen. Im Zentrum sind beide Dehnungen gleich und positiv, am Rand ist die Radialdehnung negativ und doppelt so groß. Membranrosetten nutzen das: zwei tangentiale Gitter in der Mitte und zwei radiale am Rand bilden eine Vollbrücke mit Dehnungen unterschiedlichen Vorzeichens in benachbarten Zweigen. Die Beziehung bleibt linear, solange die Mittendurchbiegung unter einem Viertel der Dicke bleibt.

Gleichungen

σ_z = 3p·R²(1+ν)/(8s²) (Keil Gl. 10.89)

ε_z = 3p·R²(1−ν²)/(8Es²) (Gl. 10.93)

ε_R = −3p·R²(1−ν²)/(4Es²) (Gl. 10.94)

f_z = 3R⁴p(1−ν²)/(16Es³) < s/4 (Gl. 10.95)

U_M/U_B = k/4·(2ε_z + 2|ε_R|) = 1,5·k·ε_z (ideal)

Voraussetzungen und typischer Fehler

Dünne Platte (Kirchhoff), ideal starre Einspannung, kleine Durchbiegung; das Signal ist der Idealwert bei Gittern exakt im Zentrum und am Rand – reale Rosetten liefern nach Keil deutlich weniger.

Druck in bar ohne Umrechnung als N/mm² verwenden (1 bar = 0,1 N/mm²) oder den Membrandurchmesser statt des Radius einsetzen.

Was du eingibst – und woher die Werte kommen

Druck p [bar]

Der Druck, der gleichmäßig auf eine Seite der Membran wirkt – Nenndruck des Aufnehmers oder Betriebsdruck. In bar (1 bar = 0,1 N/mm² ≈ Luftdruck). Woher: Lastenheft oder Prozessdaten.

Membranradius R [mm]

Radius der freien Membranfläche zwischen den Einspannrändern (halber freier Durchmesser). Dehnungen und Durchbiegung wachsen mit R² bzw. R⁴. Woher: Zeichnung des Membrankörpers.

Membrandicke s [mm]

Dicke der Membran. Sie geht quadratisch in die Dehnung und kubisch in die Durchbiegung ein – der wichtigste Auslegungsparameter. Woher: Zeichnung oder Messung.

Elastizitätsmodul E [N/mm²]

Der Elastizitätsmodul beschreibt, wie steif der Werkstoff des Bauteils ist – wie viel Spannung nötig ist, um eine bestimmte Dehnung zu erzeugen (σ = E·ε). Er wird gebraucht, um aus gemessenen oder berechneten Dehnungen Spannungen zu machen und umgekehrt. Woher: Werkstofftabellen oder Datenblatt; Stahl ≈ 210 000 N/mm², Aluminium ≈ 70 000 N/mm², Titan ≈ 110 000 N/mm². Bei erhöhter Temperatur sinkt E.

Querdehnungszahl ν

Die Querdehnungszahl (Poisson-Zahl) gibt an, wie stark sich ein Werkstoff quer zusammenzieht, wenn er in Längsrichtung gedehnt wird: ε_quer = −ν·ε_längs. Sie ist wichtig, weil quer geklebte DMS genau diese Querdehnung messen und weil bei zweiachsigen Spannungszuständen beide Richtungen zusammenwirken. Woher: Werkstofftabellen; Stahl 0,28–0,30, Aluminium 0,33, Kunststoffe 0,35–0,45.

k-Faktor

Der k-Faktor ist die Empfindlichkeit des Dehnungsmessstreifens: Er sagt, wie stark sich der elektrische Widerstand ändert, wenn der Streifen gedehnt wird (ΔR/R = k·ε). Ohne ihn lässt sich aus einem elektrischen Signal keine Dehnung berechnen. Woher: Er steht auf jeder DMS-Packung bzw. im Datenblatt des Herstellers, typisch 2,0 bis 2,1 für Konstantan-Folienstreifen; die Angabe gilt für Raumtemperatur. Der Wert muss auch im Messverstärker eingestellt sein.

Wofür der Rechner da ist

Auslegung von Druckaufnehmern mit Membranrosetten, Abschätzung der Dehnungen an Behälterböden und Deckeln, Wahl von Membrandicke und Rosettendurchmesser.

Wie es weitergeht

1. Nenndruck, Radius und Dicke der Membran eintragen.
2. f_z/s prüfen; bei ≥ 0,25 Membran steifer auslegen.
3. Signal mit dem tatsächlichen Rosettenlayout abgleichen – reale Gitter erfassen Mittelwerte, nicht die Extremwerte.

So liest du die Ergebnisse

• ε_z ist die Dehnung, die die inneren (tangentialen) Gitter sehen, ε_R die der äußeren (radialen) Gitter; die Vorzeichen sind verschieden, deshalb addieren sich die Beträge in der Vollbrücke.
• f_z/s ≥ 0,25 bedeutet: Membran zu weich für lineares Verhalten – Dicke erhöhen oder Radius verringern, auch wenn das Signal dadurch sinkt.

Was jeder Wert bedeutet

Spannung im Zentrum σ_z (radial = tangential) [N/mm²]

Spannung in der Membranmitte, dort in radialer und tangentialer Richtung gleich groß (zweiachsig gleich).

Dehnung im Zentrum ε_z [µm/m]

Dehnung in der Membranmitte; der Index z kennzeichnet hier das Zentrum. Diesen positiven Wert müssen die beiden inneren, tangential ausgerichteten Messgitter erfassen. Mit deren Messwert vergleichen, um Lage und Verklebung zu prüfen.

Radialdehnung am Rand ε_R [µm/m]

Radiale Dehnung am eingespannten Rand; der Index R steht für den Randradius. Diesen negativen Wert erfassen die beiden äußeren, radial ausgerichteten Gitter. Er wird in der Vollbrücke mit der positiven Mittendehnung addiert.

Mittendurchbiegung f_z [mm]

Durchbiegung der Membranmitte unter Druck. Mit verfügbarem Bauraum und zulässigem Anschlagweg vergleichen; zusammen mit der Dicke entscheidet sie außerdem, ob die lineare Plattentheorie noch gilt.

Verhältnis f_z/s (Linearität: < 0,25)

Durchbiegung bezogen auf die Dicke. Unter 0,25 bleibt die Kennlinie linear (< 0,3 % Abweichung); darüber wird die Membran zusätzlich gedehnt und das Signal nichtlinear.

Ideales Vollbrückensignal U_M/U_B [mV/V]

Ideales Vollbrückensignal je Volt Speisung, wenn die Gitter exakt Mitte und Rand erfassen; reale Rosetten liefern weniger, weil ihre Gitter Mittelwerte über Flächen bilden.

Fachliche Grundlage

Keil, Dehnungsmessstreifen, 2. Aufl. 2017, Abschn. 10.5.1 Membranrosetten, Gl. (10.87)–(10.95), Abb. 10.43–10.45.

Die Quelle belegt die Gleichungsstruktur und die Zahlenbeispiele; dieser Rechner ersetzt keine Kalibrierung der Messkette.

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