Dehnungsmessstreifen · Messtechnik

Hauptspannungen aus Hauptdehnungen berechnen

Berechne Hauptnormalspannungen, dritte Hauptdehnung, maximale Schubspannung und von-Mises-Vergleichsspannung aus zwei Hauptdehnungen an freier Oberfläche.

DMSKeil 2017

Eingaben

Hauptdehnung ε₁ [µm/m]Hauptdehnung ε₂ [µm/m]Elastizitätsmodul E [N/mm²]Querdehnungszahl ν

Linear-elastisch, isotrop, ebener Spannungszustand; bei plastischer Verformung sind die Verfahren aus Keil Kap. 13 anzuwenden.

Ergebnisse

Werte eingeben und Berechnung starten.

Methode

Was wird berechnet?

An einer freien Oberfläche herrscht ein ebener Spannungszustand, die Dehnungen sind aber dreiachsig. Das Hookesche Gesetz für zwei Achsen berücksichtigt die Querkontraktion: Eine gemessene Dehnung von 1000 µm/m in Stahl bedeutet nicht 210 N/mm², sondern hängt auch von der zweiten Hauptdehnung ab – bei ν = 0,3 immerhin mit 30 % Gewicht. Die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese ist für duktile Metalle maßgebend.

Gleichungen

σ₁ = E/(1−ν²)·(ε₁ + νε₂) (Keil Gl. 9.27)

σ₂ = E/(1−ν²)·(ε₂ + νε₁) (Gl. 9.28)

ε₃ = −ν/(1−ν)·(ε₁+ε₂) (Gl. 9.66)

σ_v = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) (Gestaltänderungsenergiehypothese, Keil Abschn. 14.9)

Grenzen

Voraussetzungen und typischer Fehler

Linear-elastisch, isotrop, ebener Spannungszustand; bei plastischer Verformung sind die Verfahren aus Keil Kap. 13 anzuwenden.

σ = E·ε je Richtung getrennt berechnen und so die Querkontraktion unterschlagen.

DMS-Anordnung

Wo die Streifen sitzen und was die Brücke daraus macht

Wo die Messgitter sitzen und wie sie verschaltet sind, dazu welche Lastanteile im Signal bleiben und welche die Schaltung kompensiert.

Was bedeutet der Brückenfaktor B?

Die allgemeine Brückengleichung lautet U_M/U_B = k/4·(ε₁ − ε₂ + ε₃ − ε₄): Dehnungen in gegenüberliegenden Zweigen zählen positiv, in benachbarten negativ. Drückt man alle wirksamen Dehnungen als Vielfaches einer Bezugsdehnung ε aus, ist B genau diese vorzeichenrichtige Summe der Vielfachen – z. B. B = 2 bei zwei sich addierenden Beiträgen, B = 4 bei vier. U_M/U_B = k·B·ε/4 fasst das zusammen.

Zum Bewerten: B ist ein reiner Verstärkungsfaktor der Schaltung, keine Aussage über Temperaturkompensation oder darüber, welche Lastart im Signal steckt – das steht jeweils in „Einsatz“ und den Reaktions-Chips unten. Ein größeres B liefert bei gleicher mechanischer Dehnung ein größeres, leichter messbares Signal U_M; dieser Rechner setzt B automatisch anhand der gewählten Schaltung in die Rechnung ein, du musst es nicht selbst einsetzen.

0°/45°/90°-Rosette (Rechteckrosette) 3 × B = 1

Anordnung: Drei Messgitter a, b, c mit um 45° gegeneinander gedrehten Messrichtungen; a ist die Bezugsrichtung, die Reihenfolge a → b → c läuft mathematisch positiv. Jedes Gitter wird in einer eigenen Brücke (meist Schaltung II) gemessen.

ε_a, ε_b, ε_c im Signal
ΔT kompensiert

Einsatz: Ebener Spannungszustand mit unbekannten Hauptrichtungen.

Liefert Hauptdehnungen ε₁, ε₂ und den Orientierungswinkel α aus drei Einzelmessungen.
Gestapelte oder nebeneinander liegende Bauform sind gleichwertig auswertbar.

Drei Brückenschaltungen je Rosette.
Der Winkel α ist nur mit der zur Gitterbezeichnung passenden Auswertung (Keil Tab. 9.1) richtig – falscher Drehsinn ist der häufigste Fehler.

Keil Abschn. 9.7, Abb. 9.23

0°/60°/120°-Rosette (Delta-Rosette) 3 × B = 1

Anordnung: Drei Messgitter a, b, c mit um 60° gegeneinander gedrehten Messrichtungen, Bezugsrichtung a, Reihenfolge mathematisch positiv. Jedes Gitter in einer eigenen Brücke.

ε_a, ε_b, ε_c im Signal
ΔT kompensiert

Einsatz: Ebener Spannungszustand mit unbekannten Hauptrichtungen; auch als 0°/120°/240°- oder equiangular rosette bezeichnet.

Gleiche Winkelabstände aller drei Richtungen.
Dreieck- und Sternbauform sind gleichwertig auswertbar.

Drei Brückenschaltungen je Rosette.
Auswertung nur mit der zur Bezeichnung passenden Formel (Keil Tab. 9.2).

Keil Abschn. 9.7, Abb. 9.24

Brückenschaltbilder nach Keil, Dehnungsmessstreifen, 2. Aufl. 2017 (Abschn. 4.5, 9.7, 10.2, 10.5) · Nummerierung der Brückenzweige R1–R4 mit U_M/U_B = k/4·(ε₁ − ε₂ + ε₃ − ε₄).

Eingaben

Was du eingibst – und woher die Werte kommen

Hauptdehnung ε₁ [µm/m]: Die größte Dehnung an diesem Punkt der Oberfläche (Hauptdehnung 1). Woher: Ergebnis eines Rosettenrechners, oder die Anzeige eines DMS, der bereits in der bekannten Hauptrichtung klebt (z. B. längs am Zugstab).
Hauptdehnung ε₂ [µm/m]: Die Dehnung senkrecht dazu (Hauptdehnung 2), oft negativ. Sie ist unverzichtbar, weil die Querkontraktion die Spannung in Richtung 1 mitbestimmt – σ₁ = E·ε₁ wäre falsch. Woher: Rosettenrechner oder zweiter, quer geklebter DMS.
Elastizitätsmodul E [N/mm²]: Der Elastizitätsmodul beschreibt, wie steif der Werkstoff des Bauteils ist – wie viel Spannung nötig ist, um eine bestimmte Dehnung zu erzeugen (σ = E·ε). Er wird gebraucht, um aus gemessenen oder berechneten Dehnungen Spannungen zu machen und umgekehrt. Woher: Werkstofftabellen oder Datenblatt; Stahl ≈ 210 000 N/mm², Aluminium ≈ 70 000 N/mm², Titan ≈ 110 000 N/mm². Bei erhöhter Temperatur sinkt E.
Querdehnungszahl ν: Die Querdehnungszahl (Poisson-Zahl) gibt an, wie stark sich ein Werkstoff quer zusammenzieht, wenn er in Längsrichtung gedehnt wird: ε_quer = −ν·ε_längs. Sie ist wichtig, weil quer geklebte DMS genau diese Querdehnung messen und weil bei zweiachsigen Spannungszuständen beide Richtungen zusammenwirken. Woher: Werkstofftabellen; Stahl 0,28–0,30, Aluminium 0,33, Kunststoffe 0,35–0,45.

Einordnung

Wofür der Rechner da ist

Auswertung jeder DMS-Spannungsanalyse, Nachweis der Ausnutzung an Kerben und Übergängen, Validierung von FE-Rechnungen mit Messwerten.

Wie es weitergeht

Hauptdehnungen aus der Rosettenauswertung oder aus zwei DMS in bekannten Hauptrichtungen übernehmen.
E und ν des Messobjektwerkstoffs bei Messtemperatur eintragen.
σ_v mit der Streckgrenze vergleichen; σ₁ für spröde Werkstoffe (Normalspannungshypothese) heranziehen.

Ergebnisse

So liest du die Ergebnisse

σ₁ und σ₂ wirken in den Hauptrichtungen der Dehnungen; τ_max wirkt unter 45° dazu.
Für den Festigkeitsnachweis duktiler Werkstoffe σ_v mit der Streckgrenze vergleichen, für spröde Werkstoffe σ₁ mit der Zugfestigkeit.

Ergebnisgrößen

Was jeder Wert bedeutet

Hauptspannung σ₁ [N/mm²]: Größte Normalspannung in der Oberfläche, wirkt in Hauptrichtung 1 (Richtung von ε₁). Maßgebend für spröde Werkstoffe und für Risse senkrecht dazu.
Hauptspannung σ₂ [N/mm²]: Kleinste Normalspannung in der Oberfläche, senkrecht zu σ₁. Bei negativem ε₂ nicht zwingend negativ – die Querkontraktion kann sie positiv machen.
Dehnung senkrecht zur Oberfläche ε₃ [µm/m]: Berechnete Dehnung senkrecht zur freien Oberfläche, also die lokale Dickenänderung. Sie ist nur ein Zusatzwert: Ein aufgeklebter Dehnungsmessstreifen kann diese Richtung nicht direkt erfassen. Für dünne Bauteiloberflächen wird dabei angenommen, dass senkrecht zur Oberfläche keine Spannung wirkt.
Max. Schubspannung in der Ebene (σ₁−σ₂)/2 [N/mm²]: Größte Schubspannung in der Oberflächenebene, wirkt unter 45° zu den Hauptrichtungen. Grundlage der Schubspannungshypothese.
Vergleichsspannung σ_v (Gestaltänderungsenergie) [N/mm²]: Von-Mises-Vergleichsspannung: ein einzelner Spannungswert, der die gemeinsame Wirkung beider Hauptspannungen für duktile Metalle zusammenfasst. Für den Festigkeitsnachweis durch die zulässige Spannung oder Streckgrenze des Werkstoffs teilen; das Ergebnis ist der Sicherheitsfaktor.

Quelle

Fachliche Grundlage

Keil, Dehnungsmessstreifen, 2. Aufl. 2017, Abschn. 9.4 Der zweiachsige Spannungszustand, Gl. (9.24)–(9.29); Abschn. 9.8, Gl. (9.66); Abschn. 14.9 Gestaltänderungsenergiehypothese.

Die Quelle belegt die Gleichungsstruktur und die Zahlenbeispiele; dieser Rechner ersetzt keine Kalibrierung der Messkette.

FAQ

Häufige Fragen

Wie groß ist der Fehler ohne ν?

Bei ε₂ = −νε₁ (einachsig) null; bei ε₁ = ε₂ dagegen unterschätzt σ = Eε die Spannung um den Faktor 1/(1−ν) ≈ 1,43.

Was ist ε₃?

Die Dickenänderung senkrecht zur Oberfläche; sie folgt aus σ₃ = 0 und ist für die Oberflächenanalyse nicht nötig.

Welche Hypothese für Grauguss?

Die Normalspannungshypothese: maßgebend ist σ₁ (Keil Abschn. 14.4).

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