Hauptspannungen aus Hauptdehnungen: Hookesches Gesetz für den ebenen Spannungszustand

Was wird berechnet?

An einer freien Oberfläche herrscht ein ebener Spannungszustand, die Dehnungen sind aber dreiachsig. Das Hookesche Gesetz für zwei Achsen berücksichtigt die Querkontraktion: Eine gemessene Dehnung von 1000 µm/m in Stahl bedeutet nicht 210 N/mm², sondern hängt auch von der zweiten Hauptdehnung ab – bei ν = 0,3 immerhin mit 30 % Gewicht. Die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese ist für duktile Metalle maßgebend.

Gleichungen

σ₁ = E/(1−ν²)·(ε₁ + νε₂) (Keil Gl. 9.27)

σ₂ = E/(1−ν²)·(ε₂ + νε₁) (Gl. 9.28)

ε₃ = −ν/(1−ν)·(ε₁+ε₂) (Gl. 9.66)

σ_v = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) (Gestaltänderungsenergiehypothese, Keil Abschn. 14.9)

Schritt für Schritt

1. Hauptdehnungen aus der Rosettenauswertung oder aus zwei DMS in bekannten Hauptrichtungen übernehmen.
2. E und ν des Messobjektwerkstoffs bei Messtemperatur eintragen.
3. σ_v mit der Streckgrenze vergleichen; σ₁ für spröde Werkstoffe (Normalspannungshypothese) heranziehen.

Typischer Fehler

σ = E·ε je Richtung getrennt berechnen und so die Querkontraktion unterschlagen.

Anwendung und Grenzen

Auswertung jeder DMS-Spannungsanalyse, Nachweis der Ausnutzung an Kerben und Übergängen, Validierung von FE-Rechnungen mit Messwerten.

Linear-elastisch, isotrop, ebener Spannungszustand; bei plastischer Verformung sind die Verfahren aus Keil Kap. 13 anzuwenden.

Fachliche Grundlage

Keil, Dehnungsmessstreifen, 2. Aufl. 2017, Abschn. 9.4 Der zweiachsige Spannungszustand, Gl. (9.24)–(9.29); Abschn. 9.8, Gl. (9.66); Abschn. 14.9 Gestaltänderungsenergiehypothese.

Die Quelle belegt die Gleichungsstruktur und die Zahlenbeispiele; dieser Rechner ersetzt keine Kalibrierung der Messkette.

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