Berechne die Wurfweite w eines schiefen Wurfs aus Abwurfgeschwindigkeit v₀, Abwurfwinkel α und Abwurfhöhe h über dem Auftreffpunkt – oder umgekehrt die erforderliche Abwurfgeschwindigkeit für eine geforderte Weite. Die Bahn ist eine Wurfparabel; die Wurfweite folgt aus ihrer Nullstelle.
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Berechne die Wurfweite w eines schiefen Wurfs aus Abwurfgeschwindigkeit v₀, Abwurfwinkel α und Abwurfhöhe h über dem Auftreffpunkt – oder umgekehrt die erforderliche Abwurfgeschwindigkeit für eine geforderte Weite. Die Bahn ist eine Wurfparabel; die Wurfweite folgt aus ihrer Nullstelle.
Eine Kugel wird aus h = 2,00 m Höhe unter α = 44° mit v₀ = 14,05 m/s abgeworfen. Damit ist w = 14,05²/(2·9,81)·sin 88° + √[14,05⁴/(4·9,81²)·sin²88° + 2·2·14,05²/9,81·cos²44°] ≈ 22,0 m. Dasselbe Beispiel aus Dankert zeigt auch die Winkelabhängigkeit: bei α = 45° sinkt die Weite leicht auf 21,95 m, und das Maximum von 22,03 m liegt bei α = 42,41° – nicht bei 45°, weil der Abwurfpunkt über dem Auftreffpunkt liegt.
Idealisierte Punktmasse im homogenen Schwerefeld ohne Luftwiderstand, ohne Auftrieb, ohne Magnus-Effekt aus Eigendrehung und ohne Wind. Der Abwurf erfolgt momentan aus einem Punkt; Körperausdehnung, Abwurfbewegung und Rotation sind nicht modelliert. Für kompakte, dichte Körper bei moderaten Geschwindigkeiten ist diese Idealisierung brauchbar, für Bälle, Federbälle und hohe Geschwindigkeiten nicht – dort verkürzt der Luftwiderstand die Weite erheblich und senkt den optimalen Abwurfwinkel weiter ab. Das mathematische Modell hat zwei Nullstellen; ausgewiesen wird nur die physikalisch relevante positive Wurfweite in Abwurfrichtung.
Beim schiefen Wurf ist der Abwurfwinkel frei wählbar – und das ändert alles: Die Bahn wird zur Wurfparabel, und der oft zitierte optimale Winkel von 45° gilt nur in einem Sonderfall. Der Rechner bestimmt die Wurfweite aus Abwurfgeschwindigkeit, Winkel und Abwurfhöhe und lässt sich auf die nötige Abwurfgeschwindigkeit umstellen.
Ein schief abgeworfener Körper führt zwei unabhängige Bewegungen gleichzeitig aus: eine gleichförmige waagerechte Bewegung mit v₀·cos α und eine gleichmäßig verzögerte senkrechte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit v₀·sin α. Eliminiert man die Zeit aus beiden Weg-Zeit-Gesetzen, ergibt sich die Bahnkurve y = −g·x²/(2·v₀²·cos²α) + x·tan α + h – eine nach unten geöffnete Parabel, die Wurfparabel. Die Wurfweite w ist ihre Nullstelle, also der waagerechte Abstand, bei dem die Bahn die Auftreffebene y = 0 erreicht.
Wie beim Gartenschlauch: Hält man ihn flach, landet der Strahl nah. Hält man ihn steil nach oben, fliegt das Wasser hoch, aber ebenfalls nicht weit. Irgendwo dazwischen liegt das Optimum – und wenn man den Schlauch dabei über Kopf hält statt am Boden, verschiebt sich dieses Optimum zu einem flacheren Winkel.
w = v₀²/(2g)·sin 2α + √[v₀⁴/(4g²)·sin²2α + 2h·v₀²/g·cos²α]
Bahnkurve: y = −g·x²/(2·v₀²·cos²α) + x·tan α + hWurfweite: w = v₀²/(2g)·sin 2α + √[v₀⁴/(4g²)·sin²2α + 2h·v₀²/g·cos²α]Abwurfgeschwindigkeit: v₀ = w·√(g/(w·sin 2α + 2h·cos²α))Sonderfall gleiche Höhe (h = 0): w = v₀²·sin 2α/g, Maximum bei α = 45°Sonderfall waagerechter Wurf (α = 0): w = v₀·√(2h/g)| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Wurfweite w | Die waagerecht zurückgelegte Strecke vom Abwurfpunkt bis zum Auftreffen auf der Höhe h unterhalb des Abwurfpunkts. Bei h = 0 (Abwurf und Auftreffen auf gleicher Höhe) vereinfacht sich das Ergebnis auf die bekannte Formel w = v₀²·sin 2α/g. |
| Abwurfgeschwindigkeit v₀ | Der Betrag der Geschwindigkeit beim Verlassen der Hand beziehungsweise des Abwurfgeräts, gemessen entlang der Abwurfrichtung – nicht nur deren waagerechte Komponente. Die waagerechte Komponente ist v₀·cos α, die senkrechte v₀·sin α. Da v₀ quadratisch eingeht, verdoppelt eine 10 % höhere Abwurfgeschwindigkeit die Weite nicht, erhöht sie aber um etwa 21 %. |
| Abwurfwinkel α | Der Winkel der Abwurfrichtung gegen die Waagerechte, nach oben positiv. α = 0° ist der waagerechte Wurf, α = 90° der senkrechte Wurf nach oben (dann ist die Wurfweite null). Bei Abwurf und Auftreffen auf gleicher Höhe liegt die größte Weite genau bei 45°; liegt der Abwurfpunkt höher als der Auftreffpunkt, ist der optimale Winkel kleiner als 45° – im Beispiel etwa 42,4°. |
| Abwurfhöhe h | Die senkrechte Höhe des Abwurfpunkts über der Ebene, in der das Auftreffen gezählt wird. h = 0 bedeutet Abwurf und Auftreffen auf gleicher Höhe. Eine zusätzliche Abwurfhöhe verlängert die Flugzeit und damit die Weite, und sie verschiebt den optimalen Abwurfwinkel nach unten. |
| Erdbeschleunigung g | Die örtliche Fallbeschleunigung; sie ist auf der Erde praktisch überall nahezu gleich. Richtwert 9,81 m/s², Normwert 9,80665 m/s². Nur für sehr genaue Rechnungen oder für andere Himmelskörper anpassen. |
v₀ ist der Betrag der Abwurfgeschwindigkeit entlang der Abwurfrichtung, nicht nur deren waagerechte Komponente. α ist der Abwurfwinkel gegen die Waagerechte, nach oben positiv. h ist die Höhe des Abwurfpunkts über der Ebene, in der das Auftreffen gezählt wird – bei h = 0 liegen Abwurf und Auftreffen auf gleicher Höhe. g ist die Erdbeschleunigung mit dem Richtwert 9,81 m/s² beziehungsweise dem Normwert 9,80665 m/s².
Abwurfgeschwindigkeit, Winkel und Abwurfhöhe eintragen; das Ergebnis ist die waagerechte Wurfweite. Für die Umkehrung – welche Abwurfgeschwindigkeit ist für eine geforderte Weite nötig – die Zielgröße v₀ wählen und die gewünschte Weite eintragen. Die Winkelreferenz ist wichtig: gemessen wird gegen die Waagerechte, nicht gegen die Senkrechte. Wer den besten Winkel sucht, variiert α bei festem v₀ und h in Schritten von einem Grad und liest das Maximum ab – analytisch ist dieses Optimum bei h > 0 nur mit erheblichem Aufwand zu bestimmen.
Eine Kugel wird aus h = 2,00 m Höhe unter α = 44° mit v₀ = 14,05 m/s abgeworfen und erreicht w ≈ 22,0 m. Rückwärts gerechnet: für 22 m Weite unter 44° aus 2 m Höhe sind v₀ = 14,05 m/s erforderlich. Aufschlussreich ist die Winkelvariation bei unveränderten 14,05 m/s: bei 45° sinkt die Weite auf 21,95 m, und das Maximum von 22,03 m liegt bei 42,41°. Der optimale Abwurfwinkel ist hier also kleiner als 45° – genau weil der Abwurfpunkt 2 m über dem Auftreffpunkt liegt. Setzt man h = 0, liefert die Formel wieder exakt die klassische Beziehung w = v₀²·sin 2α/g mit dem Maximum bei genau 45°.
Die Abwurfgeschwindigkeit geht quadratisch ein: 10 % mehr v₀ bringen rund 21 % mehr Weite, während 10 % mehr Abwurfhöhe die Weite nur geringfügig verlängert. Deshalb lohnt sich bei Wurf- und Schleudervorgängen fast immer die Geschwindigkeit mehr als die Höhe. Die Winkelabhängigkeit ist in der Nähe des Optimums sehr flach – zwischen 42° und 45° liegen im Beispiel nur 0,08 m Unterschied. Das ist praktisch beruhigend: kleine Winkelabweichungen kosten kaum Weite, große dagegen schon, weil die Kurve zu 0° und 90° hin steil abfällt.
Intern wird in Metern, Sekunden und Radiant gerechnet. Die Geschwindigkeit darf in m/s, km/h, ft/s, mph, m/min oder mm/min eingegeben werden, Weite und Abwurfhöhe in mm, cm, m, km oder Zoll, der Winkel in Grad oder Radiant. Die Erdbeschleunigung wird in m/s² beziehungsweise ft/s² angegeben.
Auswurf- und Schleuderbahnen an Förderanlagen, Wurfschaufeln und Streugeräten; Abwurfweiten in Sport und Technik (Kugelstoßen, Weitwurf); Auslegung von Abwurfpunkten an Bandförderern und Rutschen; ballistische Abschätzungen bei geringen Geschwindigkeiten; Sicherheitsabstände bei wegfliegenden Teilen; Prüfung, ob ein Auffangbehälter oder Schutzbereich groß genug ausgelegt ist.
Idealisierte Punktmasse im homogenen Schwerefeld ohne Luftwiderstand, ohne Auftrieb, ohne Magnus-Effekt aus Eigendrehung und ohne Wind. Der Abwurf erfolgt momentan aus einem Punkt; Körperausdehnung, Abwurfbewegung und Rotation sind nicht modelliert. Für kompakte, dichte Körper bei moderaten Geschwindigkeiten ist das brauchbar – für Bälle, Federbälle, Papier oder hohe Geschwindigkeiten nicht: dort verkürzt der Luftwiderstand die Weite erheblich und senkt den optimalen Abwurfwinkel weiter ab. Das Modell hat mathematisch zwei Nullstellen; ausgewiesen wird nur die positive Weite in Abwurfrichtung.
Typischer Fehler: Der häufigste Fehler ist die pauschale Annahme, 45° sei immer optimal – das gilt nur bei h = 0. Zweitens wird oft die waagerechte Geschwindigkeitskomponente statt der Abwurfgeschwindigkeit selbst eingegeben; das unterschätzt die Weite. Drittens wird der Winkel gegen die Senkrechte gemessen, was sin und cos vertauscht. Und viertens wird das Ergebnis bei leichten Körpern wie Bällen für belastbar gehalten, obwohl der Luftwiderstand dort die Weite um Zehnerprozente verkürzen kann – für Sicherheitsabstände ist das dann keine konservative Abschätzung, sondern liegt auf der sicheren Seite, für eine Zielvorhersage jedoch deutlich zu weit.
Auswurf- und Schleuderbahnen an Förderanlagen, Wurfschaufeln und Streugeräten; Abwurfweiten in Sport und Technik (Kugelstoßen, Weitwurf); Auslegung von Abwurfpunkten an Bandförderern und Rutschen; ballistische Abschätzungen bei geringen Geschwindigkeiten; Sicherheitsabstände bei wegfliegenden Teilen; Prüfung, ob ein Auffangbehälter oder Schutzbereich groß genug ausgelegt ist.
v₀ ist der Betrag der Abwurfgeschwindigkeit entlang der Abwurfrichtung, nicht nur deren waagerechte Komponente. α ist der Abwurfwinkel gegen die Waagerechte, nach oben positiv. h ist die Höhe des Abwurfpunkts über der Ebene, in der das Auftreffen gezählt wird – bei h = 0 liegen Abwurf und Auftreffen auf gleicher Höhe. g ist die Erdbeschleunigung mit dem Richtwert 9,81 m/s² beziehungsweise dem Normwert 9,80665 m/s².
Idealisierte Punktmasse im homogenen Schwerefeld ohne Luftwiderstand, ohne Auftrieb, ohne Magnus-Effekt aus Eigendrehung und ohne Wind. Der Abwurf erfolgt momentan aus einem Punkt; Körperausdehnung, Abwurfbewegung und Rotation sind nicht modelliert. Für kompakte, dichte Körper bei moderaten Geschwindigkeiten ist das brauchbar – für Bälle, Federbälle, Papier oder hohe Geschwindigkeiten nicht: dort verkürzt der Luftwiderstand die Weite erheblich und senkt den optimalen Abwurfwinkel weiter ab. Das Modell hat mathematisch zwei Nullstellen; ausgewiesen wird nur die positive Weite in Abwurfrichtung.