PT2-Frequenzgang-Rechner: Amplitude und Resonanz

Was beschreibt diese Größe?

PT2 bezeichnet ein proportional wirkendes System zweiter Ordnung. Sein normierter Nenner lautet 1+2DT₀s+T₀²s². Im Frequenzgang wird s durch jω ersetzt. Der Betrag des entstehenden komplexen Quotienten bestimmt das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsamplitude.

Formel und Variablen

Âout=K·Âin/√{[1−(2πfT0)²]²+[2D·2πfT0]²}

• Frequenzgang: G(jω)=K/[1−(ωT0)²+j·2DωT0]
• Betrag: |G|=K/√{[1−(ωT0)²]²+(2DωT0)²}
• ω=2πf
• Âout=|G|·Âin
• Phase: φ(ω)=−arctan(2DωT0/(1−(ωT0)²))

Eingaben richtig wählen

K ist die statische Verstärkung. D ist der Dämpfungsgrad aus Modell oder gemessener Ausschwingkurve. T₀ ist die Eigenzeit, also 1/ω₀. Â_in ist die Scheitelamplitude relativ zum Mittelwert und f die Anregungsfrequenz in vollständigen Perioden pro Sekunde. Alle Modellparameter müssen zum gleichen Betriebspunkt gehören.

So benutzt du den Rechner

K aus stationären Messungen bestimmen, D aus dem Abklingen und T₀ aus Modellparametern oder Peakabständen gewinnen. Die relevante Anregungsfrequenz aus Signalgenerator, Drehzahlordnung oder Spektrum übernehmen. Berechnete Ausgangsamplitude mit zulässigem Schwingungs-, Mess- oder Bauteilbereich vergleichen und besonders Frequenzen um 1/(2πT₀) untersuchen.

Schritt-für-Schritt-Beispiel

Mit K=1, D=0,2, T₀=1 s und Â_in=1 wird bei f=1/(2π)≈0,1592 Hz der normierte Frequenzwert ωT₀=1. Der Betragsnenner ist dann 2D=0,4 und Â_out=2,5. Das System verstärkt diese Anregung also auf das 2,5-Fache.

Ergebnis und Einheiten verstehen

Bei f→0 nähert sich Â_out dem statischen Wert K·Â_in. Für kleine D kann vor der Eigenfrequenz eine Resonanzspitze entstehen; bei D<1/√2 liegt ihr Maximum bei ω_r=√(1−2D²)/T₀. Große Dämpfung unterdrückt die Überhöhung. Bei hohen Frequenzen fällt der Betrag ungefähr mit 1/f². Die Phasenverschiebung beträgt φ=−arctan(2·D·ωT₀/(1−(ωT₀)²)) und durchläuft bei ω=1/T₀ genau −90°, unabhängig von D; das Diagramm unter dem Rechner zeigt Ein- und Ausgangssinus mit diesem Winkel. Den vollständigen Amplituden- und Phasengang, auch mit Regler und Totzeit, zeichnet der Bode-Diagramm-Rechner.

f wird in Hertz eingegeben und intern mit ω=2πf in Radiant pro Sekunde umgerechnet. T₀ wird auf Sekunden bezogen; ωT₀ ist dimensionslos. Ein- und Ausgangsamplitude werden in derselben konsistenten Skala behandelt.

Passender nächster Rechenschritt

Bestimme die Modellwerte mit PT2-Dämpfung aus der Ausschwingkurve und PT2-Eigenzeit aus Peakabständen. Die PT2-Sprungantwort zeigt das gleiche Modell im Zeitbereich.

Typische Anwendungen

Nützlich für Resonanzabschätzung, Schwingungsversuche, periodische Störungen, Sensor- und Filtermodelle, rotierende Anregungen und den Einstieg in PT2-Bode-Diagramme.

Annahmen, Grenzen und typische Fehler

Gültig für ein lineares zeitinvariantes PT2-Modell im eingeschwungenen Sinusbetrieb. Nicht enthalten sind Einschwingvorgang, Mittelwert, Phasenlage, Totzeit, Nullstellen, weitere Pole, Sättigung und nichtlineare Dämpfung. Ein sehr großer berechneter Wert kann in der Realität durch Begrenzungen oder Modellabweichungen gekappt werden.

Typischer Fehler: Keine Spitze-zu-Spitze- oder Effektivwerte als Scheitelamplitude verwenden. Hertz und rad/s nicht verwechseln. Die ungedämpfte Eigenfrequenz 1/T₀ ist nicht bei jeder Dämpfung exakt die Frequenz der größten Amplitude. Ein hoher Resonanzwert ist eine Warnung, keine zulässige Betriebsfreigabe.