Rechenweg
Âout = K·Âin / √[1+(2πfT)²]
Ein PT1-System überträgt langsame Sinussignale nahezu mit seiner statischen Verstärkung und schwächt schnellere Änderungen zunehmend ab.
Zacher/Reuter 2024, Abschnitte 3.2 und 5.1.4: Frequenzgang eines P-T1-Glieds
PT1-Frequenzgang: Ausgangsamplitude bei Sinusanregung
Ein PT1-System überträgt langsame Sinussignale nahezu mit seiner statischen Verstärkung und schwächt schnellere Änderungen zunehmend ab.
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Eingaben verstehen
- Stationäre Ausgangsamplitude Âout — Halbe Spitze-zu-Spitze-Höhe des eingeschwungenen sinusförmigen Ausgangs. Mit zulässigem Messbereich oder gewünschter Nutzsignalamplitude vergleichen; der Einschwingvorgang ist nicht enthalten.
- Statische Verstärkung K — Verhältnis einer sehr langsamen beziehungsweise stationären Ausgangsänderung zur Eingangsänderung. Aus zwei Beharrungszuständen oder dem PT1-Modell übernehmen.
- Eingangsamplitude Âin — Abstand vom Mittelwert zum positiven Scheitel des sinusförmigen Eingangssignals. Bei bekanntem Spitze-zu-Spitze-Wert diesen durch zwei teilen; keinen Effektivwert verwenden.
- Zeitkonstante T — PT1-Zeitkonstante aus Sprungmessung, Datenblatt oder Modellidentifikation. Sie legt die Eckfrequenz fE=1/(2πT) fest.
- Anregungsfrequenz f — Anzahl vollständiger Sinusperioden pro Sekunde. Aus Signalgenerator, Messung oder erwarteter Prozessanregung übernehmen; f=0 beschreibt den statischen Grenzfall.
Beispiel
K=2, Âin=3, T=0,1 s und f=1 Hz ergeben 2πfT≈0,628 und Âout≈5,081. Ohne dynamische Abschwächung wären 6 Einheiten zu erwarten.
Annahmen und Grenzen
Lineares zeitinvariantes PT1-System im eingeschwungenen sinusförmigen Zustand, konstante Parameter und kein Gleichanteil in der Amplitudenrechnung. Totzeit, Sättigung, zusätzliche Pole, Rauschen und Einschwinganteil fehlen.
PT1-Frequenzgang: Ausgangsamplitude bei Sinusanregung verstehen
Der Rechner überträgt das PT1-Modell vom Zeit- in den Frequenzbereich. Er zeigt, welche Amplitude nach dem Einschwingen übrig bleibt, wenn der Eingang periodisch sinusförmig schwankt – etwa bei einer Temperaturwelle, Drehzahlschwankung oder einem geglätteten Sensorsignal.
Was beschreibt diese Größe?
PT1 bezeichnet ein proportional wirkendes System mit einer Verzögerung erster Ordnung. Sein Frequenzgang ist G(jω)=K/(1+jωT). Der Betrag |G(jω)| gibt an, mit welchem Faktor die Eingangsamplitude bei der Kreisfrequenz ω=2πf am Ausgang erscheint. j kennzeichnet dabei die imaginäre Einheit der komplexen Frequenzrechnung.
Formel und Variablen
Âout = K·Âin / √[1+(2πfT)²]
Frequenzgang: G(jω)=K/(1+jωT)Betrag: |G(jω)|=K/√[1+(ωT)²]Kreisfrequenz: ω=2πfAusgangsamplitude: Âout=|G(jω)|·Âin
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Stationäre Ausgangsamplitude Âout | Halbe Spitze-zu-Spitze-Höhe des eingeschwungenen sinusförmigen Ausgangs. Mit zulässigem Messbereich oder gewünschter Nutzsignalamplitude vergleichen; der Einschwingvorgang ist nicht enthalten. |
| Statische Verstärkung K | Verhältnis einer sehr langsamen beziehungsweise stationären Ausgangsänderung zur Eingangsänderung. Aus zwei Beharrungszuständen oder dem PT1-Modell übernehmen. |
| Eingangsamplitude Âin | Abstand vom Mittelwert zum positiven Scheitel des sinusförmigen Eingangssignals. Bei bekanntem Spitze-zu-Spitze-Wert diesen durch zwei teilen; keinen Effektivwert verwenden. |
| Zeitkonstante T | PT1-Zeitkonstante aus Sprungmessung, Datenblatt oder Modellidentifikation. Sie legt die Eckfrequenz fE=1/(2πT) fest. |
| Anregungsfrequenz f | Anzahl vollständiger Sinusperioden pro Sekunde. Aus Signalgenerator, Messung oder erwarteter Prozessanregung übernehmen; f=0 beschreibt den statischen Grenzfall. |
Eingaben richtig wählen
K ist die statische Verstärkung aus zwei stationären Betriebspunkten. Âin ist die Scheitelamplitude relativ zum Mittelwert, also die Hälfte eines Spitze-zu-Spitze-Werts. T stammt aus einer Sprungmessung oder Modellidentifikation. f ist die Frequenz in vollständigen Perioden pro Sekunde und kommt aus der Anregungsquelle oder einer Messung.
So benutzt du den Rechner
Zuerst sicherstellen, dass das System näherungsweise linear ist und nach dem Anlaufen einen stationären Sinus zeigt. Eingangssignal um seinen Mittelwert auswerten und dessen Scheitelamplitude bestimmen. K und T aus demselben Betriebspunkt verwenden. Ausgangsamplitude mit Messbereich, Störgrenze oder benötigtem Nutzsignal vergleichen.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Bei K=2, Âin=3, T=0,1 s und f=1 Hz ist ωT≈0,628. Der Betragsfaktor beträgt 2/√(1+0,628²)≈1,694; damit folgt Âout≈5,081 statt des statischen Werts 6.
Ergebnis und Einheiten verstehen
Für f→0 nähert sich Âout dem Wert K·Âin. An der Eckfrequenz fE=1/(2πT) sinkt die Amplitude auf 70,7 % dieses statischen Werts, entsprechend −3 dB. Oberhalb der Eckfrequenz werden schnelle Schwankungen zunehmend unterdrückt.
f wird in Hertz eingegeben; 1 Hz bedeutet eine Periode pro Sekunde. T wird intern in Sekunden umgerechnet, sodass 2πfT dimensionslos ist. Ein- und Ausgangsamplitude können physikalische Einheiten tragen; im allgemeinen Rechner werden sie konsistent normiert behandelt.
Typische Anwendungen
Nützlich zur Abschätzung von Sensor- und Prozessglättung, Filterwirkung, periodischer Störübertragung, Versuchsauslegung und zum Einstieg in Bode-Diagramme.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Berechnet wird ausschließlich der eingeschwungene Sinusanteil eines linearen zeitinvarianten PT1-Systems. Mittelwert, Einschwingvorgang, Phasenverschiebung, Totzeit, weitere Pole, Nichtlinearität und Sättigung sind nicht Bestandteil des Ausgabewerts. Für nichtsinusförmige Signale müssen deren Frequenzanteile getrennt betrachtet werden.
Typischer Fehler: Keine Spitze-zu-Spitze-Höhe oder keinen Effektivwert als Scheitelamplitude eintragen. Hertz nicht mit Kreisfrequenz in rad/s verwechseln; der Rechner bildet ω=2πf selbst. Eine Totzeit ändert zwar nicht den idealen Amplitudenbetrag, aber sehr wohl die Phase und mögliche Regelkreisstabilität.
Häufige Fragen
Wofür ist „PT1-Ausgangsamplitude bei sinusförmiger Anregung“ gedacht?
Nützlich zur Abschätzung von Sensor- und Prozessglättung, Filterwirkung, periodischer Störübertragung, Versuchsauslegung und zum Einstieg in Bode-Diagramme.
Woher kommen die Eingabewerte?
K ist die statische Verstärkung aus zwei stationären Betriebspunkten. Âin ist die Scheitelamplitude relativ zum Mittelwert, also die Hälfte eines Spitze-zu-Spitze-Werts. T stammt aus einer Sprungmessung oder Modellidentifikation. f ist die Frequenz in vollständigen Perioden pro Sekunde und kommt aus der Anregungsquelle oder einer Messung.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Berechnet wird ausschließlich der eingeschwungene Sinusanteil eines linearen zeitinvarianten PT1-Systems. Mittelwert, Einschwingvorgang, Phasenverschiebung, Totzeit, weitere Pole, Nichtlinearität und Sättigung sind nicht Bestandteil des Ausgabewerts. Für nichtsinusförmige Signale müssen deren Frequenzanteile getrennt betrachtet werden.