Rechenweg
ωd=√[(Kp·Ks)²−1]/T; φR=π−atan(ωdT)−ωdTt
Die Totzeit fügt mit steigender Frequenz immer mehr Phasenverzug hinzu; die Phasenreserve zeigt, wie weit der vereinfachte Regelkreis am Durchtritt noch von der Stabilitätsgrenze entfernt ist.
Zacher/Reuter 2024, Abschnitte 6.3.2 und 8.2.1: Durchtrittsfrequenz und Phasenreserve
PT1-Strecke mit Totzeit: Phasenreserve
Die Totzeit fügt mit steigender Frequenz immer mehr Phasenverzug hinzu; die Phasenreserve zeigt, wie weit der vereinfachte Regelkreis am Durchtritt noch von der Stabilitätsgrenze entfernt ist.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Eingaben verstehen
- Phasenreserve φR — Winkelabstand zur Phasenlage −180° am Verstärkungsdurchtritt. Positive Werte sind in diesem vereinfachten Modell notwendig; der Wert dient zum Vergleichen von Reglereinstellungen und Robustheitszielen, nicht als alleiniger Freigabenachweis.
- Reglerverstärkung Kp — Proportionalverstärkung des Reglers in der verwendeten Signalskalierung. Aus Reglereinstellung oder Entwurf übernehmen; eine Änderung verschiebt die Durchtrittsfrequenz.
- Statische Streckenverstärkung Ks — Bleibende Ausgangsänderung je Eingangsschritt aus zwei stationären Betriebspunkten. Zusammen mit Kp muss Ks hier einen positiven Schleifenverstärkungsbetrag ergeben.
- Zeitkonstante T — PT1-Zeitkonstante ab Beginn der Prozessreaktion bis 63,2 % der bleibenden Änderung. Aus Sprungmessung oder identifiziertem Modell übernehmen.
- Totzeit Tt — Zeit zwischen Eingangsänderung und sichtbarem Reaktionsbeginn. Transport-, Sensor- und Rechenverzögerungen können hierzu beitragen; aus derselben Sprungmessung wie T bestimmen.
Beispiel
Kp=2, Ks=1, T=5 s und Tt=1 s ergeben ωd≈0,3464 rad/s. PT1-Anteil und Totzeit verursachen zusammen etwa −79,85° Phase; die Phasenreserve beträgt rund 100,15°.
Annahmen und Grenzen
Negative Einheitsrückführung; idealer P-Regler; offene Strecke G₀(s)=Kp·Ks·e^(−sTt)/(1+sT); positive Verstärkungen und Kp·Ks>1, sodass ein endlicher positiver 0-dB-Durchtritt existiert. Weitere Pole, Nullstellen, Filter, Abtastung und Stellglieddynamik fehlen.
PT1-Strecke mit Totzeit: Phasenreserve verstehen
Der Rechner bewertet einen einfachen Regelkreis im Frequenzbereich: Ein P-Regler treibt eine PT1-Strecke mit zusätzlicher Totzeit. Aus den vier direkt interpretierbaren Modellwerten bestimmt er die Durchtrittsfrequenz intern und gibt den verbleibenden Winkelabstand zur Stabilitätsgrenze aus.
Was beschreibt diese Größe?
PT1 bezeichnet eine proportional wirkende Verzögerung erster Ordnung. Die Totzeit Tt verschiebt ein Signal, ohne seinen Betrag zu dämpfen, erzeugt aber den frequenzabhängigen Phasenverzug −ωTt. Die Phasenreserve φR ist bei der Frequenz definiert, bei der der Betrag der offenen Schleife genau eins beziehungsweise 0 dB beträgt. Sie ist der Abstand der dortigen Phase zu −180°.
Formel und Variablen
ωd=√[(Kp·Ks)²−1]/T; φR=π−atan(ωdT)−ωdTt
Offene Schleife: G₀(s)=Kp·Ks·e^(−sTt)/(1+sT)Durchtritt: ωd=√[(Kp·Ks)²−1]/TPhasenreserve: φR=π−atan(ωdT)−ωdTt
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Phasenreserve φR | Winkelabstand zur Phasenlage −180° am Verstärkungsdurchtritt. Positive Werte sind in diesem vereinfachten Modell notwendig; der Wert dient zum Vergleichen von Reglereinstellungen und Robustheitszielen, nicht als alleiniger Freigabenachweis. |
| Reglerverstärkung Kp | Proportionalverstärkung des Reglers in der verwendeten Signalskalierung. Aus Reglereinstellung oder Entwurf übernehmen; eine Änderung verschiebt die Durchtrittsfrequenz. |
| Statische Streckenverstärkung Ks | Bleibende Ausgangsänderung je Eingangsschritt aus zwei stationären Betriebspunkten. Zusammen mit Kp muss Ks hier einen positiven Schleifenverstärkungsbetrag ergeben. |
| Zeitkonstante T | PT1-Zeitkonstante ab Beginn der Prozessreaktion bis 63,2 % der bleibenden Änderung. Aus Sprungmessung oder identifiziertem Modell übernehmen. |
| Totzeit Tt | Zeit zwischen Eingangsänderung und sichtbarem Reaktionsbeginn. Transport-, Sensor- und Rechenverzögerungen können hierzu beitragen; aus derselben Sprungmessung wie T bestimmen. |
Eingaben richtig wählen
Kp ist die eingestellte Proportionalverstärkung des Reglers. Ks ist die statische Streckenverstärkung aus bleibender Ausgangsänderung durch Eingangsschritt. T ist die PT1-Zeitkonstante und Tt die Totzeit; beide stammen typischerweise aus derselben Sprungmessung. Kp und Ks müssen auf derselben Signalnormierung beruhen, sodass ihr Produkt die dimensionslose Schleifenverstärkung bildet.
So benutzt du den Rechner
Zuerst das PT1-Totzeit-Modell an einer ausreichend kleinen Sprungmessung identifizieren. Dann Kp aus der geplanten oder aktiven Reglereinstellung einsetzen. Der Rechner ist nur anwendbar, wenn Kp·Ks>1; andernfalls besitzt dieses vereinfachte Modell keinen positiven 0-dB-Durchtritt. Ergebnis für mehrere Kp-Werte vergleichen und das vollständige reale Modell anschließend simulieren oder messen.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Für Kp=2, Ks=1 und T=5 s liegt der Durchtritt bei ωd=√3/5≈0,3464 rad/s. Ohne Totzeit wären 120° Reserve vorhanden. Tt=1 s fügt rund 19,85° Verzug hinzu, sodass φR≈100,15° verbleibt.
Ergebnis und Einheiten verstehen
Positive Phasenreserve ist im betrachteten Modell eine notwendige Stabilitätsbedingung; eine negative Reserve warnt vor Instabilität des geschlossenen Kreises. Mehr Reserve bedeutet im Allgemeinen größere Robustheit, aber oft langsamere Regelung. Ein einzelner Wert ersetzt weder die Prüfung der Verstärkungsreserve noch Zeitbereichssimulation, Stellgrößenbegrenzung und Modellunsicherheit.
T und Tt werden intern in Sekunden umgerechnet. Die Durchtrittsfrequenz besitzt rad/s; rad steht für Radiant. φR wird nutzerfreundlich in Grad ausgegeben. Kp·Ks muss dimensionslos sein.
Typische Anwendungen
Nützlich für Vorabvergleich von P-Reglereinstellungen, Untersuchung des Einflusses einer Transporttotzeit, Lehre zum Bode-Diagramm und Plausibilisierung eines vereinfachten Prozessmodells.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Gültig ist ausschließlich die offene Schleife Kp·Ks·exp(−sTt)/(1+sT) mit negativer Einheitsrückführung. Weitere Zeitkonstanten, Nullstellen, Filter, Abtastung, Sensor- und Stellglieddynamik verändern Durchtritt und Phase. Eine reale Anlage darf nicht allein aufgrund dieses Ergebnisses in Betrieb genommen werden.
Typischer Fehler: Totzeit nicht als zusätzliche Zeitkonstante behandeln: Sie beeinflusst die Phase anders. Grad und Radiant nicht mischen. Bei Kp·Ks≤1 nicht künstlich ω=0 als regulären Durchtritt interpretieren. Außerdem müssen Vorzeichen so gewählt sein, dass tatsächlich negative Rückführung vorliegt.
Häufige Fragen
Wofür ist „Phasenreserve einer PT1-Strecke mit Totzeit“ gedacht?
Nützlich für Vorabvergleich von P-Reglereinstellungen, Untersuchung des Einflusses einer Transporttotzeit, Lehre zum Bode-Diagramm und Plausibilisierung eines vereinfachten Prozessmodells.
Woher kommen die Eingabewerte?
Kp ist die eingestellte Proportionalverstärkung des Reglers. Ks ist die statische Streckenverstärkung aus bleibender Ausgangsänderung durch Eingangsschritt. T ist die PT1-Zeitkonstante und Tt die Totzeit; beide stammen typischerweise aus derselben Sprungmessung. Kp und Ks müssen auf derselben Signalnormierung beruhen, sodass ihr Produkt die dimensionslose Schleifenverstärkung bildet.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Gültig ist ausschließlich die offene Schleife Kp·Ks·exp(−sTt)/(1+sT) mit negativer Einheitsrückführung. Weitere Zeitkonstanten, Nullstellen, Filter, Abtastung, Sensor- und Stellglieddynamik verändern Durchtritt und Phase. Eine reale Anlage darf nicht allein aufgrund dieses Ergebnisses in Betrieb genommen werden.