Rechenweg
y(t)=0 für t<Tt; y(t)=K·Δu·[1−e^(−(t−Tt)/T)] für t≥Tt
Die Totzeit verschiebt die vollständige PT1-Antwort: Zunächst reagiert der Ausgang gar nicht, danach nähert er sich exponentiell seinem Endwert.
Zacher/Reuter 2024, Abschnitte 3.2 und 8.2.1: PT1-Strecke mit Totzeit
PT1-Strecke mit Totzeit: Sprungantwort
Die Totzeit verschiebt die vollständige PT1-Antwort: Zunächst reagiert der Ausgang gar nicht, danach nähert er sich exponentiell seinem Endwert.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Berechnete Sprungantwort
Maus oder Finger über die Kurve bewegen, um Zeit und Ausgangswert abzulesen. Das Diagramm aktualisiert sich direkt mit den Eingaben.
Noch kein Kurvenpunkt ausgewählt.
Eingaben verstehen
- Ausgangsänderung y(t) — Änderung der Prozessgröße gegenüber dem Wert vor dem Sprung. Vor Ablauf der Totzeit ist sie null; danach kann sie für Simulation, Soll-Ist-Vergleich oder die Abschätzung eines Reaktionszeitpunkts verwendet werden.
- Statische Streckenverstärkung K — Bleibende Ausgangsänderung geteilt durch den Eingangssprung. Aus zwei stationären Betriebspunkten bestimmen: K=(y∞−y0)/(u1−u0). Bei unterschiedlichen physikalischen Größen vorher konsistent skalieren.
- Eingangssprung Δu — Neuer minus alter Streckeneingang zum Startzeitpunkt, etwa die Änderung einer Ventilöffnung oder Heizleistung. Nicht den neuen Absolutwert eintragen.
- Zeitkonstante T — Zeitmaß des exponentiellen Anstiegs nach Beginn der Reaktion. Nach T sind 63,2 % der bleibenden Änderung erreicht. Aus einer Sprungmessung, einer Identifikation oder dem Prozessmodell übernehmen.
- Totzeit Tt — Zeit zwischen Eingangssprung und erkennbarer Ausgangsreaktion, zum Beispiel durch Transportweg, Sensorlage oder Verarbeitung. Aus den Zeitstempeln einer Sprungmessung bestimmen.
- Zeit seit dem Sprung t — Beobachtungszeit ab der Eingangsänderung. Für t<Tt muss der Rechner null liefern; bei t=Tt beginnt der exponentielle Anstieg.
Beispiel
K=2, Δu=3, T=5 s, Tt=2 s und t=7 s ergeben eine wirksame Anstiegszeit von 5 s und damit y≈3,7927. Bei t=1 s ist y=0.
Annahmen und Grenzen
Lineares zeitinvariantes PT1-Ersatzmodell mit reiner Totzeit, Ruhelage und idealem Eingangssprung. Weitere Zeitkonstanten, Rampenbildung, Begrenzungen, Störungen und Messrauschen sind nicht enthalten.
PT1-Strecke mit Totzeit: Sprungantwort verstehen
Dieser Rechner verbindet zwei in realen Prozessen häufig gleichzeitig auftretende Effekte: Eine Totzeit, während der am Ausgang noch nichts sichtbar ist, und ein anschließendes Verzögerungsverhalten erster Ordnung. Er zeigt den Ausgangswert zu jedem Zeitpunkt und zeichnet die vollständige Sprungantwort.
Was beschreibt diese Größe?
Eine PT1-Strecke mit Totzeit ist ein Ersatzmodell für Prozesse, deren Reaktion erst verspätet beginnt und danach ohne Überschwingen exponentiell verläuft. PT1 bedeutet Proportionalstrecke mit einer Verzögerung erster Ordnung; Tt bezeichnet die reine Totzeit. Das Modell lautet G(s)=K·e^(−sTt)/(1+sT).
Formel und Variablen
y(t)=0 für t<Tt; y(t)=K·Δu·[1−e^(−(t−Tt)/T)] für t≥Tt
t<Tt: y(t)=0t≥Tt: y(t)=K·Δu·[1−exp(−(t−Tt)/T)]y∞=K·Δu
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Ausgangsänderung y(t) | Änderung der Prozessgröße gegenüber dem Wert vor dem Sprung. Vor Ablauf der Totzeit ist sie null; danach kann sie für Simulation, Soll-Ist-Vergleich oder die Abschätzung eines Reaktionszeitpunkts verwendet werden. |
| Statische Streckenverstärkung K | Bleibende Ausgangsänderung geteilt durch den Eingangssprung. Aus zwei stationären Betriebspunkten bestimmen: K=(y∞−y0)/(u1−u0). Bei unterschiedlichen physikalischen Größen vorher konsistent skalieren. |
| Eingangssprung Δu | Neuer minus alter Streckeneingang zum Startzeitpunkt, etwa die Änderung einer Ventilöffnung oder Heizleistung. Nicht den neuen Absolutwert eintragen. |
| Zeitkonstante T | Zeitmaß des exponentiellen Anstiegs nach Beginn der Reaktion. Nach T sind 63,2 % der bleibenden Änderung erreicht. Aus einer Sprungmessung, einer Identifikation oder dem Prozessmodell übernehmen. |
| Totzeit Tt | Zeit zwischen Eingangssprung und erkennbarer Ausgangsreaktion, zum Beispiel durch Transportweg, Sensorlage oder Verarbeitung. Aus den Zeitstempeln einer Sprungmessung bestimmen. |
| Zeit seit dem Sprung t | Beobachtungszeit ab der Eingangsänderung. Für t<Tt muss der Rechner null liefern; bei t=Tt beginnt der exponentielle Anstieg. |
Eingaben richtig wählen
K ist die statische Streckenverstärkung aus zwei Beharrungszuständen. Δu ist ausschließlich die Änderung des Eingangssignals. T ist die Zeit vom Reaktionsbeginn bis 63,2 % der bleibenden Änderung. Tt ist die Zeit vom Eingangssprung bis zum erkennbaren Reaktionsbeginn. t ist der auszuwertende Zeitstempel. T und Tt stammen typischerweise aus derselben aufgezeichneten Sprungmessung.
So benutzt du den Rechner
Ausgang vor dem Versuch auf null beziehen, Eingang sprunghaft und innerhalb sicherer Betriebsgrenzen ändern und Ein- sowie Ausgang mit gemeinsamer Zeitbasis aufzeichnen. K aus Endwertänderung durch Eingangssprung bestimmen, Tt am Reaktionsbeginn ablesen und T ab dort bis 63,2 % messen. Danach den gewünschten Zeitpunkt einsetzen und die Kurve mit den Messdaten vergleichen.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Bei K=2, Δu=3, T=5 s und Tt=2 s bleibt die Ausgangsänderung bis 2 s null. Bei t=7 s läuft der exponentielle Anteil seit genau einer Zeitkonstante; deshalb gilt y=6·(1−e⁻¹)=3,7927.
Ergebnis und Einheiten verstehen
y(t) ist die Änderung gegenüber dem Ausgang vor dem Sprung, nicht automatisch der absolute Sensorwert. Für den Absolutwert ist der alte Betriebspunkt zu addieren. Große Tt/T-Verhältnisse bedeuten, dass der Regler lange keine Prozessreaktion sieht; dadurch wird eine aggressive Reglereinstellung besonders riskant.
Alle Zeitgrößen müssen dieselbe Dimension besitzen; die Oberfläche rechnet Sekunden, Minuten und Stunden intern in Sekunden um. K trägt physikalisch die Einheit Ausgangseinheit je Eingangseinheit, wird hier jedoch für konsistent skalierte Signale dimensionslos eingegeben.
Typische Anwendungen
Das Modell eignet sich für Temperatur-, Durchfluss-, Konzentrations- und Transportprozesse, als Grundlage für Reglereinstellung und Simulation sowie zur Plausibilitätsprüfung einer aufgezeichneten Sprungantwort.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Das Modell setzt einen idealen Eingangssprung, konstante Parameter und genau eine dominante Zeitkonstante voraus. Ein geglätteter Stellvorgang, mehrere ähnlich große Zeitkonstanten, Überschwingen, Nichtlinearität, Sättigung oder zeitabhängige Transportgeschwindigkeit werden nicht abgebildet.
Typischer Fehler: Tt nicht von t abziehen und anschließend nochmals eine verschobene Messzeit eingeben. Ebenfalls T nicht ab dem Eingangssprung messen: Die 63,2-%-Zeit beginnt erst nach Ablauf der Totzeit.
Häufige Fragen
Wofür ist „PT1-Strecke mit Totzeit“ gedacht?
Das Modell eignet sich für Temperatur-, Durchfluss-, Konzentrations- und Transportprozesse, als Grundlage für Reglereinstellung und Simulation sowie zur Plausibilitätsprüfung einer aufgezeichneten Sprungantwort.
Woher kommen die Eingabewerte?
K ist die statische Streckenverstärkung aus zwei Beharrungszuständen. Δu ist ausschließlich die Änderung des Eingangssignals. T ist die Zeit vom Reaktionsbeginn bis 63,2 % der bleibenden Änderung. Tt ist die Zeit vom Eingangssprung bis zum erkennbaren Reaktionsbeginn. t ist der auszuwertende Zeitstempel. T und Tt stammen typischerweise aus derselben aufgezeichneten Sprungmessung.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Das Modell setzt einen idealen Eingangssprung, konstante Parameter und genau eine dominante Zeitkonstante voraus. Ein geglätteter Stellvorgang, mehrere ähnlich große Zeitkonstanten, Überschwingen, Nichtlinearität, Sättigung oder zeitabhängige Transportgeschwindigkeit werden nicht abgebildet.