Rechenweg
T = 2π · √(L/g)
Ein Fadenpendel schwingt bei kleinen Ausschlägen umso langsamer, je länger der Faden ist. Die Masse des Pendelkörpers fällt aus der Rechnung heraus.
Kleinwinkelnäherung des mathematischen Pendels · T = 2π√(L/g)
Schwingungsdauer eines Fadenpendels berechnen
Ein Fadenpendel schwingt bei kleinen Ausschlägen umso langsamer, je länger der Faden ist. Die Masse des Pendelkörpers fällt aus der Rechnung heraus.
MINTSI
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Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Eingaben verstehen
- Schwingungsdauer T — Zeit für eine ganze Hin-und-zurück-Bewegung, etwa von einem linken Umkehrpunkt zum nächsten linken Umkehrpunkt. Mit Stoppuhr mehrere Schwingungen messen und durch deren Anzahl teilen; typische Sekundenpendel haben rund 2 s Periodendauer.
- Pendellänge L — Abstand vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt des Pendelkörpers, nicht nur die freie Fadenlänge. Aus der Geometrie messen; typische Schulpendel sind etwa 0,2 bis 2 m lang.
- Erdbeschleunigung g — Örtliche Fallbeschleunigung; auf der Erde ungefähr 9,81 m/s². Für genaue Messungen den örtlichen Wert verwenden.
Beispiel
Bei L = 1,00 m und g = 9,80665 m/s² dauert eine vollständige Schwingung T = 2π√(1/9,80665) = 2,006 s.
Annahmen und Grenzen
Punktförmiger Pendelkörper an masselosem, nicht dehnbarem Faden; kleine Auslenkung, keine Reibung und kein Luftwiderstand. Bei größeren Auslenkungen hängt die tatsächliche Periodendauer auch vom Startwinkel ab und diese Näherung unterschätzt sie.
Schwingungsdauer eines Fadenpendels verstehen
Wie lang muss ein Pendel sein, damit eine ganze Schwingung zwei Sekunden dauert? Dieser Rechner verbindet die Pendellänge mit der Zeit für eine vollständige Hin-und-zurück-Bewegung.
Was beschreibt diese Größe?
Ein Fadenpendel besteht hier aus einer kleinen Masse an einem leichten Faden. Die Gewichtskraft zieht es nach einer Auslenkung zur Ruhelage zurück. Bei kleinen Winkeln wächst diese rücktreibende Wirkung nahezu proportional zum Winkel. Dadurch ist die Bewegung näherungsweise harmonisch: T = 2π√(L/g). T bezeichnet die Schwingungsdauer, L den Abstand von der Aufhängung bis zum Schwerpunkt und g die örtliche Fallbeschleunigung. Die Masse kürzt sich heraus.
Formel und Variablen
T = 2π · √(L/g)
Periodendauer: T = 2π√(L/g)Benötigte Länge: L = g(T/2π)²Fallbeschleunigung aus Messung: g = L(2π/T)²
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Schwingungsdauer T | Zeit für eine ganze Hin-und-zurück-Bewegung, etwa von einem linken Umkehrpunkt zum nächsten linken Umkehrpunkt. Mit Stoppuhr mehrere Schwingungen messen und durch deren Anzahl teilen; typische Sekundenpendel haben rund 2 s Periodendauer. |
| Pendellänge L | Abstand vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt des Pendelkörpers, nicht nur die freie Fadenlänge. Aus der Geometrie messen; typische Schulpendel sind etwa 0,2 bis 2 m lang. |
| Erdbeschleunigung g | Örtliche Fallbeschleunigung; auf der Erde ungefähr 9,81 m/s². Für genaue Messungen den örtlichen Wert verwenden. |
Eingaben richtig wählen
Die Pendellänge L in Metern wird vom Drehpunkt bis zum Schwerpunkt des Gewichts gemessen; die Fadenlänge allein kann zu kurz sein. Für einen ersten Versuch sind 0,2 bis 2 m gut handhabbar. g ist auf der Erde näherungsweise 9,81 m/s²; einen genaueren Ortswert liefert eine geodätische Angabe oder Messung. Für die Rückrechnung aus T misst man mit einer Stoppuhr mehrere ganze Schwingungen und teilt die Gesamtzeit durch deren Anzahl.
So benutzt du den Rechner
Für die Periodendauer T Länge und Erdbeschleunigung eingeben. Eine ganze Schwingung endet erst wieder am selben Umkehrpunkt. Als Zielgröße L lässt sich die benötigte Pendellänge bestimmen; als Zielgröße g die örtliche Fallbeschleunigung aus gemessener Länge und Periodendauer abschätzen.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Ein Pendel mit L = 1,00 m bei g = 9,80665 m/s² braucht T = 2π√(1/9,80665) = 2,006 s für eine volle Schwingung. Zehn volle Schwingungen dauern ungefähr 20,06 s. Wird die Länge auf 4 m vervierfacht, verdoppelt sich T auf 4,012 s.
Ergebnis und Einheiten verstehen
Die Periodendauer wächst nur mit der Quadratwurzel der Länge. Ein doppelt so langes Pendel benötigt daher etwa das 1,41-Fache der Zeit. Das Ergebnis ist eine Näherung für kleine Auslenkungen; bei großen Startwinkeln dauert eine Schwingung länger.
Intern werden Meter, Sekunden und m/s² verwendet. Die angebotene Längeneinheit wird vor der Berechnung in Meter umgerechnet. T ist die Zeit einer ganzen Schwingung, nicht die Zeit von einem Umkehrpunkt zum gegenüberliegenden.
Typische Anwendungen
Vorplanung und Kontrolle von Demonstrationspendeln, Abschätzung von Schwingzeiten in einfachen Messaufbauten und Plausibilitätsprüfung einer gravimetrischen Pendelmessung.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Das Modell setzt einen punktförmigen Pendelkörper, einen masselosen und nicht dehnbaren Faden, eine feste Aufhängung sowie kleine Winkel voraus. Reibung und Luftwiderstand fehlen. Für präzise Uhrwerke, größere Ausschläge oder ausgedehnte starre Pendelkörper ist ein genaueres Modell nötig.
Typischer Fehler: Häufig wird nur die Fadenlänge statt des Abstands zum Schwerpunkt gemessen oder eine halbe Schwingung als T gezählt. Bei großen Auslenkungen unterschätzt die Kleinwinkelformel die Zeit; die Masse des Pendelkörpers darf nicht als Korrekturfaktor ergänzt werden.
Häufige Fragen
Wofür ist „Schwingungsdauer eines Fadenpendels“ gedacht?
Vorplanung und Kontrolle von Demonstrationspendeln, Abschätzung von Schwingzeiten in einfachen Messaufbauten und Plausibilitätsprüfung einer gravimetrischen Pendelmessung.
Woher kommen die Eingabewerte?
Die Pendellänge L in Metern wird vom Drehpunkt bis zum Schwerpunkt des Gewichts gemessen; die Fadenlänge allein kann zu kurz sein. Für einen ersten Versuch sind 0,2 bis 2 m gut handhabbar. g ist auf der Erde näherungsweise 9,81 m/s²; einen genaueren Ortswert liefert eine geodätische Angabe oder Messung. Für die Rückrechnung aus T misst man mit einer Stoppuhr mehrere ganze Schwingungen und teilt die Gesamtzeit durch deren Anzahl.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Das Modell setzt einen punktförmigen Pendelkörper, einen masselosen und nicht dehnbaren Faden, eine feste Aufhängung sowie kleine Winkel voraus. Reibung und Luftwiderstand fehlen. Für präzise Uhrwerke, größere Ausschläge oder ausgedehnte starre Pendelkörper ist ein genaueres Modell nötig.