Rechenweg
θ = F · L² / (2 · E · I)
Die Endkraft biegt den Kragarm nicht nur durch, sondern verdreht die Tangente am freien Ende. Der Winkel wächst mit dem Quadrat der freien Länge.
Euler-Bernoulli-Biegelinie bei Endkraft · θ = FL²/(2EI)
Endneigung eines Kragarms unter Endkraft berechnen
Die Endkraft biegt den Kragarm nicht nur durch, sondern verdreht die Tangente am freien Ende. Der Winkel wächst mit dem Quadrat der freien Länge.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Eingaben verstehen
- Endneigung θ — Betrag des Winkels zwischen ursprünglicher Balkenachse und Tangente am freien Ende; relevant für die Ausrichtung einer angehängten Vorrichtung, nicht identisch mit der Durchbiegung in Millimetern.
- Senkrechte Endkraft F — Ruhende Kraft senkrecht zur ursprünglichen Balkenachse am freien Ende, aus Lastannahme oder Gewichtskraft ermitteln.
- Freie Länge L — Abstand von der Einspannkante bis zur Endkraft entlang des unverformten Kragarms, aus Zeichnung messen.
- Elastizitätsmodul E — Materialsteifigkeit bei der betrachteten Temperatur, aus Materialdatenblatt; Baustahl typischerweise etwa 210 GPa.
- Flächenträgheitsmoment I — Geometrische Biegesteifigkeit des Querschnitts um die belastete Achse. Aus Profiltafel, Querschnittszeichnung oder Querschnittsrechner; 100 cm⁴ entsprechen 10⁻⁶ m⁴.
Beispiel
F = 1000 N, L = 2 m, E = 210 GPa und I = 100 cm⁴ = 10⁻⁶ m⁴: θ = 1000·2²/(2·210·10⁹·10⁻⁶) = 0,009524 rad = 0,546°.
Annahmen und Grenzen
Gerader prismenförmiger Euler-Bernoulli-Balken, starre Einspannung, lineare Elastizität, kleine Winkel, genau eine statische Endkraft. Schubverformung, Eigengewicht, weitere Lasten und nichtlineare große Verformungen fehlen.
Endneigung eines Kragarms unter Einzellast verstehen
Eine Kraft am freien Ende senkt einen Kragarm ab und kippt zugleich die Fläche am Ende. Diese Endneigung ist für angeschlossene Führungen und Halterungen oft entscheidend.
Was beschreibt diese Größe?
Ein Kragarm ist auf einer Seite fest eingespannt und am anderen frei. Für einen geraden Balken mit konstanter Biegesteifigkeit E·I erzeugt die Endkraft F in einem Querschnitt x das Moment F(L−x). Die Krümmung der Biegelinie ist näherungsweise Moment geteilt durch E·I. Von der Einspannung mit Neigung null bis zum freien Ende integriert ergibt sich θ = FL²/(2EI). θ ist der Tangentenwinkel am Ende; E der Elastizitätsmodul und I das Flächenträgheitsmoment um die Biegeachse.
Formel und Variablen
θ = F · L² / (2 · E · I)
Biegemoment im Abstand x von der Einspannung: M(x) = F(L−x)Endneigung: θ = FL²/(2EI)
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Endneigung θ | Betrag des Winkels zwischen ursprünglicher Balkenachse und Tangente am freien Ende; relevant für die Ausrichtung einer angehängten Vorrichtung, nicht identisch mit der Durchbiegung in Millimetern. |
| Senkrechte Endkraft F | Ruhende Kraft senkrecht zur ursprünglichen Balkenachse am freien Ende, aus Lastannahme oder Gewichtskraft ermitteln. |
| Freie Länge L | Abstand von der Einspannkante bis zur Endkraft entlang des unverformten Kragarms, aus Zeichnung messen. |
| Elastizitätsmodul E | Materialsteifigkeit bei der betrachteten Temperatur, aus Materialdatenblatt; Baustahl typischerweise etwa 210 GPa. |
| Flächenträgheitsmoment I | Geometrische Biegesteifigkeit des Querschnitts um die belastete Achse. Aus Profiltafel, Querschnittszeichnung oder Querschnittsrechner; 100 cm⁴ entsprechen 10⁻⁶ m⁴. |
Eingaben richtig wählen
F in N ist die senkrechte statische Endkraft. L in m reicht von der Einspannkante bis zum Kraftangriff. E in Pa kommt aus einem Werkstoffdatenblatt; Stahl etwa 210 GPa. I in m⁴ kommt aus der Querschnittsgeometrie oder Profiltafel und muss zur Richtung der Biegung passen. Werte nur für denselben Balken und Lastfall kombinieren.
So benutzt du den Rechner
Kraft, freie Länge, Materialsteifigkeit und richtiges I eingeben. Der ausgegebene Winkel beschreibt die Richtung der Endtangente. Bei einem Anbauteil den zulässigen Ausrichtfehler damit vergleichen und Durchbiegung sowie Festigkeit separat prüfen.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Bei F = 1000 N, L = 2 m, E = 210 GPa und I = 100 cm⁴ = 10⁻⁶ m⁴ folgt θ = 1000·4/(2·210·10⁹·10⁻⁶) = 0,009524 rad = 0,546°. Wird L verdoppelt, wächst θ auf das Vierfache.
Ergebnis und Einheiten verstehen
Die Länge wirkt quadratisch, während eine doppelte Biegesteifigkeit E·I den Winkel halbiert. Endneigung ist ein Winkel, nicht der vertikale Endweg; zwei Konstruktionen können gleiche Durchbiegung, aber verschiedene Endausrichtung haben.
Intern nutzt die Rechnung Newton, Meter, Pascal und m⁴ und liefert Radiant. Das Einheitenregister wandelt kN, mm, GPa und cm⁴ vor der Rechnung sowie Radiant in Grad für die Anzeige um.
Typische Anwendungen
Ausrichtung von Vorrichtungen an Kragarmen, Sensorhaltern, Auslegern und Maschinenrahmen bei einer konzentrierten Endlast.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Nur gerader Balken mit konstantem Querschnitt, linear-elastischem Verhalten, starrer Einspannung und kleiner Rotation. Schubverformung, nachgiebige Lagerung, Eigengewicht, zusätzliche Kräfte, Temperatur und große Verformungen fehlen.
Typischer Fehler: I muss um die richtige Biegeachse gelten. Den Winkel θ nicht mit der Enddurchbiegung verwechseln. Die Länge L ist die freie Auskragung, nicht die Gesamtlänge einschließlich Einspannbereich.
Häufige Fragen
Wofür ist „Endneigung eines Kragarms unter Einzellast“ gedacht?
Ausrichtung von Vorrichtungen an Kragarmen, Sensorhaltern, Auslegern und Maschinenrahmen bei einer konzentrierten Endlast.
Woher kommen die Eingabewerte?
F in N ist die senkrechte statische Endkraft. L in m reicht von der Einspannkante bis zum Kraftangriff. E in Pa kommt aus einem Werkstoffdatenblatt; Stahl etwa 210 GPa. I in m⁴ kommt aus der Querschnittsgeometrie oder Profiltafel und muss zur Richtung der Biegung passen. Werte nur für denselben Balken und Lastfall kombinieren.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Nur gerader Balken mit konstantem Querschnitt, linear-elastischem Verhalten, starrer Einspannung und kleiner Rotation. Schubverformung, nachgiebige Lagerung, Eigengewicht, zusätzliche Kräfte, Temperatur und große Verformungen fehlen.