Rechenweg
ΔL = ρ · g · L² / (2E)
Oben trägt der Stab das Gewicht aller darunterliegenden Teile, unten ist die Zugkraft null. Durch Integration der Dehnung entsteht eine Verlängerung, die mit dem Quadrat der Länge wächst.
Integrierte Eigengewichtsdehnung · ΔL = ρgL²/(2E)
Verlängerung eines hängenden Stabs durch Eigengewicht berechnen
Oben trägt der Stab das Gewicht aller darunterliegenden Teile, unten ist die Zugkraft null. Durch Integration der Dehnung entsteht eine Verlängerung, die mit dem Quadrat der Länge wächst.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Eingaben verstehen
- Verlängerung ΔL — Zusätzlicher Längenzuwachs des frei hängenden Stabs allein durch eigenes Gewicht. Für die tatsächliche Endposition äußere Lasten und Temperaturänderung gesondert berücksichtigen.
- Werkstoffdichte ρ — Masse pro Volumen des Stabmaterials aus Werkstoffdatenblatt; Stahl als grober Richtwert etwa 7850 kg/m³.
- Erdbeschleunigung g — Örtliche Fallbeschleunigung; auf der Erde meist nahe 9,81 m/s².
- Freie Stablänge L — Senkrechte Länge vom oberen Aufhängepunkt bis zum unbelasteten freien Ende. Lange Stäbe oder Seile sind besonders betroffen, weil L quadratisch eingeht.
- Elastizitätsmodul E — Steifigkeit des homogenen Werkstoffs bei Betriebstemperatur, aus Werkstoffdatenblatt; Stahl etwa 210 GPa.
Beispiel
Ein 100 m langer Stahlstab mit ρ = 7850 kg/m³ und E = 210 GPa verlängert sich bei g = 9,80665 m/s² um ΔL = ρgL²/(2E) = 1,833 mm.
Annahmen und Grenzen
Gerader homogener senkrechter Stab mit überall gleichem Querschnitt, oben fest, unten frei und ohne angehängte Last; linear-elastische Dehnung bei konstanter Dichte und E. Temperatur, Kriechen, Seildehnung durch Schlupf, äußere Lasten und Querschnittsänderung fehlen.
Verlängerung eines hängenden Stabs durch Eigengewicht verstehen
Ein langer, frei hängender Stab dehnt sich schon durch sein eigenes Gewicht. Oben muss er mehr Gewicht tragen als unten; deshalb ist die Dehnung nicht über die Länge konstant.
Was beschreibt diese Größe?
An einem Querschnitt des senkrechten Stabs hängt jeweils der Teil darunter. Seine Zugkraft nimmt von null am freien Ende bis zum Gesamtgewicht oben linear zu. Die örtliche Dehnung ist Zugspannung geteilt durch Elastizitätsmodul E. Für homogene Dichte ρ, konstante Querschnittsfläche und Länge L ergibt die Integration ΔL = ρgL²/(2E). ΔL ist die Verlängerung, g die Fallbeschleunigung. Die Querschnittsfläche kürzt sich heraus, weil sowohl Gewicht als auch Zugsteifigkeit mit ihr wachsen.
Formel und Variablen
ΔL = ρ · g · L² / (2E)
Zugkraft in Höhe x vom freien Ende: N(x) = ρgAxÖrtliche Dehnung: ε(x) = ρgx/EGesamte Verlängerung: ΔL = ρgL²/(2E)
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Verlängerung ΔL | Zusätzlicher Längenzuwachs des frei hängenden Stabs allein durch eigenes Gewicht. Für die tatsächliche Endposition äußere Lasten und Temperaturänderung gesondert berücksichtigen. |
| Werkstoffdichte ρ | Masse pro Volumen des Stabmaterials aus Werkstoffdatenblatt; Stahl als grober Richtwert etwa 7850 kg/m³. |
| Erdbeschleunigung g | Örtliche Fallbeschleunigung; auf der Erde meist nahe 9,81 m/s². |
| Freie Stablänge L | Senkrechte Länge vom oberen Aufhängepunkt bis zum unbelasteten freien Ende. Lange Stäbe oder Seile sind besonders betroffen, weil L quadratisch eingeht. |
| Elastizitätsmodul E | Steifigkeit des homogenen Werkstoffs bei Betriebstemperatur, aus Werkstoffdatenblatt; Stahl etwa 210 GPa. |
Eingaben richtig wählen
ρ in kg/m³ und E in Pa aus dem Materialdatenblatt für den Betriebszustand übernehmen; für Stahl sind 7850 kg/m³ und 210 GPa nur Richtwerte. L ist die senkrechte freie Länge vom Aufhängepunkt bis zum unbelasteten unteren Ende. g ist auf der Erde etwa 9,81 m/s². Die Formel setzt einen überall gleichen Querschnitt voraus.
So benutzt du den Rechner
Dichte, E-Modul, freie Länge und Ortswert von g eintragen. Die berechnete Verlängerung zur unbelasteten Länge addieren. Bei einer zusätzlich angehängten Kraft deren eigene Verlängerung getrennt bestimmen und nur im linearen Bereich überlagern.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Für einen 100 m langen Stahlstab mit ρ = 7850 kg/m³, E = 210 GPa und g = 9,80665 m/s² folgt ΔL = 7850·9,80665·100²/(2·210·10⁹) = 0,001833 m = 1,833 mm. Bei 200 m wäre es das Vierfache.
Ergebnis und Einheiten verstehen
Die Eigengewichtsdehnung steigt quadratisch mit L, ist aber unabhängig vom konstanten Querschnitt. Ein dickerer homogener Stab trägt mehr Eigengewicht und besitzt im selben Verhältnis mehr Zugsteifigkeit.
Intern werden Dichte in kg/m³, Länge in m, E in Pa und g in m/s² eingesetzt. Die Ausgabe kann in mm oder anderen angebotenen Längeneinheiten angezeigt werden.
Typische Anwendungen
Plausibilitätsprüfung langer Hängestäbe, Messglieder und Zugglieder; Abschätzung des Eigengewichtseinflusses, bevor weitere Lasten berücksichtigt werden.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Nur gerader senkrechter homogener Stab mit konstantem Querschnitt, fester oberer Aufhängung und freiem unbelastetem unteren Ende. Lineare Elastizität, konstante Temperatur und kleine Dehnungen werden vorausgesetzt. Angebaute Last, Kriechen, Seilkonstruktion, Eigenbewegung und seitliche Belastung fehlen.
Typischer Fehler: Nicht die Gesamtgewichtskraft in ΔL = FL/(EA) einsetzen: Das würde die Eigengewichtsverlängerung verdoppeln, weil die Zugkraft unten null ist. L ist die freie senkrechte Länge und E muss zur betrachteten Temperatur passen.
Häufige Fragen
Wofür ist „Verlängerung eines hängenden Stabs durch Eigengewicht“ gedacht?
Plausibilitätsprüfung langer Hängestäbe, Messglieder und Zugglieder; Abschätzung des Eigengewichtseinflusses, bevor weitere Lasten berücksichtigt werden.
Woher kommen die Eingabewerte?
ρ in kg/m³ und E in Pa aus dem Materialdatenblatt für den Betriebszustand übernehmen; für Stahl sind 7850 kg/m³ und 210 GPa nur Richtwerte. L ist die senkrechte freie Länge vom Aufhängepunkt bis zum unbelasteten unteren Ende. g ist auf der Erde etwa 9,81 m/s². Die Formel setzt einen überall gleichen Querschnitt voraus.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Nur gerader senkrechter homogener Stab mit konstantem Querschnitt, fester oberer Aufhängung und freiem unbelastetem unteren Ende. Lineare Elastizität, konstante Temperatur und kleine Dehnungen werden vorausgesetzt. Angebaute Last, Kriechen, Seilkonstruktion, Eigenbewegung und seitliche Belastung fehlen.