Eingaben
Axialkraft F, Stablänge L, Querschnittsfläche A und Elastizitätsmodul E des Werkstoffs beschreiben den Stab vollständig.
Statik & Festigkeit · Lineare Elastizität
Zug-/Druckstab: Verformung und axiale Steifigkeit
Berechne aus Axialkraft F, Stablänge L, Querschnittsfläche A und Elastizitätsmodul E die Verlängerung ΔL, die Dehnung ε, die Normalspannung σ, die axiale Steifigkeit k=EA/L und die im Stab gespeicherte Formänderungsenergie U eines zentrisch belasteten Zug-/Druckstabs.
Geprüft wird ein schlanker, prismatischer Stab unter reiner Axiallast im linear-elastischen Bereich. Ein Knicknachweis für Druckstäbe ist nicht enthalten.
ΔLk=EA/L
02
Verformung und Steifigkeit
Eingaben festlegen und berechnen.
Eingaben und Rechenweg
Zug-/Druckstab: Verformung und axiale Steifigkeit
Berechne Verlängerung, Dehnung, Spannung, axiale Steifigkeit und Formänderungsenergie eines zentrisch belasteten Zug-/Druckstabs.
Zusammenhang
Aus dem Hooke'schen Gesetz folgen σ=F/A, ΔL=F·L/(E·A), ε=ΔL/L=σ/E, die axiale Steifigkeit k=E·A/L=F/ΔL und die Formänderungsenergie U=F·ΔL/2=F²·L/(2·E·A).
Beispiel
F=10.000 N, L=2.000 mm, A=100 mm², E=210.000 MPa ergeben σ=100 MPa, ΔL≈0,952 mm, k=10.500 N/mm und U≈4,76 J.
Quellen und Grenzen: Klassische lineare Elastizität (Hooke'sches Gesetz); nur im linear-elastischen Bereich gültig, kein Knicknachweis für Druckstäbe.
Zug-/Druckstab: Verformung und axiale Steifigkeit im Detail
Berechne Verlängerung, Dehnung, Spannung, axiale Steifigkeit und Formänderungsenergie eines zentrisch belasteten Zug-/Druckstabs.
Was ist ein Zug-/Druckstab?
Ein Zug-/Druckstab ist ein schlankes, prismatisches Bauteil, das ausschließlich durch eine zentrisch entlang seiner Längsachse wirkende Kraft belastet wird – ohne Biegung, Torsion oder Querkraft. Im linear-elastischen Bereich beschreibt das Hooke'sche Gesetz den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung vollständig.
Formel und Variablen
ΔL = F·L / (E·A)
ε = ΔL/L = σ/Ek = E·A/L = F/ΔLU = F·ΔL/2 = F²·L/(2·E·A)
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| F | Axial angreifende Kraft, in N; positiv für Zug, negativ für Druck. |
| L | Ungedehnte Ausgangslänge des Stabes, in mm oder m. |
| A | Querschnittsfläche senkrecht zur Stabachse, als konstant über die Länge angenommen. |
| E | Elastizitätsmodul (Young'scher Modul) des Werkstoffs, in MPa oder GPa. |
| ΔL, ε, k, U | Verlängerung, Dehnung, axiale Steifigkeit und Formänderungsenergie – die vier Ergebnisgrößen des Stabmodells. |
Eingaben richtig wählen
Axialkraft F, Stablänge L, Querschnittsfläche A und Elastizitätsmodul E des Werkstoffs beschreiben den Stab vollständig.
So benutzt du den Rechner
Trage die axial angreifende Kraft F, die ungedehnte Stablänge L, die Querschnittsfläche A und den Elastizitätsmodul E des Werkstoffs ein. Die Fläche kann direkt aus dem Querschnittswerte-Rechner übernommen werden, falls sie nicht bekannt ist.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
F=10.000 N, L=2.000 mm, A=100 mm², E=210.000 MPa ergeben σ=100 MPa, ΔL≈0,952 mm, k=10.500 N/mm und U≈4,76 J.
Wie hängen ΔL, k und U zusammen?
ΔL und k beschreiben dasselbe physikalische Verhalten aus zwei Blickwinkeln: ΔL beantwortet 'wie viel verlängert sich der Stab bei dieser Kraft', k beantwortet 'welche Kraft wäre für eine bestimmte Verlängerung nötig' – k ist damit direkt die Federkonstante des Stabes, wie sie z. B. in einer Ersatzfeder für eine Baugruppe verwendet wird. U ist die Fläche unter der linearen Kraft-Verlängerungs-Kennlinie.
Kraft in N oder kN, Länge in mm oder m, Fläche in mm² oder cm², Elastizitätsmodul in MPa oder GPa; die Ergebnisse in mm, dimensionslos (Dehnung), N/mm und Joule.
Typische Anwendungen
Abschätzen, wie stark sich ein Zug- oder Druckglied (z. B. eine Zugstange, ein Seil oder eine Pendelstütze) unter einer bekannten Axialkraft verlängert oder verkürzt, oder Vergleichen der Steifigkeit unterschiedlicher Querschnitte oder Werkstoffe.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Klassische lineare Elastizität (Hooke'sches Gesetz); nur im linear-elastischen Bereich gültig, kein Knicknachweis für Druckstäbe.
Typischer Fehler: Die axiale Steifigkeit k = E·A/L nicht mit dem Elastizitätsmodul E selbst verwechseln – E ist eine reine Werkstoffkonstante, k hängt zusätzlich von Fläche und Länge des konkreten Stabes ab. Bei Druckkräften wird hier keine Knicklast (Euler-Knicken) geprüft; ein schlanker Druckstab kann bereits vor Erreichen der Streckgrenze ausknicken.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen der Dehnung ε und der Verlängerung ΔL?
ΔL ist die absolute Längenänderung in mm oder m, ε=ΔL/L ist die auf die Ausgangslänge bezogene, dimensionslose Dehnung. Zwei unterschiedlich lange Stäbe mit gleichem ΔL haben unterschiedliche ε.
Wie hängen axiale Steifigkeit k und Elastizitätsmodul E zusammen?
k=E·A/L ist die Steifigkeit des konkreten Bauteils (Kraft pro Verlängerungseinheit), E ist eine reine Werkstoffeigenschaft. Zwei Stäbe aus demselben Werkstoff (gleiches E) können durch unterschiedliche Fläche oder Länge dennoch sehr unterschiedliche k haben.
Wofür wird die Formänderungsenergie U benötigt?
U beschreibt die im Stab gespeicherte elastische Energie und wird z. B. für Energiemethoden der Baustatik (etwa den Satz von Castigliano) oder für Stoßprobleme benötigt, bei denen kinetische Energie in Formänderungsenergie umgewandelt wird.
Gilt diese Rechnung auch für Druckstäbe?
Die Formeln gelten mathematisch identisch für Druck (negative Kraft), liefern aber nur die Werkstoffverformung. Ob ein schlanker Druckstab vorher ausknickt, muss gesondert über einen Knicknachweis (Euler-Fälle) geprüft werden.