Rechenweg
wF = F·a²·(L−a)²/(3·E·I·L)
Für eine einzelne Last zwischen zwei einfachen Lagern zeigt das Ergebnis, wie weit sich der Balken genau am Lastangriffspunkt durchbiegt.
Elastische Biegelinie des einfach gelagerten Balkens · wF = F·a²·(L−a)²/(3·E·I·L)
Durchbiegung bei außermittiger Einzellast berechnen
Für eine einzelne Last zwischen zwei einfachen Lagern zeigt das Ergebnis, wie weit sich der Balken genau am Lastangriffspunkt durchbiegt.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Eingaben verstehen
- Durchbiegung am Lastort wF — Elastischer Weg genau unter der nach unten gerichteten Einzellast, positiv nach unten; damit lassen sich zulässige Gebrauchsdurchbiegungen vergleichen. Dies ist nicht zwangsläufig die größte Durchbiegung des gesamten Balkens.
- Einzellast F — Senkrecht nach unten wirkende einzelne Kraft aus Lastannahme oder Messung; Eigengewicht und weitere Lasten fehlen.
- Stützweite L — Abstand der beiden idealen Punktlager entlang der geraden Balkenachse, aus Zeichnung oder Messung.
- Lastabstand a vom linken Lager — Abstand von Lager A bis zur Kraft entlang der Balkenachse; 0 ≤ a ≤ L. Der Abstand zum rechten Lager ist L−a.
- Elastizitätsmodul E — Biege-Elastizitätsmodul des Werkstoffs aus Werkstoffdaten, zum Beispiel etwa 210 GPa für Stahl.
- Flächenträgheitsmoment I — Flächenträgheitsmoment des unveränderten Querschnitts um die Biegeachse aus Profiltabelle oder Querschnittsrechnung.
Beispiel
F = 1.000 N, L = 3 m, a = 1 m, E = 210 GPa und I = 100 cm⁴ ergeben wF = 2,116 mm. Bei a = 1,5 m beträgt die Durchbiegung 2,679 mm.
Annahmen und Grenzen
Gerader, prismatischer Euler-Bernoulli-Balken mit zwei einfachen Lagern, kleiner elastischer Durchbiegung, einer senkrechten Punktlast und konstantem EI. Schubverformung, Eigengewicht und andere Lasten fehlen. Die Durchbiegung am Lastort ist im außermittigen Fall nicht allgemein die maximale Durchbiegung des Balkens.
Durchbiegung unter außermittiger Einzellast verstehen
Eine einzelne Kraft belastet einen Balken zwischen zwei Lagern. Mit diesem Rechner lässt sich der elastische Weg direkt unter der Kraft abschätzen, auch wenn die Kraft nicht in der Mitte angreift.
Was beschreibt diese Größe?
Ein einfach gelagerter Balken darf sich an beiden Enden drehen; ein Lager verhindert zusätzlich eine axiale Verschiebung, das andere lässt sie zu. Die Biegelinie ist die verformte Längsachse. Für einen geraden Balken mit konstanter Biegesteifigkeit E·I und einer einzelnen senkrechten Last F im Abstand a von Lager A gilt für die Durchbiegung am Lastort wF = F·a²·b²/(3·E·I·L), wobei b = L−a der Abstand zum rechten Lager und L die Stützweite ist.
Formel und Variablen
wF = F·a²·(L−a)²/(3·E·I·L)
Abstand zum zweiten Lager: b = L−aDurchbiegung am Lastort: wF = F·a²·b²/(3EIL)Mittige Last a = L/2: wF = F·L³/(48EI)
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Durchbiegung am Lastort wF | Elastischer Weg genau unter der nach unten gerichteten Einzellast, positiv nach unten; damit lassen sich zulässige Gebrauchsdurchbiegungen vergleichen. Dies ist nicht zwangsläufig die größte Durchbiegung des gesamten Balkens. |
| Einzellast F | Senkrecht nach unten wirkende einzelne Kraft aus Lastannahme oder Messung; Eigengewicht und weitere Lasten fehlen. |
| Stützweite L | Abstand der beiden idealen Punktlager entlang der geraden Balkenachse, aus Zeichnung oder Messung. |
| Lastabstand a vom linken Lager | Abstand von Lager A bis zur Kraft entlang der Balkenachse; 0 ≤ a ≤ L. Der Abstand zum rechten Lager ist L−a. |
| Elastizitätsmodul E | Biege-Elastizitätsmodul des Werkstoffs aus Werkstoffdaten, zum Beispiel etwa 210 GPa für Stahl. |
| Flächenträgheitsmoment I | Flächenträgheitsmoment des unveränderten Querschnitts um die Biegeachse aus Profiltabelle oder Querschnittsrechnung. |
Eingaben richtig wählen
F ist die nach unten wirkende Einzellast in Newton aus Lastannahme oder Messung. L ist die Stützweite in Metern zwischen den Lagern, a der Abstand von Lager A bis zur Last; zulässig ist 0 ≤ a ≤ L. E ist der Elastizitätsmodul des Werkstoffs aus dem Datenblatt, etwa 210 GPa für Stahl. I ist das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts um die Biegeachse aus Profiltafel oder Querschnittsrechner. wF ist der Weg unter der Last, in Millimetern ausgegeben und positiv nach unten; er wird mit einer zulässigen Gebrauchsdurchbiegung verglichen.
So benutzt du den Rechner
Stützweite und Lastposition entlang derselben Balkenachse messen. Den zur tatsächlichen Biegerichtung passenden Wert I bestimmen, E aus Werkstoffdaten übernehmen und nur die senkrechte Einzelkraft F eingeben. Ergebnis als Durchbiegung am Kraftangriffspunkt lesen, nicht als allgemeinen Maximalwert.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Ein Stahlbalken mit L = 3 m, E = 210 GPa und I = 100 cm⁴ trägt F = 1.000 N bei a = 1 m. Dann ist b = 2 m und wF = 1000·1²·2²/(3·210·10⁹·10⁻⁶·3) m = 0,002116 m = 2,116 mm. Bei mittiger Last a = b = 1,5 m folgt 2,679 mm.
Ergebnis und Einheiten verstehen
Die Durchbiegung ist bei gleicher Lastposition proportional zu F und umgekehrt proportional zu E und I. Das Vertauschen von a und b ändert das Ergebnis nicht. Direkt auf einem idealen Lager (a = 0 oder a = L) ist der Weg null.
Die interne Rechnung nutzt F in N, L und a in m, E in Pa und I in m⁴; wF entsteht in m. Die verfügbaren Einheiten werden vor der Rechnung in SI umgerechnet. 100 cm⁴ entsprechen 10⁻⁶ m⁴.
Typische Anwendungen
Vorabschätzung von Trägern, Konsolen mit zwei Auflagern und Maschinenrahmen unter einer örtlichen Last, bevor Gebrauchstauglichkeit und Festigkeit geprüft werden.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Nur für einen geraden, prismatischen Euler-Bernoulli-Balken mit zwei einfachen Lagern, kleinem elastischem Weg und einer einzelnen senkrechten Punktlast. Schubverformung, Eigengewicht, veränderliche Biegesteifigkeit und andere Lasten fehlen. Bei außermittiger Last kann die größte Durchbiegung an einer anderen Stelle liegen.
Typischer Fehler: Den Lastabstand nicht vom falschen Lager messen und a nicht größer als L eingeben. Das Ergebnis ist der Weg am Lastort, nicht automatisch die größte Durchbiegung. Ein größerer Wert I aus der falschen Biegeachse unterschätzt den Weg.
Häufige Fragen
Wofür ist „Durchbiegung unter außermittiger Einzellast“ gedacht?
Vorabschätzung von Trägern, Konsolen mit zwei Auflagern und Maschinenrahmen unter einer örtlichen Last, bevor Gebrauchstauglichkeit und Festigkeit geprüft werden.
Woher kommen die Eingabewerte?
F ist die nach unten wirkende Einzellast in Newton aus Lastannahme oder Messung. L ist die Stützweite in Metern zwischen den Lagern, a der Abstand von Lager A bis zur Last; zulässig ist 0 ≤ a ≤ L. E ist der Elastizitätsmodul des Werkstoffs aus dem Datenblatt, etwa 210 GPa für Stahl. I ist das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts um die Biegeachse aus Profiltafel oder Querschnittsrechner. wF ist der Weg unter der Last, in Millimetern ausgegeben und positiv nach unten; er wird mit einer zulässigen Gebrauchsdurchbiegung verglichen.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Nur für einen geraden, prismatischen Euler-Bernoulli-Balken mit zwei einfachen Lagern, kleinem elastischem Weg und einer einzelnen senkrechten Punktlast. Schubverformung, Eigengewicht, veränderliche Biegesteifigkeit und andere Lasten fehlen. Bei außermittiger Last kann die größte Durchbiegung an einer anderen Stelle liegen.