Rechenweg
y(t) = K · Δu · (1 − e^(−t/T))
Der Rechner zeigt, wie ein verzögerndes System nach einem Eingangssprung exponentiell auf seinen neuen Endwert zuläuft und wie viel davon nach der gewählten Zeit bereits erreicht ist.
Zacher/Reuter 2024, Abschnitt 3.2: P-Strecke 1. Ordnung
PT1-Glied: Sprungantwort berechnen
Der Rechner zeigt, wie ein verzögerndes System nach einem Eingangssprung exponentiell auf seinen neuen Endwert zuläuft und wie viel davon nach der gewählten Zeit bereits erreicht ist.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Technische Prinzipskizze
Eingaben verstehen
- Ausgangsänderung y(t) — Momentane Änderung der Ausgangsgröße zur Zeit t. Multiplizieren Sie den dimensionslosen Wert bei Bedarf mit der physikalischen Bezugseinheit Ihres Modells, etwa bar, °C oder min⁻¹.
- Statische Verstärkung K — Verhältnis der bleibenden Ausgangsänderung zur Eingangssprunghöhe. Ermitteln Sie K aus zwei stationären Betriebspunkten als Δy∞/Δu oder aus einem identifizierten Streckenmodell.
- Eingangssprung Δu — Änderung des Eingangssignals ab t=0, also neuer minus alter Eingangswert. Verwenden Sie skalierte oder normierte Größen, wenn Ein- und Ausgang unterschiedliche physikalische Einheiten haben.
- Zeitkonstante T — Verzögerungsmaß des PT1-Glieds. Nach einer Zeitkonstante sind 63,2 % der gesamten Ausgangsänderung erreicht. T stammt meist aus einer Sprungmessung, einem Datenblatt oder einer Modellidentifikation.
- Zeit seit dem Sprung t — Zeitabstand zwischen dem Eingangssprung und dem betrachteten Ausgabepunkt. t=0 beschreibt den Moment direkt nach dem Sprung.
Beispiel
K=2, Δu=3 und T=5 s ergeben bei t=5 s den Wert y=6·(1−e⁻¹)≈3,793. Das sind 63,2 % des Endwerts 6.
Annahmen und Grenzen
Ideales lineares, zeitinvariantes PT1-Glied in Ruhelage vor einem sofortigen Eingangssprung; Anfangswert, Totzeit, Begrenzungen, Störungen und weitere Zeitkonstanten sind nicht enthalten.
PT1-Glied: Sprungantwort berechnen verstehen
Der Rechner macht das Zeitverhalten eines Systems mit genau einer wirksamen Verzögerung sichtbar. Typische Näherungen sind ein Temperaturfühler, ein gut durchmischter Behälter oder ein tiefpassartiges Messglied.
Was beschreibt diese Größe?
Ein PT1-Glied reagiert nicht sprunghaft. Nach einem Eingangssprung Δu nähert sich die Ausgangsänderung y(t) mit der Zeitkonstante T dem Endwert K·Δu. Die Kurve erreicht diesen Endwert theoretisch nur asymptotisch.
Formel und Variablen
y(t) = K · Δu · (1 − e^(−t/T))
G(s) = K/(1 + T·s)y(t)/(K·Δu) = 1 − e^(−t/T)
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Ausgangsänderung y(t) | Momentane Änderung der Ausgangsgröße zur Zeit t. Multiplizieren Sie den dimensionslosen Wert bei Bedarf mit der physikalischen Bezugseinheit Ihres Modells, etwa bar, °C oder min⁻¹. |
| Statische Verstärkung K | Verhältnis der bleibenden Ausgangsänderung zur Eingangssprunghöhe. Ermitteln Sie K aus zwei stationären Betriebspunkten als Δy∞/Δu oder aus einem identifizierten Streckenmodell. |
| Eingangssprung Δu | Änderung des Eingangssignals ab t=0, also neuer minus alter Eingangswert. Verwenden Sie skalierte oder normierte Größen, wenn Ein- und Ausgang unterschiedliche physikalische Einheiten haben. |
| Zeitkonstante T | Verzögerungsmaß des PT1-Glieds. Nach einer Zeitkonstante sind 63,2 % der gesamten Ausgangsänderung erreicht. T stammt meist aus einer Sprungmessung, einem Datenblatt oder einer Modellidentifikation. |
| Zeit seit dem Sprung t | Zeitabstand zwischen dem Eingangssprung und dem betrachteten Ausgabepunkt. t=0 beschreibt den Moment direkt nach dem Sprung. |
Eingaben richtig wählen
K erhalten Sie aus der bleibenden Änderung zweier stationärer Betriebspunkte. Δu ist neuer minus alter Eingang. T lässt sich aus einer Sprungmessung als Zeit bis 63,2 % der gesamten Ausgangsänderung ablesen. t ist der Zeitpunkt, für den Sie den Ausgang benötigen.
So benutzt du den Rechner
Bringen Sie die Strecke zunächst in einen ruhigen Betriebspunkt, ändern Sie den Eingang möglichst schnell und protokollieren Sie den Ausgang. Setzen Sie die daraus bestimmten Modellwerte K und T ein. Der berechnete y-Wert ist eine Änderung; zum absoluten Ausgang muss gegebenenfalls der Ausgangswert vor dem Sprung addiert werden.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Bei K=2, Δu=3, T=5 s und t=5 s ergibt sich y≈3,793. Der Endwert ist 6; nach genau einer Zeitkonstante sind davon 63,2 % erreicht.
Ergebnis und Einheiten verstehen
y(t) beantwortet die Betriebsfrage, welcher Anteil einer Sollwert- oder Stellgrößenänderung zu einem bestimmten Zeitpunkt am Ausgang angekommen ist. Damit lassen sich Wartezeiten abschätzen und Messkurven auf ein PT1-Verhalten prüfen.
T und t müssen dieselbe Zeitdimension besitzen; der Rechner wandelt angebotene Zeiteinheiten intern um. K, Δu und y sind hier normiert. Bei dimensionsbehafteten Modellen trägt K entsprechend die Einheit Ausgang pro Eingang.
Typische Anwendungen
Modellbildung vor dem Reglerentwurf, Plausibilitätsprüfung einer Sprungmessung und Abschätzung der Reaktionsdauer einfacher thermischer, hydraulischer oder elektrischer Systeme.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Das Modell gilt nur für eine lineare, zeitinvariante Strecke mit einer dominanten Zeitkonstante und ohne Totzeit. Sättigung, Hysterese, mehrere Speicher, Störungen und ein von null verschiedener Anfangswert sind nicht enthalten.
Typischer Fehler: y(t) ist die Ausgangsänderung, nicht automatisch der absolute Messwert. T außerdem nicht als Zeit bis 100 % missverstehen: Bei t=T sind 63,2 %, bei 3T rund 95 % und bei 5T rund 99,3 % erreicht.
Häufige Fragen
Wofür ist „PT1-Sprungantwort“ gedacht?
Modellbildung vor dem Reglerentwurf, Plausibilitätsprüfung einer Sprungmessung und Abschätzung der Reaktionsdauer einfacher thermischer, hydraulischer oder elektrischer Systeme.
Woher kommen die Eingabewerte?
K erhalten Sie aus der bleibenden Änderung zweier stationärer Betriebspunkte. Δu ist neuer minus alter Eingang. T lässt sich aus einer Sprungmessung als Zeit bis 63,2 % der gesamten Ausgangsänderung ablesen. t ist der Zeitpunkt, für den Sie den Ausgang benötigen.
Was bildet das Ergebnis nicht ab?
Das Modell gilt nur für eine lineare, zeitinvariante Strecke mit einer dominanten Zeitkonstante und ohne Totzeit. Sättigung, Hysterese, mehrere Speicher, Störungen und ein von null verschiedener Anfangswert sind nicht enthalten.