Eingaben
Normalmodul, Zähnezahl, Normaleingriffswinkel, Schrägungswinkel und Profilverschiebungsfaktor; optional die Messzähnezahl, die Zahndickenabmaße und die Zahnbreite.
Zahnräder · ISO 21771-2
Zahnweite über k Zähne
Berechne die Zahnweite Wk eines außenverzahnten Stirnrads – das Prüfmaß, mit dem die Zahndicke in der Fertigung tatsächlich kontrolliert wird. Der Rechner bestimmt die sinnvolle Messzähnezahl selbst, rechnet die Zahndickenabmaße in Zahnweitenabmaße um und liefert damit Größt- und Kleinstmaß für die Prüfung.
Außenverzahnte Stirnräder mit unmodifizierten Flanken, gerad- oder schrägverzahnt. Innenverzahnungen, Profilkorrekturen sowie die Messung über Kugeln oder Rollen sind nicht abgedeckt; bei zu schmalen Schrägverzahnungen weist der Rechner darauf hin, dass die Zahnweitenmessung nicht möglich ist.
WkISO 21771-2
02
Zahnweite
Verzahnungsdaten festlegen und berechnen.
Eingaben und Rechenweg
Zahnweite nach ISO 21771-2
Berechne das Prüfmaß Zahnweite über k Zähne und die zugehörigen Grenzmaße aus den Zahndickenabmaßen.
Zusammenhang
ISO 21771-2 schreibt die Zahnweite als Wk = (k−1)·pbn + sbn. Ausgeschrieben mit den Zeichnungsgrößen ergibt das Wk = mn·cos αn·[π·(k−0,5) + z·inv αt] + 2·x·mn·sin αn mit tan αt = tan αn/cos β. Die Messzähnezahl folgt als k = zn·αn/180° + 0,5, gerundet, mit der Ersatzzähnezahl zn = z/cos³β. Die Grenzmaße entstehen aus den Zahndickenabmaßen über Aw = As·cos αn.
Beispiel
mn = 4 mm, z = 30, αn = 20°, x = 0 ergeben k = 4 und Wk = 43,0105 mm. Eine Grundkreis-Normalteilung beträgt 11,8085 mm – genau um diesen Betrag ändert sich das Maß, wenn ein Zahn mehr überspannt wird.
Quellen und Grenzen: ISO 21771-2:2025 Formel (77) sowie Formeln (78) und (79) für die Grenzmaße; ausgeschriebene Form und Messzähnezahl nach Roloff/Matek, Maschinenelemente Formelsammlung, 15. Auflage, Abschnitt 21, Nr. 80 und 81. Gilt für außenverzahnte Stirnräder mit unmodifizierten Flanken; Innenverzahnungen, Profilkorrekturen und die Messung über Kugeln oder Rollen sind nicht abgedeckt.
Zahnweite nach ISO 21771-2 im Detail
Berechne das Prüfmaß Zahnweite über k Zähne und die zugehörigen Grenzmaße aus den Zahndickenabmaßen.
Was ist die Zahnweite?
Die Zahnweite ist der Abstand zwischen zwei parallelen Messflächen, die über mehrere Zähne hinweg an je einer Rechts- und einer Linksflanke anliegen. Weil beide Messflächen dabei tangential zum Grundkreis stehen, misst man in Wirklichkeit eine Strecke auf der Eingriffslinie: (k−1) Grundkreisteilungen plus eine Zahndicke auf dem Grundkreis. Genau deshalb ist die Zahnweite das robusteste Prüfmaß für die Zahndicke, das sich mit einem einfachen Bügelmessgerät aufnehmen lässt.
Formel und Variablen
Wk = mn · cos αn · [π · (k − 0,5) + z · inv αt] + 2 · x · mn · sin αn
Normform nach ISO 21771-2: Wk = (k − 1) · pbn + sbntan αt = tan αn / cos β · inv α = tan α − αMesszähnezahl: k = zn · αn/180° + 0,5 (gerundet), zn = z/cos³βGrenzmaße: Wk max/min = Wk + As · cos αn
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| mn, z, x | Normalmodul, Zähnezahl und Profilverschiebungsfaktor des Rades. |
| αn, αt, β | Normal- und Stirneingriffswinkel sowie Schrägungswinkel. |
| k, pbn | Messzähnezahl und Grundkreis-Normalteilung, um die sich Wk je Zahn ändert. |
| Asne, Asni | Oberes und unteres Zahndickenabmaß, bei Außenverzahnung negativ. |
Eingaben richtig wählen
Normalmodul, Zähnezahl, Normaleingriffswinkel, Schrägungswinkel und Profilverschiebungsfaktor; optional die Messzähnezahl, die Zahndickenabmaße und die Zahnbreite.
So benutzt du den Rechner
Übernimm Normalmodul, Zähnezahl, Eingriffswinkel, Schrägungswinkel und Profilverschiebungsfaktor aus der Verzahnungszeichnung. Lass die Messzähnezahl auf 0, damit der Rechner den passenden Wert selbst wählt. Trage anschließend die Zahndickenabmaße ein – bei Außenverzahnung negativ –, um Größt- und Kleinstmaß zu erhalten; bei Schrägverzahnung zusätzlich die Zahnbreite, damit geprüft wird, ob die Messung überhaupt möglich ist.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
mn = 4 mm, z = 30, αn = 20°, x = 0 ergeben k = 4 und Wk = 43,0105 mm. Eine Grundkreis-Normalteilung beträgt 11,8085 mm – genau um diesen Betrag ändert sich das Maß, wenn ein Zahn mehr überspannt wird.
Wie ist das Ergebnis zu verwenden?
Das Nennmaß allein ist noch keine Prüfaussage – erst die Grenzmaße aus den Zahndickenabmaßen sagen, ob ein gemessenes Rad in Ordnung ist. Zwischen ihnen liegt die gesamte zulässige Fertigungsstreuung. Die Grundkreis-Normalteilung ist der praktische Kontrollwert: Weicht ein Messwert um genau diesen Betrag ab, wurde über einen Zahn zu viel oder zu wenig gemessen und nicht falsch gefertigt.
Modul, Zahnweite und Abmaße in Millimetern, Winkel in Grad. Zähnezahl, Messzähnezahl und Profilverschiebungsfaktor sind dimensionslos. Zahndickenabmaße stehen auf Zeichnungen häufig in Mikrometern – dann durch 1.000 teilen.
Typische Anwendungen
Fertigungs- und Eingangsprüfung von Stirnrädern, Festlegung des Prüfmaßes auf der Verzahnungszeichnung, Kontrolle des Zerspanungsergebnisses nach dem Wälzfräsen oder Wälzstoßen und Ermittlung der noch vorhandenen Zahndicke an einem gebrauchten Rad.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
ISO 21771-2:2025 Formel (77) sowie Formeln (78) und (79) für die Grenzmaße; ausgeschriebene Form und Messzähnezahl nach Roloff/Matek, Maschinenelemente Formelsammlung, 15. Auflage, Abschnitt 21, Nr. 80 und 81. Gilt für außenverzahnte Stirnräder mit unmodifizierten Flanken; Innenverzahnungen, Profilkorrekturen und die Messung über Kugeln oder Rollen sind nicht abgedeckt.
Typischer Fehler: Die Profilverschiebung nicht vergessen: Sie verschiebt die Zahnweite um 2·x·mn·sin αn und ist die häufigste Ursache für ein scheinbar falsches Maß. Bei Schrägverzahnung nicht den Stirnmodul statt des Normalmoduls eintragen. Die Zahndickenabmaße bei Außenverzahnung negativ eingeben – positive Werte würden das Flankenspiel umkehren. Und die Messzähnezahl nicht frei wählen, ohne zu prüfen, wo die Messschenkel dann anliegen.
Häufige Fragen
Warum wird über mehrere Zähne gemessen und nicht die Zahndicke direkt?
Weil die Messschenkel tangential am Grundkreis anliegen und dort die Evolvente berühren. Dadurch ist das Maß unabhängig vom Kopf- und Fußkreisdurchmesser und – entscheidend – unabhängig von einem Rundlauffehler der Aufnahme. Eine direkte Zahndickenmessung müsste dagegen von einem Bezugsdurchmesser ausgehen, dessen Lage selbst fehlerbehaftet ist.
Wie wird die Messzähnezahl gewählt?
So, dass die Messschenkel die Flanken etwa auf halber Zahnhöhe berühren – dort ist die Evolvente unmodifiziert und die Messung am unempfindlichsten. Der Richtwert k = zn·αn/180° + 0,5 leistet genau das. Wird k um eins verändert, ändert sich die Zahnweite immer exakt um eine Grundkreis-Normalteilung; das ist zugleich eine gute Kontrolle am Messgerät.
Warum sind die Zahndickenabmaße negativ?
Weil ein Zahnrad seine Zähne bewusst dünner als das Nennmaß erhält, damit im Eingriff Flankenspiel entsteht. Ohne dieses Spiel würde die Verzahnung klemmen, sobald sich Temperatur, Achsabstand oder Schmierfilm ändern. Auf die Zahnweite wirken die Abmaße über den Faktor cos αn, sind dort also betragsmäßig etwas kleiner.
Wann lässt sich die Zahnweite nicht messen?
Wenn das Rad zu schmal für seinen Schrägungswinkel ist: Die Messschenkel müssen die Schräge überspannen, wofür mindestens Wk·sin βb an Zahnbreite nötig ist. Bei stark schrägverzahnten, schmalen Rädern ist diese Bedingung verletzt, und es muss über Kugeln oder Rollen gemessen werden – eine Methode, die dieser Rechner bewusst nicht abdeckt.
Gilt das auch für Innenverzahnungen?
Nein. Bei Innenverzahnungen kehrt sich die Vorzeichenkonvention der Abmaße um, und ISO 21771-2 gibt dafür eigene Formeln an, bei denen die Zahndicke addiert statt subtrahiert wird. Dieser Rechner ist ausdrücklich auf Außenverzahnungen beschränkt.