Eingaben
Normalmodul, Zähnezahl, Normaleingriffswinkel, Schrägungswinkel und Profilverschiebungsfaktor; optional die Messzähnezahl, die Zahndickenabmaße und die Zahnbreite.
Zahnräder · ISO 21771-2
Zahnweiten-Rechner über k Zähne
Berechne die Zahnweite Wk eines außenverzahnten Stirnrads – das Prüfmaß, mit dem die Zahndicke in der Fertigung tatsächlich kontrolliert wird. Der Rechner bestimmt die sinnvolle Messzähnezahl selbst, rechnet die Zahndickenabmaße in Zahnweitenabmaße um und liefert damit Größt- und Kleinstmaß für die Prüfung.
Außenverzahnte Stirnräder mit unmodifizierten Flanken, gerad- oder schrägverzahnt. Innenverzahnungen, Profilkorrekturen sowie die Messung über Kugeln oder Rollen sind nicht abgedeckt; bei zu schmalen Schrägverzahnungen weist der Rechner darauf hin, dass die Zahnweitenmessung nicht möglich ist.
WkISO 21771-2
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Zahnweite
Verzahnungsdaten festlegen und berechnen.
Zahnweite verständlich erklärt
Die Zahnweite ist ein Prüfmaß: Mit ihr kontrolliert man, ob die Zähne eines Zahnrads die richtige Dicke haben. Man legt zwei parallele Messteller über mehrere Zähne an und misst den Abstand zwischen ihnen. Der Rechner sagt, welcher Wert dabei herauskommen muss und in welchem Bereich das Messergebnis liegen darf.
So wird gemessen
Eine Zahnweiten-Messschraube (Bügelmessschraube mit tellerförmigen Messflächen) wird über k Zähne gelegt. Der eine Teller berührt die linke Flanke des ersten Zahns, der andere die rechte Flanke des letzten Zahns. Der abgelesene Abstand ist die Zahnweite Wk. Weil die Teller seitlich an den Flanken anliegen, spielt es keine Rolle, ob das Rad leicht unrund läuft oder der Außendurchmesser etwas abweicht.
Die Eingaben: was sie bedeuten und woher sie kommen
| Größe | Was ist das? | Woher bekomme ich den Wert? | Was beeinflusst er? |
|---|---|---|---|
| Normalmodul mn | Die Baugröße der Zähne. Je größer der Modul, desto größer und kräftiger sind die Zähne. Der Abstand von Zahn zu Zahn auf dem Teilkreis beträgt π·m. | Aus der Verzahnungstabelle auf der Zeichnung („Modul“). Bei einem unbekannten geradverzahnten Rad ohne Profilverschiebung überschlägig: Außendurchmesser ÷ (Zähnezahl + 2), z. B. 128 mm ÷ 32 = 4 mm. Übliche Werte stehen in der Modulreihe (z. B. 1; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5 …). | Die Zahnweite wächst nahezu proportional mit dem Modul. Ein falscher Modul macht das ganze Ergebnis unbrauchbar. |
| Zähnezahl z | Anzahl der Zähne am ganzen Umfang des Rades. | Aus der Zeichnung oder einfach am Rad abzählen. | Mehr Zähne bedeuten einen größeren Raddurchmesser. Dadurch muss über mehr Zähne gemessen werden, und die Zahnweite wird größer. |
| Normaleingriffswinkel αn | Der Flankenwinkel des Werkzeugs, mit dem die Zähne erzeugt werden. Er bestimmt, wie schräg die Zahnflanken stehen. | Fast immer 20° (Normwert). Andere Werte (z. B. 14,5° oder 25°) stehen dann ausdrücklich auf der Zeichnung. | Bestimmt die Form der Flanken und damit die Zahnweite und die empfohlene Messzähnezahl. |
| Schrägungswinkel β | Wie schräg die Zähne zur Radachse verlaufen. 0° heißt gerade Zähne (Geradverzahnung), sonst Schrägverzahnung. | Aus der Zeichnung. Bei geraden Zähnen 0 eintragen. | Bei Schrägverzahnung ändern sich Messzähnezahl und Zahnweite, und das Rad muss breit genug sein, damit die Messteller die Schräge überspannen. |
| Profilverschiebungsfaktor x | Gibt an, ob die Zähne bei der Herstellung gezielt dicker (x > 0) oder dünner (x < 0) gemacht wurden, etwa um einen bestimmten Achsabstand zu treffen oder Unterschnitt zu vermeiden. | Aus der Verzahnungstabelle der Zeichnung („Profilverschiebung x“ oder als Betrag x·m in mm, dann durch m teilen). Ohne Angabe meist 0. | Verschiebt die Zahnweite direkt um 2·x·mn·sin αn. Beispiel: x = 0,5 bei mn = 4 mm macht Wk um 1,37 mm größer. Vergessene Profilverschiebung ist der häufigste Grund für scheinbar falsche Messwerte. |
| Messzähnezahl k | Über wie viele Zähne die Messteller gelegt werden. | 0 eintragen, dann wählt der Rechner den passenden Wert. Steht auf der Zeichnung ein Prüfmaß wie „W4“, dort die 4 übernehmen. | Mit jedem zusätzlichen Zahn wird Wk um eine Grundkreis-Normalteilung größer. Ein ungeeignetes k lässt die Teller zu nah am Zahnkopf oder -fuß anliegen und verfälscht die Messung. |
| Oberes und unteres Zahndickenabmaß Asne / Asni | Um wie viel die Zähne dünner als das theoretische Maß sein sollen. Das ist Absicht: So entsteht zwischen zwei kämmenden Rädern etwas Spiel (Flankenspiel), damit nichts klemmt. | Aus der Verzahnungstabelle der Zeichnung, bei Außenverzahnung negativ, z. B. −0,08 / −0,14 mm. Sie werden bei der Konstruktion aus dem gewünschten Flankenspiel festgelegt, z. B. nach DIN 3967. Angaben in µm durch 1.000 teilen. Ohne Angabe beide 0 lassen, dann gibt es nur das Nennmaß. | Legen die Grenzen fest, innerhalb derer das gemessene Rad in Ordnung ist. |
| Zahnbreite b | Breite des Zahnrads in Achsrichtung. | Aus der Zeichnung oder mit dem Messschieber am Rad messen. Nur bei Schrägverzahnung nötig, sonst 0 lassen. | Wird nur geprüft: Ist das Rad schmaler als die erforderliche Mindestbreite, lässt sich die Zahnweite nicht messen. |
Die Ergebnisse: was sie aussagen und wofür man sie braucht
| Größe | Was sagt es aus? | Wofür brauche ich es? |
|---|---|---|
| Zahnweite Wk | Der theoretische Sollwert (Nennmaß): der Abstand zwischen den beiden parallelen Messtellern über k Zähne, wenn die Zähne genau die Nenndicke hätten. | Grundlage für das Prüfmaß auf der Zeichnung. Zur Prüfung selbst werden die Grenzmaße darunter verwendet, denn wegen der negativen Abmaße liegt ein gutes Rad immer etwas unter Wk. |
| Verwendete / empfohlene Messzähnezahl | Über wie viele Zähne gemessen wurde bzw. gemessen werden sollte, damit die Messteller die Flanken etwa auf halber Zahnhöhe berühren. | Genau diese Zahl an Zähnen muss beim Messen zwischen den Tellern liegen. Sie gehört mit auf die Zeichnung (z. B. „Zahnweite W4 über 4 Zähne“). |
| Zahnweite Wk max und Wk min | Größtes und kleinstes zulässiges Messergebnis. Im Beispiel: 42,9353 mm und 42,8789 mm. | Das ist die eigentliche Prüfung: Messwert zwischen Wk min und Wk max, dann passt die Zahndicke. Über Wk max sind die Zähne zu dick (zu wenig Spiel, das Getriebe kann klemmen, meist nacharbeitbar). Unter Wk min sind sie zu dünn (zu viel Spiel, meist Ausschuss). Am besten an mehreren Stellen des Umfangs messen. |
| Zahnweitenabmaße Awe / Awi | Die Zahndickenabmaße, umgerechnet auf die Zahnweite (Aw = As·cos αn). Im Beispiel −0,0752 / −0,1316 mm. | Für die Zeichnung: Das Prüfmaß wird meist als Nennmaß mit diesen Abmaßen angegeben, z. B. „W4 = 43,011 −0,075/−0,132“. |
| Grundkreis-Normalteilung pbn | Abstand von Flanke zu gleichgerichteter Flanke des Nachbarzahns, entlang der Messrichtung gemessen. Im Beispiel 11,8085 mm. | Kontrollwert beim Messen: Weicht der Messwert um ziemlich genau diesen Betrag ab, wurde über einen Zahn zu viel oder zu wenig gemessen und das Rad ist nicht falsch gefertigt. |
| Grundkreis-Normalzahndicke sbn | Dicke eines Zahns am Grundkreis in Messrichtung. Es gilt Wk = (k − 1)·pbn + sbn. | Gegenprobe der Rechnung nach der Normformel. Für die Werkstattpraxis meist nicht nötig. |
| Stirneingriffswinkel αt | Eingriffswinkel, gemessen senkrecht zur Radachse. Bei geraden Zähnen gleich αn, bei Schrägverzahnung größer. | Zwischengröße der Rechnung; wird auch für weitere Verzahnungsberechnungen (z. B. Achsabstand) gebraucht. |
| Ersatzzähnezahl zn | Zähnezahl eines gedachten geradverzahnten Rades, das sich beim Messen wie das schrägverzahnte Rad verhält. Bei gerader Verzahnung gleich z. | Zwischengröße, aus der die empfohlene Messzähnezahl folgt. |
| Grundkreisdurchmesser db | Durchmesser des gedachten Kreises, von dem aus die Zahnflanken als Evolvente „abgewickelt“ sind. Die Messteller liegen tangential an diesem Kreis. | Geometrische Grundlage der Messung; wird auch bei der Profilprüfung von Zahnflanken verwendet. |
| Erforderliche Mindestzahnbreite | So breit muss ein schrägverzahntes Rad mindestens sein, damit die Messteller die schrägen Zähne überhaupt überspannen können. Bei geraden Zähnen 0. | Mit der tatsächlichen Zahnbreite vergleichen. Ist das Rad schmaler, muss statt der Zahnweite über Kugeln oder Rollen gemessen werden. |
Eingaben und Rechenweg
Zahnweite nach ISO 21771-2
Berechne das Prüfmaß Zahnweite über k Zähne und die zugehörigen Grenzmaße aus den Zahndickenabmaßen.
Zusammenhang
ISO 21771-2 schreibt die Zahnweite als Wk = (k−1)·pbn + sbn. Ausgeschrieben mit den Zeichnungsgrößen ergibt das Wk = mn·cos αn·[π·(k−0,5) + z·inv αt] + 2·x·mn·sin αn mit tan αt = tan αn/cos β. Die Messzähnezahl folgt als k = zn·αn/180° + 0,5, gerundet, mit der Ersatzzähnezahl zn = z/cos³β. Die Grenzmaße entstehen aus den Zahndickenabmaßen über Aw = As·cos αn.
Beispiel
mn = 4 mm, z = 30, αn = 20°, x = 0 ergeben k = 4 und Wk = 43,0105 mm. Eine Grundkreis-Normalteilung beträgt 11,8085 mm – genau um diesen Betrag ändert sich das Maß, wenn ein Zahn mehr überspannt wird.
Quellen und Grenzen: ISO 21771-2:2025 Formel (77) sowie Formeln (78) und (79) für die Grenzmaße; ausgeschriebene Form und Messzähnezahl nach Roloff/Matek, Maschinenelemente Formelsammlung, 15. Auflage, Abschnitt 21, Nr. 80 und 81. Gilt für außenverzahnte Stirnräder mit unmodifizierten Flanken; Innenverzahnungen, Profilkorrekturen und die Messung über Kugeln oder Rollen sind nicht abgedeckt.
Zahnweite nach ISO 21771-2 im Detail
Berechne das Prüfmaß Zahnweite über k Zähne und die zugehörigen Grenzmaße aus den Zahndickenabmaßen.
Was ist die Zahnweite?
Die Zahnweite ist der Abstand zwischen zwei parallelen Messflächen, die über mehrere Zähne hinweg an je einer Rechts- und einer Linksflanke anliegen. Weil beide Messflächen dabei tangential zum Grundkreis stehen, misst man in Wirklichkeit eine Strecke auf der Eingriffslinie: (k−1) Grundkreisteilungen plus eine Zahndicke auf dem Grundkreis. Genau deshalb ist die Zahnweite das robusteste Prüfmaß für die Zahndicke, das sich mit einem einfachen Bügelmessgerät aufnehmen lässt.
Formel und Variablen
Wk = mn · cos αn · [π · (k − 0,5) + z · inv αt] + 2 · x · mn · sin αn
Normform nach ISO 21771-2: Wk = (k − 1) · pbn + sbntan αt = tan αn / cos β · inv α = tan α − αMesszähnezahl: k = zn · αn/180° + 0,5 (gerundet), zn = z/cos³βGrenzmaße: Wk max/min = Wk + As · cos αn
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| mn, z, x | Normalmodul, Zähnezahl und Profilverschiebungsfaktor des Rades. |
| αn, αt, β | Normal- und Stirneingriffswinkel sowie Schrägungswinkel. |
| k, pbn | Messzähnezahl und Grundkreis-Normalteilung, um die sich Wk je Zahn ändert. |
| Asne, Asni | Oberes und unteres Zahndickenabmaß, bei Außenverzahnung negativ. |
Eingaben richtig wählen
Normalmodul, Zähnezahl, Normaleingriffswinkel, Schrägungswinkel und Profilverschiebungsfaktor; optional die Messzähnezahl, die Zahndickenabmaße und die Zahnbreite.
So benutzt du den Rechner
Übernimm Normalmodul, Zähnezahl, Eingriffswinkel, Schrägungswinkel und Profilverschiebungsfaktor aus der Verzahnungszeichnung. Lass die Messzähnezahl auf 0, damit der Rechner den passenden Wert selbst wählt. Trage anschließend die Zahndickenabmaße ein – bei Außenverzahnung negativ –, um Größt- und Kleinstmaß zu erhalten; bei Schrägverzahnung zusätzlich die Zahnbreite, damit geprüft wird, ob die Messung überhaupt möglich ist.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
mn = 4 mm, z = 30, αn = 20°, x = 0 ergeben k = 4 und Wk = 43,0105 mm. Eine Grundkreis-Normalteilung beträgt 11,8085 mm – genau um diesen Betrag ändert sich das Maß, wenn ein Zahn mehr überspannt wird.
Wie ist das Ergebnis zu verwenden?
Das Nennmaß allein ist noch keine Prüfaussage – erst die Grenzmaße aus den Zahndickenabmaßen sagen, ob ein gemessenes Rad in Ordnung ist. Zwischen ihnen liegt die gesamte zulässige Fertigungsstreuung. Die Grundkreis-Normalteilung ist der praktische Kontrollwert: Weicht ein Messwert um genau diesen Betrag ab, wurde über einen Zahn zu viel oder zu wenig gemessen und nicht falsch gefertigt.
Modul, Zahnweite und Abmaße in Millimetern, Winkel in Grad. Zähnezahl, Messzähnezahl und Profilverschiebungsfaktor sind dimensionslos. Zahndickenabmaße stehen auf Zeichnungen häufig in Mikrometern – dann durch 1.000 teilen.
Typische Anwendungen
Fertigungs- und Eingangsprüfung von Stirnrädern, Festlegung des Prüfmaßes auf der Verzahnungszeichnung, Kontrolle des Zerspanungsergebnisses nach dem Wälzfräsen oder Wälzstoßen und Ermittlung der noch vorhandenen Zahndicke an einem gebrauchten Rad.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
ISO 21771-2:2025 Formel (77) sowie Formeln (78) und (79) für die Grenzmaße; ausgeschriebene Form und Messzähnezahl nach Roloff/Matek, Maschinenelemente Formelsammlung, 15. Auflage, Abschnitt 21, Nr. 80 und 81. Gilt für außenverzahnte Stirnräder mit unmodifizierten Flanken; Innenverzahnungen, Profilkorrekturen und die Messung über Kugeln oder Rollen sind nicht abgedeckt.
Typischer Fehler: Die Profilverschiebung nicht vergessen: Sie verschiebt die Zahnweite um 2·x·mn·sin αn und ist die häufigste Ursache für ein scheinbar falsches Maß. Bei Schrägverzahnung nicht den Stirnmodul statt des Normalmoduls eintragen. Die Zahndickenabmaße bei Außenverzahnung negativ eingeben – positive Werte würden das Flankenspiel umkehren. Und die Messzähnezahl nicht frei wählen, ohne zu prüfen, wo die Messschenkel dann anliegen.
Häufige Fragen
Warum wird über mehrere Zähne gemessen und nicht die Zahndicke direkt?
Weil die Messschenkel tangential am Grundkreis anliegen und dort die Evolvente berühren. Dadurch ist das Maß unabhängig vom Kopf- und Fußkreisdurchmesser und – entscheidend – unabhängig von einem Rundlauffehler der Aufnahme. Eine direkte Zahndickenmessung müsste dagegen von einem Bezugsdurchmesser ausgehen, dessen Lage selbst fehlerbehaftet ist.
Wie wird die Messzähnezahl gewählt?
So, dass die Messschenkel die Flanken etwa auf halber Zahnhöhe berühren – dort ist die Evolvente unmodifiziert und die Messung am unempfindlichsten. Der Richtwert k = zn·αn/180° + 0,5 leistet genau das. Wird k um eins verändert, ändert sich die Zahnweite immer exakt um eine Grundkreis-Normalteilung; das ist zugleich eine gute Kontrolle am Messgerät.
Warum sind die Zahndickenabmaße negativ?
Weil ein Zahnrad seine Zähne bewusst dünner als das Nennmaß erhält, damit im Eingriff Flankenspiel entsteht. Ohne dieses Spiel würde die Verzahnung klemmen, sobald sich Temperatur, Achsabstand oder Schmierfilm ändern. Auf die Zahnweite wirken die Abmaße über den Faktor cos αn, sind dort also betragsmäßig etwas kleiner.
Wann lässt sich die Zahnweite nicht messen?
Wenn das Rad zu schmal für seinen Schrägungswinkel ist: Die Messschenkel müssen die Schräge überspannen, wofür mindestens Wk·sin βb an Zahnbreite nötig ist. Bei stark schrägverzahnten, schmalen Rädern ist diese Bedingung verletzt, und es muss über Kugeln oder Rollen gemessen werden – eine Methode, die dieser Rechner bewusst nicht abdeckt.
Gilt das auch für Innenverzahnungen?
Nein. Bei Innenverzahnungen kehrt sich die Vorzeichenkonvention der Abmaße um, und ISO 21771-2 gibt dafür eigene Formeln an, bei denen die Zahndicke addiert statt subtrahiert wird. Dieser Rechner ist ausdrücklich auf Außenverzahnungen beschränkt.