Zug/Druck- und Biegespannung addieren sich zur resultierenden Normalspannung, Scher- und Torsionsspannung zur resultierenden Schubspannung; erst danach werden beide über die GEH zur Vergleichsspannung zusammengefasst.
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Zug/Druck- und Biegespannung addieren sich zur resultierenden Normalspannung, Scher- und Torsionsspannung zur resultierenden Schubspannung; erst danach werden beide über die GEH zur Vergleichsspannung zusammengefasst.
σz,d=40 MPa, σb=60 MPa, τs=0, τt=30 MPa ergeben σres=100 MPa, τres=30 MPa und σv=√(100²+3·30²)≈112,7 MPa.
Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH) für duktile, zäh brechende Werkstoffe unter vorwiegend ruhender Last; Wechsel- und Dauerfestigkeit sind gesondert nach der Betriebsfestigkeit zu prüfen.
Der Rechner überlagert Normal- und Schubspannungen aus Zug/Druck, Biegung, Scheren und Torsion zu resultierenden Spannungen und bildet daraus die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH, von Mises).
Zug-/Druckspannung σz,d und Biegespannung σb sind beide Normalspannungen und addieren sich zu σres = σz,d + σb. Scherspannung τs und Torsionsspannung τt sind beide Schubspannungen und addieren sich zu τres = τs + τt. Erst danach werden beide Anteile über die GEH zur Vergleichsspannung σv = √(σres² + 3·τres²) zusammengefasst, die direkt mit der Werkstoff-Streckgrenze verglichen werden kann.
Man kann sich das wie zwei getrennte Kassen an einer Wechselstube vorstellen: Alle Normalspannungsanteile werden zuerst in einer Kasse zusammengezählt, alle Schubspannungsanteile in einer zweiten. Erst der Endsaldo beider Kassen wird über die GEH-Formel zu einem einzigen Risikowert verrechnet – man darf nicht Normal- und Schubanteile schon vorher vermischen.
σv = √[(σz,d+σb)² + 3·(τs+τt)²]
σv = √[(σz,d+σb)² + 3·(τs+τt)²]σz,d = √(σv²−3·τres²) − σbτt = √[(σv²−σres²)/3] − τs| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Vergleichsspannung σv | Nach GEH (von Mises) zusammengefasste Beanspruchung; mit der Streckgrenze bzw. dem statischen Sicherheitsfaktor-Rechner zu vergleichen. |
| Zug-/Druckspannung σz,d | Normalspannung aus einer zentrischen Zug- oder Druckkraft, σz,d = F/A. |
| Biegespannung σb | Normalspannung aus Biegung, σb = Mb/Wb. |
| Scherspannung τs | Schubspannung aus Querkraft, τs = Fs/A. |
| Torsionsspannung τt | Schubspannung aus Torsion, τt = T/Wt. |
σz,d ist die Normalspannung aus einer Zug- oder Druckkraft (σz,d = F/A), σb die Biegespannung (σb = Mb/Wb), τs die Scherspannung aus einer Querkraft (τs = Fs/A) und τt die Torsionsspannung (τt = T/Wt). Wirkt eine Beanspruchungsart nicht, wird der zugehörige Wert auf 0 gesetzt.
Berechne zunächst jede der vier Teilspannungen einzeln mit den bekannten Querschnittsformeln und trage sie hier ein, um σv zu erhalten. Für eine Rückwärtsrechnung (z. B. zulässiges σb bei gegebenem σv) trage σv und die drei übrigen Größen ein.
σz,d = 40 MPa, σb = 60 MPa, τs = 0 und τt = 30 MPa ergeben σres = 100 MPa, τres = 30 MPa und σv = √(100² + 3·30²) ≈ 112,7 MPa.
σv ≈ 112,7 MPa ist die Spannung, die bei rein einachsiger Zugbelastung dieselbe Beanspruchung des Werkstoffs hervorrufen würde wie die tatsächliche, mehrachsige Kombination. Sie wird mit der Streckgrenze Rp verglichen, z. B. über den Rechner für die statische Fließsicherheit.
Alle vier Eingaben und das Ergebnis werden üblicherweise in MPa (N/mm²) angegeben; alle vier müssen dieselbe Spannungseinheit verwenden.
Die Gestaltänderungsenergiehypothese verwendet den Faktor 3 vor dem Schubspannungsquadrat (σv = √(σ²+3τ²)), die Schubspannungshypothese (SH, Tresca) den Faktor 4 (σv = √(σ²+4τ²)). Die GEH gilt als realistischer für die meisten duktilen Metalle und wird deshalb von Roloff/Matek und den meisten modernen Nachweisverfahren bevorzugt; die SH liegt stets auf der sicheren Seite (liefert eine etwas höhere Vergleichsspannung) und wird gelegentlich für eine konservativere Abschätzung herangezogen.
Die GEH-Vergleichsspannung wird für duktile Bauteile mit gleichzeitig wirkender Biegung, Torsion, Zug/Druck und Scherung verwendet, etwa an Wellen, Konsolen, Hebeln und beliebig geformten Maschinenteilen.
Die GEH gilt für duktile, zäh brechende Werkstoffe unter vorwiegend ruhender Last. Für spröde Werkstoffe ist stattdessen die Normalspannungshypothese geeigneter. Bei wechselnder oder schwellender Last ersetzt dieser Rechner keinen Betriebsfestigkeitsnachweis (z. B. nach DIN 743 für Wellen).
Typischer Fehler: Ein häufiger Fehler ist, alle vier Spannungen direkt unter einer gemeinsamen Wurzel zu addieren, statt zuerst Normalspannungen und Schubspannungen getrennt zu summieren und erst danach die GEH-Formel anzuwenden. Ebenso wird der Faktor 3 vor dem Schubspannungsanteil manchmal vergessen oder mit der Schubspannungshypothese (Faktor 4) verwechselt.
Weil σres und τres jeweils dieselbe physikalische Wirkrichtung haben (senkrecht bzw. tangential zum Querschnitt); erst die GEH-Formel verknüpft beide Wirkrichtungen zu einem einzigen Vergleichswert.
Den entsprechenden Wert auf 0 setzen; die Formel reduziert sich dann automatisch auf die verbleibenden Anteile.
Für duktile Werkstoffe (die meisten Stähle) ja; für spröde Werkstoffe wie Grauguss ist die Normalspannungshypothese oft passender.
Mit dem Rechner für die statische Fließsicherheit σv gegen die Streckgrenze Rp prüfen, um den Sicherheitsfaktor zu erhalten.
Nein, er liefert nur die statische Vergleichsspannung für einen Lastzustand; für Wechsellast ist eine gesonderte Betriebsfestigkeitsrechnung (z. B. nach DIN 743) erforderlich.